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第二节 离散型随机变量
二、常见的离散型随机变量
三、小结
一、离散型随机变量的概念
一、离散型随机变量的概念
或可列无穷多个数值
定义1：
随机变量.
若随机变量X只能取有限个数值
X
P
则称X为离散
离散型随机变量X取得任一个可能值 的
称为离散型随机变量X的概率函数或分布律.
列表如下：
概率 记作
性质
——非负性
——正则性
设X是离散型随机变量，
概率函数为
分布函数为
解
例1 设离散型随机变量X的概率分布为
求：
X的分布函数为F(x)，并绘制F(x)的图像;
和
解
例1 设离散型随机变量X的概率分布为
求：
X的分布函数为F(x)，并绘制F(x)的图像;
和
解
例1 设离散型随机变量X的概率分布为
求：
X的分布函数为F(x)，并绘制F(x)的图像;
和
离散型随机变量的分布函数F(x)是分段阶梯函数，
在X的每一个可能取值 处发生间断，
间断点为跳跃间断点，
跳跃高度为随机变量X取 的概率值
二、常见的离散型随机变量
1. 0-1 分布
0 < p < 1
凡试验只有两个结果，常用0-1分布描述，
如产品是否合格、人口性别统计、
系统是否正常、电力消耗是否超标等等.
注
如果随机变量X只可能取0和1两个值，
其概率分布为
定义2：
则称随机变量X服从0-1分布或两点分布.
列表为
X 0 1
P
随机变量X的概率分布为
例2 100件产品中，有95件正品，5件次品，现从中随机地抽取一件.如抽取每一件的机会相等，如
注 设一批产品共N件，其中有M件次品，从这批产品中不放回地依次抽取n件样品，则样品中的次品数
设随机变量X的概率函数为
定义3
随机变量X服从超几何分布，
其中n, M, N都是正整数，且
记作
2.超几何分布
则称
其中n, M, N是分布参数.
任取三只，
例3 盒子中共有15只球，其中黑球2只，剩下的为白球，在其中取三次，每次任取一只，作不放回抽样，以X表示取出黑球的只数， 求X的分布律．
解
X
包含黑球的只数X可能为
0,
1,
2.
设随机变量X的概率函数为
定义4
随机变量X服从二项分布，
其中n为正整数，且
记作
注 设一批产品共N件，其中有M件次品，即次品率 从这批产品中有放回地依次取n件产品，则样品中的次品数
3. 二项分布
则称
其中n, p是分布参数.
伯努利概型中，设事件A在每次试验中发生的概率为p，则事件A在n次独立试验中发生的次数
当 时，
二项分布
0-1 分布
3. 二项分布
算出具体数值列表如下：
例4 设种子发芽率是80%，种下5粒，用X表示发芽的粒数，求X的概率分布.
解
X
例5 某人进行射击，设每次射击的命中率为0.02，独立射击400次，试求至少击中两次的概率.
解
将一次射击看成是一次试验，
注：小概率事件虽不易发生，但重复次数多了，就成了大概率事件，这说明决不能轻视小概率事件．
设击中的次数为X，
定理1
注 当一批产品的总量N很大，而抽取样品的数量 n相对于N较小（ ）时，则不放回抽样（样品中的次品数服从超几何分布）与放回抽样（样品中的次品数服从二项分布）没有多大差异.
则有
当 时，
（超几何分布的极限分布是二项分布）
则称随机变量X服从泊松 分布，
设随机变量X的概率函数为
定义5
其中
记作
其中 是分布参数.
4. 泊松分布
(Poission)
在某个时段内：
①大卖场的顾客数；
③某地区拨错号的电话呼唤次数；
②市级医院急诊病人数；
④某地区发生的交通事故的次数；
⑦一个容器中的细菌数；
⑧一本书一页中的印刷错误数；
⑥一匹布上的疵点个数；
应
用
场
合
⑤放射性物质发出的 粒子数；
注
1812年当选为巴黎科学院院士.
西莫恩·德尼·泊松
Simeon-Denis Poisson、1781～1840
法国数学家 几何学家 物理学家.
泊松是19世纪概率统计领域里的卓越人物.他建立了描述随机现象的一种概率分布──泊松分布.他推广了“大数定律”，并导出了在概率论与数理方程中有重要应用的泊松积分.
1798年入巴黎综合工科学校深造. 受到拉普拉斯、拉格朗日的赏识.1800年毕业后留校任教.1808年任法国经度局天文学家.
解
例6 某一无线寻呼台，每分钟收到寻呼的次数X服从参数 的泊松分布．求：
(1)一分钟内恰好收到3次寻呼的概率；
(2)一分钟内收到2至5次寻呼的概率．
定理2
（泊松定理）
在n重伯努利试验中，事件A在一次试验中出现的概率为 （与试验次数n有关），如果当 时， （且 为常数），则有
二项分布的极限分布是泊松分布
注
小结
离散型随机变量的分布律
常用分布
1、0-1分布B(1, p)
2、超几何分布H(n, M, N)
3、二项分布B(n, p)
4、Poission分布P( )

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