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第三节 连续型随机变量
二、常见的连续型随机变量
三、小结
一、连续型随机变量的概念
一、连续型随机变量的概念
（有界或无界），
定义1：
使得对于
若随机变量X的取值范围是某个实数区间I
任意区间 有
则称X为连续型随机变量，
如果存在非负实数f(x),
函数f(x)称为连续型随机变量X
的概率密度函数或概率密度.
概率密度函数的性质
( ) 非负性 f (x) 0；
( ) 正则性
随机变量X落在(a, b]内的概率等于(a, b]上曲线y=f(x)下的曲边梯形面积.
概率密度函数的几何意义
(4)
(2)
P(X=X0)=0
——概率为0的事件未必不发生.
注：
(1) 满足性质（ ）和（ ）的函数 f (x)必为某一连续型随机变量的概率密度函数.
(3)
解
例1 设连续型随机变量X的概率密度为
求：
系数；
(1)确定k；(2)求 (3)X的分布函数F(x).
例2 设连续型随机变量X的概率密度为
解
解
(1)确定k；(2)求 (3)X的分布函数F(x).
例2 设连续型随机变量X的概率密度为
二、常用的连续型随机变量的分布
1.均匀分布
设随机变量X的概率密度为
定义2
则称随机变量X在区间服从均匀分布，
记作
其中a, b是分布参数.
注
服从均匀分布的随机变量X 落在(a, b)内任何长为d-c的小区间内的概率与小区间的位置无关，
(2)在数值计算中，由于“四舍五入”最后一位数字所引起的随机误差，在刻度器上读数时，把零头数化为最近整分度时所发生的随机误差等都可以认为服从均匀分布.
(1)
只与其长度成正比.
例3 用某刻度器测量机械零件长度，刻度器能准确至十分之一厘米，即若以厘米为长度的计量单位，则小数点后第一位数字是按“四舍五入”原则得到的．求由此刻度器产生的测量误差的概率密度．
解
例4 设电阻值R是一个随机变量，R在 上 服从均匀分布，求R的概率密度及R在 上
取值的概率.
解
设随机变量X的概率密度为
定义3
则称随机变量X在区间服从均匀分布，
记作
其中 是分布参数.
注：电话问题中的通话时间；随机服务系统的服务时间；电子元件的使用寿命及动物的寿命等可看作服从指数分布.
2.指数分布
例5 已知某电子元件厂生产的电子元件的寿命X(h)服从指数分布e(0.001).该厂规定寿命低于200（h）的元件为不合格产品，问该厂生产不合格电子元件的数量大约占总产量的百分之几？
解
设随机变量X的概率密度为
定义4
则称随机变量X在区间服从正态分布，
记作
也称高斯分布，
是分布参数.
其中
3.正态分布
约翰·卡尔·弗里德里希·高斯
1777～1855
天文学家、几何学家，大地测量学家.
高斯被认为是世界上最重要的数学家之一，享有“数学王子”的美誉.
高斯生于不伦瑞克. 17岁的高斯发现了质数分布定理和最小二乘法.
德国数学家、物理学家
1796年，证明了可以尺规作正十七边形. 1840年高斯与韦伯一同画出世界上第一张地球磁场图. 高斯专注于曲面与曲线的计算，成功得到高斯钟形曲线(正态分布曲线). 其函数被命名为标准正态分布（或高斯分布），并在概率计算中大量使用.
其它范围内是凹的，
拐点：
(6) 渐近线：
x轴为渐近线
概率密度函数特点：
(1) f(x)在 处达到最大值
(3) x 轴为其水平渐近线；
(4) 越大， f(x)最大值越小；
(5) f(x)图像关于直线 对称.
(2) f(x)在 内是凸的，
分布函数及其图像
分布函数表达式
令人心动的S曲线
标准正态分布
分布函数性质：



概率密度：
分布函数：
定理1
若
则
证明
关于变量u求导，得
解
例6 已知 求
和
解
例6 已知 求
和
例7 已知 求
解
看作则：
X落在区间 之外的概率为0.003.
常把区间 看作随机变量X实际可能的取值区间.
小结
连续型随机变量的概率密度函数
常用分布
1、均匀分布
2、指数分布
3、正态分布

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