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“悟道诗---严加安”
随机非随意，概率破玄机；
无序隐有序，统计解迷离．
第四章
随机变量的数字特征
第一节 数学期望
二、随机变量函数的数学期望
一、随机变量的数学期望
三、数学期望的性质
四、小结
一、随机变量的数学期望
设离散型随机变量X的分布律是
定义1：
若
则称
为离散型随机变量X的数学期望，简称期望或均值，记为 .
随机变量 ，求 ．
例1：
解：
因为 ，故其概率函数为
于是按照数学期望的定义有
随机变量 ，求 ．
例2：
解：
因为 ，故其概率函数为
于是按照数学期望的定义有
设连续型随机变量X的概率密度是
定义2：
若
则称
为连续型随机变量X的数学期望，简称期望或均值，记为 .
随机变量 ，求 ．
例3：
解：
因为 ，故其概率密度为
于是按照数学期望的定义有
随机变量 ，求 ．
例4：
解：
因为 ，故其概率密度为
于是按照数学期望的定义有
随机变量 ，求 ．
例5：
解：
因为 ，故其概率密度为
于是按照数学期望的定义有
求其数学期望 ．
随机变量服从柯西（Cauchy）分布，概率密度为
例6：
解：
因为
故其数学期望不存在．
二、随机变量函数的数学期望
随机变量的函数依然是随机变量，故随机变量函数的数学期望一般可以通过求得其概率分布再进行数学期望求解．但是这种方法一般比较繁琐，况且有时我们并不想知道随机变量函数的具体分布，这时我们将利用如下定理直接计算随机变量函数的数学期望．
设 为一随机变量， 且 存在，则
定理1：
（1）若 是离散型随机变量，其概率函数为
则 的数学期望为
（2）若 是连续型随机变量，其概率密度为
，则 的数学期望为
求随机变量 的数学期望．
设随机变量 的概率分布如下
例7：
解：
方法一：易求得 的概率分布为
故其数学期望
-1 0 1 2
0.2 0.1 0.3 0.4
-1 0 3
0.3 0.5 0.2
求随机变量 的数学期望．
设随机变量 的概率分布如下
例7：
解：
方法二：按照公式 的数学期望
-1 0 1 2
0.2 0.1 0.3 0.4
因为 ，其概率密度为
设随机变量 ，求 及
例8：
解：
故
设随机变量 ，求 及
例8：
解：
国际市场每年对我国某种出口商品的需求量是随机变量 （吨），其服从区间 上的均匀分布，每售出一吨该商品，可为国家赚取外汇3万元；若销售不出去，则每吨商品需要贮存费1万元．问该商品应出口多少吨才能使国家的平均收益最大？
例9：
解：
设该商品应出口 吨，显然 ．
国家收益 （单位：万元）是需求量 的函数，记为 ，故有
例9：
解：
由题意， 的概率密度为
则 的数学期望为
例9：
解：
是 的函数，为使 最大，易知
于是，该商品应出口3500吨才能使国家的平均收益最大.
设 为二随机变量， 且 存在，则
定理2：
（1）若 是离散型随机变量，其概率函数为
则 的数学期望为
（2）若 是连续型随机变量，其概率密度为
，则 的数学期望为
设 为常量，则
三、数学期望的性质
利用性质求解数学期望往往比直接求法简洁．
（1）设 为常量，则
（4）设随机变量 独立，则
（2）设 为常量，则
（3）
该性质亦可推广至有限情形.
随机变量 ，求 ．
例10：
解：
引入 且相互独立，
则 又 ，故
随机变量 ，求 ．
例11：
解：
引入 （但不一定独立），则 又 ，故
因为 ，因此
随机变量 ，求
例12：
解：
的数学期望
小结
1. 主要概念：随机变量的数学期望，随机变量函数的数学期望；
2. 数学期望的性质.

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