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概率论
与
数理统计
“悟道诗---严加安”
随机非随意，概率破玄机；
无序隐有序，统计解迷离．
第三章
多维随机变量及其分布
第六节 综合例题
例1：
设二维随机变量 的联合概率密度函数为
求关于X和Y的边缘概率密度函数，并判断独立性．
解：
先求关于X的边缘概率密度函数
即
例1：
设二维随机变量 的联合概率密度函数为
求关于X和Y的边缘概率密度函数，并判断独立性．
解：
再求关于Y的边缘概率密度函数
即
例1：
设二维随机变量 的联合概率密度函数为
求关于X和Y的边缘概率密度函数，并判断独立性．
解：
综上，显然有对于任意的
所以随机变量X与Y相互独立.
例2：
设 的联合概率密度函数为
求: (1) X和Y的边缘概率密度; (2)
解：
(1) 求X的边缘概率密度
当 时，
当 时，
当 时，
例2：
设 的联合概率密度函数为
求: (1) X和Y的边缘概率密度; (2)
解：
所以，关于X的边缘概率密度函数为
再求关于Y的边缘概率密度
当 时，
当 或 时，
例2：
设 的联合概率密度函数为
求: (1) X和Y的边缘概率密度; (2)
解：
所以，关于Y的边缘概率密度函数为
(2)
例3：
设 的联合概率密度函数为
(1) 问X与Y是否相互独立？(2) 求 Z=X+2Y 的概率密度
解：
(1) 先求两个边缘概率密度函数 fX(x)、 fY(y)；
函数 fZ(z) 和分布函数 FZ(z) ；(3) 求 P(Z > 4).
所以，X服从参数为1的指数分布，即
综上，显然有
所以， X与Y相互独立.
所以，Y服从区间[0,1]上的均匀分布，即
(2) 先求 Z=X+2Y 的分布函数 FZ(z).
当 时，
当 时，
当 时，
所以，Z=X+2Y的分布函数 FZ(z)为
于是，Z=X+2Y的概率密度函数 fZ(z)为
(3) 利用分布函数 FZ(z) 求 P ( Z > 4 ).
设某系统S由两个子系统S1、S2组成，已知S1、
例4：
，其中
S2的寿命都是服从指数分布的随机变量，分别记为
解：
试就下面三种不同的方式，求出系统S的寿命L的概率
密度函数: (1)串联；(2)并联；(3)一个工作，一个备用．
(1) 串联时，系统S的寿命
由 知， 的分布函数为
则此时系统S的寿命L=Xmin的概率密度函数为
即Xmin服从参数为 的指数分布.
(2) 并联时，系统S的寿命
由 知， 的分布函数为
则此时系统S的寿命L=Xmax的概率密度函数为
(3) 备用时，两个子系统的寿命互不影响，系统S的寿命L=X1+X2，可认为X1与X2相互独立.
由 ，结合卷积公式，当x>0时
当 时，
因此，一个工作，一个备用时，系统S的寿命L=X1+X2，的概率密度函数为

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