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概率论
与
数理统计
“悟道诗---严加安”
随机非随意，概率破玄机；
无序隐有序，统计解迷离．
第三章
多维随机变量及其分布
第一节 多维随机变量及其分布
二、二维离散随机变量
四、小结
一、多维随机变量及分布函数的概念
三、二维连续随机变量
也称为二维随机向量．
一、多维随机变量及分布函数的概念
定义3.1.1
设 和 是定义在同一样本空间 上的两个随机变量，称由它们组成的向量 为二维随机变量，
其中称 和 是二维随机变量的分量．
一、多维随机变量及分布函数的概念
定义3.1.2
设 为二维随机变量，对任意的一组实数对
，称以下的二元函数
为二维随机变量 的联合分布函数，亦简称
为 的分布函数．
性质3.1.1（单调非减性）
对于分布函数 ，如果固定变量 ，则当
时，有
同样，如果固定变量 ，则当 时，有
性质3.1.2（有界性）
对于任意的实数 和 ，有
且有
性质3.1.3（右连续性）
如果固定变量 ，则分布函数 是关于变量
右连续的函数，即
如果固定变量 ，则分布函数 是关于变量
右连续的函数，即
性质3.1.4（矩形区域概率非负性）
对任意的 和 ，其中 ， ，则有
定义3.1.3
设 是定义在同一样本空间 上的 个随机变量，称由它们组成的向量 为
维随机变量，
也称为 维随机向量，
其中称 是 维随机向量的第 个分量．
定义3.1.4
设 是 维随机变量，对任意的实数组 ，称以下的 元函数
为 维随机变量 的联合分布函数，亦简称为 的分布函数．
二、二维离散随机变量
定义3.1.5
若二维随机变量 的取值只有有限多对或可列无穷多对，则称 为二维离散随机变量．
二、二维离散随机变量
定义3.1.6
若二维离散随机变量 所有可能取到的不同值为 ，称
为 的联合概率函数或联合分布律，简称概率函数或分布律．
性质：(1) 非负性：
(2) 规范性：
的联合分布律
例3.1.1
设一抽屉中放有标号为1、2、3、3的四只小球，现从中不放回随机抽出，用随机变量 表示第一次抽出的小球号码，用随机变量 表示第二次抽出的号码，求 的联合分布律，并计算
．
解 的可能取值是1、2、3， 的可能取值是1、2、3，则 的可能取值有9对，易知其中
所以 的
联合分布律为
所以
例3.1.2
设二维随机变量 的联合分布律如下表所示．
求（1） 的值；（2） 的联合分布函数．
解 （1）由联合分布律的规范性，有
则
（2）由
当 或 时，
当 或 时，
当 或 时，
当 或 时，
当 或 时，
所以 的联合分布函数为
三、二维连续随机变量
定义3.1.7
设 是二维随机变量， 是其联合分布函数，若存在非负二元函数 ，使得对于任意的实数 ， ，有
则称 为二维连续随机变量，称 为联合概率密度函数，简称为概率密度．
性质：(1) 非负性：
(2) 规范性：
三、二维连续随机变量
(3) 当 在点 处连续时，
(4) 对于 面上的区域 ，随机点 落在区域 内的概率为
例3.1.3
设二维随机变量 的密度函数为
求（1）常数 ；（2） ．
解 （1）由密度函数的性质，可知
即
得
（2）记 ，则
下面介绍几种常用的二维连续随机变量．
1. 二维均匀分布
定义3.1.8
设 是平面上的一个有界区域，其面积为 ，若二
维随机变量 的密度函数为
则称随机变量 服从区域 上的二维均匀分布．
设随机变量 服从单位圆域 上的均匀分布，求随机变量 落入环形区域
（见下图）内的概率．
例3.1.4
解 由于单位圆域 的面积为 ，所以
的密度函数为
因此， 落入环形区域 内的概率为
2. 二维指数分布
定义3.1.9
若二维随机变量 的密度函数为
其中 为常数，则称随机变量 服从参数为
的二维指数分布．
设随机变量 服从二维指数分布，且概率密度函数为
例3.1.5
求：（1）分布函数 ；
（2） ；
（3） ．
解（1）由
当 或 时，
当 或 时，
所以
（2）由（1）中所求的分布函数，可得
（3）将 看作 坐标面上的随机点坐标，则
可看作坐标平面内的直线 以上的部分
(如图)，
记 ，则
3. 二维正态分布
定义3.1.10
若二维随机变量 的密度函数为
其中 均为常数，则称随机变量 服从参数为 的二维正态分布，
记作
二维正态分布的密度函数也是呈“钟”形的曲面：
设随机变量 服从二维正态分布，且概率密度函数为
例3.1.6
求： ．
解 将 看作 坐标面
上的随机点坐标，则 看
作坐标平面内的直线 以下
的部分(如右图)，
记 ，则
利用极坐标变换，令 可得
小结
1. 主要概念：二维随机变量、分布函数、二维离散随机变量及其概率函数、二维连续随机变量及其密度函数.
2. 常见二维连续随机变量：二维均匀分布、二维指数分布、二维正态分布.

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