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(共24张PPT)
概率论
与
数理统计
“悟道诗---严加安”
随机非随意，概率破玄机；
无序隐有序，统计解迷离．
第三章
多维随机变量及其分布
第二节 边缘分布
二、二维离散随机变量的边缘分布律
四、小结
一、边缘分布函数
三、二维连续随机变量的边缘概率密度函数
一、边缘分布函数
定义3.2.1
设二维随机变量 的联合分布函数为 ，称随机变量 的分布函数 为 关于 的边缘分布函数，且
称随机变量 的分布函数 为 关于 的边缘分布函数，且
二、二维离散随机变量的边缘分布律
定理3.2.1
如果二维离散随机变量 的联合概率函数（分布律）为
则 关于 的边缘分布函数为
则 关于 的边缘分布函数为
的联合分布律及两个边缘分布律表
例3.2.1
设一抽屉中放有标号为1、2、3、3的四只小球，现从中不放回随机抽出，用随机变量 表示第一次抽出的小球号码，用随机变量 表示第二次抽出的号码，求 的边缘分布．
（续例3.1.1）
解 根据例3.1.1的结果，
联合分布律为
由边缘分布的定义，知
取可能值1、2、3时，
所以， 关于 的边缘分布律为
同理， 关于 的边缘分布律为
一纸箱中装有3只红球和4只黑球，现从中随机抽取小球两次，分别采取放回和不放回两种方式，每次取出一只．以 记第一次取出的红球数，
以 记第二次取出的红球数，求 的联合分布律和相应的边缘分布律．
例3.2.2
解 （1）放回随机取球情形， 和 的所有可能取值均为0或1，则由事件的条件概率可得
同样计算法可得
因此，可得 的联合分布律和相应的边缘分布律如下：
（2）不放回随机取球情形， 和 的所有可能取值均为0或1，则由事件的条件概率可得
因此，可得 联合分布律和相应的边缘分布律
如下：
对比放回与和不放回情形的结论，可以看到，两种情形下的联合分布律区别很大，但是两个边缘分布律是一样的．这说明：虽然联合分布可以唯一确定边缘分布，但是由边缘分布无法确定联合分布．
三、二维连续随机变量的边缘概率密度函数
定义3.2.2
如果二维连续随机变量 的联合概率密度为 ，则 关于 的边缘概率密度为
关于 的边缘概率密度为
例3.2.3
的二维均匀分布，
求 的边缘概率密度函数．
设二维随机变量 服从区域
解 由二维均匀分布定义，知 的联合密度函数为
因为区域 的面积为
故
则 关于 的边缘概率密度为：
当 或 时， ，有
当 时，有
因此
同理，
计算 关于 的边缘概率密度为：
求二维正态随机变量
的边缘概率密度函数．
例3.2.4
解 为了便于处理，令 则
关于 的边缘概率密度为：
上式中的被积函数 恰好是服从正态分布 的随机变量的密度函数，
则 关于 的边缘概率密度为：
同理，
计算出 关于 的边缘概率密度为：
这个例子表明：二维正态分布的两个边缘分布是（一维）正态分布，即由联合分布能够完全确定它的边缘分布；还可以看到，这两个边缘分布中都不包含参数 ，所以当 时，这两个二维正态分布不同，但是它们的边缘分布完全相同，即由边缘分布一般无法完全确定它们的联合分布．
设有 维随机变量 ，其联合分布函数为 ，称随机变量
的分布函数 为 关于
的边缘分布函数，且有
以上关于二维随机变量边缘分布的讨论可推广至
维随机变量．
定义3.2.2
小结
主要概念：边缘分布函数、二维离散随机变量的边缘分布律、二维连续随机变量的边缘概率密度函数.

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