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“悟道诗---严加安”
随机非随意，概率破玄机；
无序隐有序，统计解迷离．
第七章
参数估计
第三节 正态总体的区间估计
二、单个正态总体参数的区间估计
四、小结
一、置信区间的概念
三、两个正态总体参数的区间估计
定义1：设总体 的分布函数
一、置信区间的概念
中含有一个未知
参数
所有可能取值的范围），
由总体
的样本
确定的两个统计量
其中
若对于给定的
，使得
则称随机区间
是
的置信水平为
的
置信区间，称
为置信水平，
分别称为
的双侧置信上限和双侧置信下限.
注：（1）置信区间
的长度反映了估计的精度；
（2）
反映估计的可靠性，值越大，估计的
（3）置信水平
可靠性越高. 而精度和可靠性是矛盾的.
的含义：在随机抽样中，
如果进行N次抽样，则随机得到N个区间，这N个区
间中有的包含未知参数
的真值，有的不包含.
二、单个正态总体参数的区间估计
设总体
是总体
的样本，
分别是样本均值和样本方差，置信水平为
1. 正态总体均值
的区间估计
（1）
已知时，
的置信区间
利用样本函数
根据标准正态分布的上
分位点定义，有
即
得到
的一个置信水平为
的置信区间
或
例1 从某厂生产的滚珠中随机抽取10个，测得滚珠的直径（单位：mm）如下：14.6 15.0 14.7
15.1 14.9 14.8 15.0 15.1 15.2 14.8
若滚珠直径服从正态分布，并且已知
求滚珠直径均值
的置信水平为95%的置信区间.
解 计算样本均值
，置信水平
查表得
，由此得
的置信水平为95%
的置信区间为
即
注：未知参数的置信水平为
的置信区间并不
是唯一的.置信区间的长度随置信水平变化.
(2)
未知时，
的置信区间
当
未知时，
选取样本函数
由于 t 分布的分布曲线对称于 y 轴，故给定的置信水平
，选取对称区间 .
使得
即
则
于是置信区间为
例2 从某厂生产的滚珠中随机抽取10个，测得滚珠直径（单位mm）为：14.6 15.0 14.7 15.1 14.9 14.8 15.0 15.1 15.2 14.8. 若滚珠直径服从正态分布 ，
求滚珠直径均值
的置信水平为95%的置信区间.
解：样本均值 ，
样本标准差 ，
置信水平 ，
，自由度 ，
查表得
，则
的置信区间为
即
注：比较两例，
未知时
的置信区间要比
已知
时的置信区间长度大一些，这表明当未知条件增多，估计精度变差.
2.正态总体方差
的区间估计
（1）
已知时，
的置信区间
构造样本函数
注：
分布的分布曲线不对称，找到最短置信区间
是困难的，所以仿照曲线对称情形选取区间.
故
有
即
即
得到置信区间为
例3 从某厂生产的滚珠中随机抽取10个，测得滚珠直
径（单位mm）如下：14.6 15.0 14.7 15.1 14.9 14.8 15.0 15.1 15.2 14.8. 若滚珠直径服从正态分布，已知
求滚珠直径方差
的置信水平为95%的置信区间.
解：已知
则方差
的置信水平为95%的置信区间为
即
所以置信水平为95%的置信区间为
(2)
未知时，
的置信区间
选取样本函数
选取分位点
可得
即
置信区间为
例4 从某厂生产的滚珠中随机抽取10个，测得滚珠直径（单位：mm）如下：14.6 15.0 14.7 15.1 14.9 14.8 15.0 15.1 15.2 14.8 若滚珠直径服从正态分布，若 未知，求滚珠直径方差 的置信水平为95%的置信区间.
解：样本方差
置信水平
自由度
查表得
置信区间为
即
三、两个正态总体参数的区间估计
在实际问题中，有时需要研究两个正态总体均值或方差之间的差异问题，要讨论两个正态总体的均值差和方差比的区间估计问题.
设总体
是总体
,
的样本，样本均值和
样本方差.
,
是总体
的样本，样本
均值和样本方差
1. 两个正态总体均值差
的区间估计
（1）
已知时，
的置信区间
有
有样本函数
对于给定的置信水平 ，有
即
则有
因此均值差的置信区间为
例5 比较甲，乙两种钢板的强度，从甲钢板中抽取20个样品，测得强度均值为
从乙钢
板中抽取25个样品，测得强度均值为
设两种钢板强度服从正态分布，其方差分别为
试计算两种钢板强度均值差的置信水平90%
的置信区间.
解：
置信水平
查表得
数据代入得到
置信区间为
（2）
均未知，但
时，
的置信区间
选取样本函数
其中
有
即
置信区间为
例6 两批导线，从第一批中抽取4根，第二批抽取5根
测得电阻如下（单位： ）
第一批：0.143 0.142 0.143 0.138
第二批：0.140 0.142 0.136 0.140 0138
设第一批导线的电阻 ，第二批导线的电阻 ，可认为 ，其中
都未知，计算两批导线电阻均值差的置信水平90%的
置信区间.
解：经计算可得
查表得
代入
得置信区间
即
2.两个正态总体方差比
的区间估计
已知时，方差比的区间估计
确定分位数
有
选取样本函数
得到方差比的置信区间为
（2）
未知时，
的置信区间
选取样本函数
给定的置信水平
，确定分位数
使得
得到方差比的置信区间为
小结
一、置信区间的概念
二、单个正态总体参数的区间估计（四种情况）
三、两个正态总体参数的区间估计（四种情况）

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