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“悟道诗---严加安”
随机非随意，概率破玄机；
无序隐有序，统计解迷离．
第七章
参数估计
第二节 估计量的评价标准
二、有效性
一、无偏性
三、一致性（相合性）
四、小结
在上一节中可知，对于同一个参数，用不同的点估计方法得出的估计量可能不同，即使利用同一种方法，也可能得到多个估计量．这就涉及到评价估计量好坏的标准问题.
本节我们讨论评价估计量常用的三条标准：
（1）无偏性；（2）有效性；（3）一致性（相合性）．
设 是从总体 中抽取的样本，
是总体分布中未知参数 的估计量，如果 存在，且
则称 是 的无偏估计量．
定义：
一、无偏性
无偏性的意义
对于某些样本值，用估计量 得到的估计值相对于真值 来说有的偏大，有的偏小，但是平均来说它等于未知参数 ．
即不存在系统误差．
注意：
（3）无偏性是对估计量一个常见而重要的要求，它
的实际意义指估计量没有系统偏差，只是随机
偏差.
（1）如果 ，则称 为 的有偏估计量，
称 为估计量 的偏差；
（2）如果 是 的有偏估计量，但 ，
则称 是 的渐近无偏估计量；
定理：
设 是取自总体 的样本，总体 的均值为 ，方差为 ．则
（1）样本均值 是总体均值 的无偏估计量；
（2）样本方差 是总体方
差 的无偏估计量；
证明
因为样本 相互独立且与总体
服从相同的分布，故有
由数学期望和方差的性质可知：
（3）样本二阶中心矩 不是总
体 的无偏估计量，而是渐近无偏估计量．
（1）
（2）由于
故样本均值 是总体均值 的无偏估计量．
则
再由公式 ，可得
因此
即样本方差 是总体方差 的无偏估计量．
（3）由于
又因为
所以 不是 的无偏估计量．
所以 是 的渐近无偏估计量．
二、有效性
对于同一个未知参数 ，它可能有多个无偏估计量，在这些估计量中自然选用对 的平均偏离程度较小者为好，也就是说一个较好的估计量应有较小的方差．由此我们引入评价估计量好坏的第二个标准：有效性．
设 和
都是参数 的无偏估计量，且 ，则称 较 的有效．
定义：
当样本容量 一定时，若在 的所有无偏估计量中， 的方差 最小，则称 是 的有效估计量．
设 是总体 的样本，证明
都是总体均值 的无偏估计量，并比较哪个估计量更有效．
例1：
由于
解：
又因为
所以 ，都是总体均值 的无偏估计量．
又因为 ，所以 较
更有效．
三、一致性（相合性）
在样本容量 一定的情况下，无偏性和有效性能够较好地反映估计量的好坏．但是随着样本所包含信息的增多，当 充分大时，我们希望估计值在某种意义下稳定在真值附近．这就是第三个评价标准：一致性（相合性）．
设 是总体参数 的估计量，如果对于任意 ，当 时，
依概率收敛于 ，即对于任意 ，有
则称 是总体参数 的一致估计量或相合估计量．
定义：
设 是总体 的样本，且
证明：样本均值 是总体均值 的一致估计量．
例2：
证明：
由于样本 是相互独立的，且与总体 服从相同的分布，故有
再由切比雪夫定理，
其中
则有
所以样本均值 是总体均值 的一致估计量．
说明：
（1）样本方差 是总体方差 的一致估计量．用样本的 阶原点矩与样本方差作为总体的 阶原点矩与总体方差的估计是无偏的、一致的，且是较好的估计．
（2）若 是连续函数，
是 的一致估计量，则 是 的一致估计量，故用矩估计法得到的统计量一般是一致估计量．在大多数情况下，最大似然估计量也是一致估计量．
小结
无偏性
3. 一致性（相合性）
2. 有效性

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