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“悟道诗---严加安”
随机非随意，概率破玄机；
无序隐有序，统计解迷离．
第五章
大数定律和中心极限定理
第一节 切比雪夫不等式与大数定律
二、大数定律
一、切比雪夫不等式
三、小结
一、切比雪夫（Chebyshev）不等式
成立.
定理1
或
则对于任意正数 ，不等式
设随机变量X的数学期望E(X)与方差D(X)存在,
证明：
下面分别在离散型随机变量和连续型随机
变量两种情形。
情形一：设离散型随机变量X的概率函数为p(x), 则有
情形二：设连续型随机变量X的密度函数为f(x), 则有
已知正常男性成人血液中，每毫升含白细胞数的平均值是7300，标准差是700，利用切比雪夫不等式估计每毫升血液含白细胞数在5900~8700 之间的概率．
设 X表示每毫升血液中含白细胞个数，由题意知
例1
则所求概率
解：
二、大数定律
定理2（切比雪夫大数定律）
设独立随机变量序列X1,X2, …,Xn,… 的数学期望和方差都存在，并且方差是一致有上界的，即存在常数C ，使得
则对于任意的正数 ，有
定理3（伯努利大数定律）
在独立试验序列中，设事件A的概率P(A)=p ，fn(A)表示事件A在n次试验中发生的频率，则对于任意的正数
，有
定理4（辛钦大数定律）
设随机变量序列X1,X2, …,Xn,… 独立同分布，并且有
则对于任意的正数 ，有
小结
1. 切比雪夫不等式
2. 大数定律：切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律.

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