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“悟道诗---严加安”
随机非随意，概率破玄机；
无序隐有序，统计解迷离．
第七章
参数估计
第六节 实际案例
如何估计湖中黑、白鱼的比例
某水产养殖场两年前在人工湖混养了黑白两种鱼．现在需要对黑白鱼数目的比例进行估计．设湖中有黑鱼 条，则白鱼数为 ，其中 为待估计参数．
案例1：
分析与解答
本案例是一个估计比例的统计模型．从湖中任捕一条鱼，记
则
为使抽取的样本为简单随机样本，我们从湖中有放回的捕鱼 条（即任捕一条，记下其颜色后放回湖中．任其自由游动，稍后再捕第二条，重复前一过程），得样本 ，显然诸 相互独立，且均与 同分布．设在这 次抽样中，捕得
条黑鱼．下面分别用矩估计法和最大似然估计法估计比例参数 ．
（1）矩估计法．令
可求得参数 的矩估计量
由具体抽样结果知， 的观测值为 ，故 的矩估计值为
（2）最大似然估计法．由于每个 的分布为：
设 为相应抽样结果（样本观测值），则似然函数为：
取对数
令
可求得参数 的最大似然估计值为：
对本题而言，两种方法所得估计结果相同．
预测水稻总产量
某县多年来一直种植水稻，并沿用传统的耕作方法，平均亩产600千克．今年换了新的稻种，耕作方法也作了改进．收获前，为了预测产量高低，先抽查了具有一定代表性的30亩水稻的产量，平均亩产642.5千克，标准差为160千克．如何预测总产量？
案例2：
要预测总产量，只要预测出平均亩产量．如果能够算出平均亩产量的置信区间，那么对总产量的最保守估计就是置信下限与种植面积的乘积，对总产量最乐观估计就是置信上限与种植面积的乘积．
分析与解答：
设水稻亩产量 为一随机变量，由于它受众多随机因素的影响，故可设 ．根据正态分布关于均值的区间估计，在方差 已知时， 的置信水平为95%的置信区间为：
用 代替 ，将 代入，有
故得 的置信水平为95% 的置信区间为：
所以，最保守的估计为亩产585.25千克，比往年略低；最乐观的估计为亩产可能达到700千克，比往年高出100千克．
因上下差距太大，影响预测的准确度．要解决这个问题，可再抽查70亩，即前后共抽样100亩．若设 ，则 的95% 的置信区间为：
置信下限比以往年亩产多11.1千克．这就可以预测：在很大程度上，今年水稻平均亩产至少比往年高出11千克，当然这是最保守的估计．

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