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“悟道诗---严加安”
随机非随意，概率破玄机；
无序隐有序，统计解迷离．
第四章
随机变量的数字特征
第三节 协方差与相关系数
二、协方差与相关系数的性质
一、协方差与相关系数的概念
三、小结
一、协方差与相关系数的概念
设随机变量X与Y的函数[X-E(X)][Y-E(Y)]的数学期望存在，称
定义1：
为随机变量X与Y的协方差，记为 或
（1）若 是离散型随机变量，其概率函数为
则 的协方差为
（2）若 是连续型随机变量，其概率密度为
，则 的协方差为
随机变量X与Y的协方差本质上是随机变量X与Y函数的数学期望.
设 均存在，则
定理1：
（1）若 是离散型随机变量，其概率函数为
则
设 均存在，则
定理1：
（2）若 是连续型随机变量，其概率密度为
，则
设二维离散型随机变量的联合分布律如下：
例1：
解：
方法一：先求各自的分布及数学期望，再求出协方差．易知关于X, Y, XY的边缘分布分别为
-1 0 1
0 0.1 0.1 0.2
1 0.2 0.3 0.1
求
0 1
0.4 0.6
例1：
解：
方法一：
-1 0 1
0.3 0.4 0.3
-1 0 1
0.2 0.7 0.1
设二维离散型随机变量的联合分布律如下：
例1：
解：
方法二：先利用公式求出X, Y, XY的数学期望，再求出协方差．
-1 0 1
0 0.1 0.1 0.2
1 0.2 0.3 0.1
求
设二维连续型随机变量 在区域D上服从均匀分布，求 其中
例2：
解：
的概率密度为
于是根据相关公式，有
例2：
解：
于是
设随机变量X, Y的数学期望和方差均存在且方差不为0，称其标准化随机变量的协方差
定义2：
协方差的结果中含有两个随机变量的量纲，且是绝对的数值，有时无法表现出两个随机变量之间的相对关联程度．为了避免量纲对于描述两个变量间关联程度的影响，可以采用无量纲的标准化随机变量．
为随机变量X,Y的相关系数，记为
相关系数的计算基本同于协方差.
（1）若 是离散型随机变量，其概率函数为
则
设 均存在，则
（2）若 是连续型随机变量，其概率密度为
，则
二、协方差与相关系数的性质
由协方差和相关系数的定义，易得如下性质．
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
若 ，则称 不相关.
二、协方差与相关系数的性质
（6）
（7）若 独立，则 不相关；反之不然.
（8）
定义3：
不相关反映的是变量之间没有线性变化趋势，但并不代表没有其它的关系（比如平方关系或其它非线性关系等）．
小结
1. 主要概念：随机变量的协方差，随机变量间的相关系数，不相关；
2. 协方差与相关系数的性质.

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