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“悟道诗---严加安”
随机非随意，概率破玄机；
无序隐有序，统计解迷离．
第七章
参数估计
第五节 综合例题
设总体 ，抽取样本，
（1）若 已知，计算未知参数
的矩估计量与最大似然估计量，并讨论它们的无偏性；（2）若 已知，计算未知参数 的矩估计量与最大似然估计量，并讨论它们的无偏性．
例1：
解：
（1）由于 ，所以参数 的矩估计量为
下面计算 的最大似然估计量．因为 已知，所以似然函数为
上式两边取对数，得
上式两侧关于参数 求一阶导数，并令一阶导数等于零，得
由此解得 的最大似然估计值为
所以 的最大似然估计量为
因为 是总体均值， 是样本均值，所以由本章第二节定理7.2.1可知， 的矩估计量与最大似然估计量都是无偏估计量．
（2）由于 ，且 已知，根据
有
由矩估计法得到参数 的矩估计量为
由于
所以， 的矩估计量是无偏估计量．
上式两侧关于参数 求一阶导数，并令一阶导数等于零，得
上式两边取对数，得
下面计算 的最大似然估计量．由于 已知，所以似然函数为
由此解得 的最大似然估计值为
所以， 的最大似然估计量为
由 ，有
所以， 的最大似然估计量也是无偏估计量．
设 为正态总体 的一个样本，试确定常数 的值，使
为 的无偏估计．
例2：
解：
由于
所以
再由 （无偏性），故有
所以
例3：
解：
对方差 为已知的正态总体 来说，问需取容量 为多大的样本，才能使总体均值 的置信水平为 的置信区间的长度不大于 ？
由于 的置信区间为
故 的置信区间长度为
要使其不大于 ，需有
从而
即需至少取样本容量为 ，才能使总体均值 的置信水平为 的置信区间的长度不大于 ．
解：
由于
且知 ，故得
设 和 为参数 的两个独立的无偏估计量，且假设 ，求常数 和 ，使
为 的无偏估计，并使方差 最小．
例4：
又由于
要使方差达到最小，需在满足 的条件下，使 达到最小．
令 ，代入得 ．求 关于 的一阶导数，并令其等于零，得
从而解得
解：
进而有
设总体 ，其中 为未知参数，
是 的样本，试证明： 是 的相合估计量．
例5：
由于 ，所以
应用切比雪夫不等式，有
即
从而
由于概率不能大于1，所以有
故 是 的相合估计量．

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