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“悟道诗---严加安”
随机非随意，概率破玄机；
无序隐有序，统计解迷离．
第九章
方差分析
第一节 单因素方差分析
二、单因素方差分析的数学模型
四、单因素方差分析表
一、单因素方差分析的基本原理
三、离差平方和及自由度的分解
五、小结
孩子编号 甲 乙 丙 丁
1 170 170 165 158
2 175 163 171 156
3 177 167 167 164
4 180 165 172 161
5 182 174 160 168
表9.1 四个家庭的成年孩子的身高（单位：cm）
例9.1.1 考察甲、乙、丙、丁四个家庭的孩子的身高，已知每个家庭均有5个成年的孩子，其身高数据如表9.1所列．试分析不同家庭的成年孩子的身高有无显著差别．
家庭称为因素（或因子），成年孩子的身高称为试验指标．
用 表示家庭因素，则 有四个水平：甲、乙、丙和丁，也可用 表示
因素 的第 个水平所对应的5个成年孩子的身高是来自同一个总体的样本，这里就有4个总体和4个独立的样本，通常假定这些总体服从方差相同的正态分布
记 分别表示4个总体的总体均值，
不全相等
则分析不同家庭的成年孩子的身高有无显著差别就相当于作如下假设检验
一、单因素方差分析的基本原理
数据间的差异
系统偏差(组间偏差)：来自不同总体样本数据之间的差异
随机误差(组内偏差)：来自同一总体样本数据之间的差异
同一个家庭的5个孩子的身高是不一样的，这种差异为随机误差；不同家庭的成年孩子的身高也是不一样的，这种差异为系统偏差．
图9.1 四个家庭的成年孩子身高的分组箱线图
若原假设 成立，所有孩子的身高应该处于同一水平，即图中总平均线高度，而实际上受家庭因素和其他随机因素影响，20个孩子的身高是不全相同的．
一、单因素方差分析的基本原理
第 个家庭的第 个孩子的身高
第 个家庭的5个孩子的平均身高
所有孩子的总平均身高
左端表示单个孩子的身高与总平均身高的差异，可理解为单个样本数据的总离差．右端被拆分为两项，其中第一项为组内偏差，第二项为组间偏差．
一、单因素方差分析的基本原理
一、单因素方差分析的基本原理
总离差平方和
组间离差平方和:系统因素所造成的离差平方和
组内离差平方和:随机因素所造成的离差平方和
单因素方差分析就是将样本数据的总离差平方和分解为组间离差平方和与组内离差平方和，然后根据这两个平方和构造检验统计量，推导统计量所服从的分布，最后确定检验的拒绝域．
二、单因素方差分析的数学模型
设因素 有 个水平 ，对应试验指标 的 个总体，记为 ，它们的分布为
令
二、单因素方差分析的数学模型
组别 样本 样本均值 样本方差
表9.2 个总体的样本
二、单因素方差分析的数学模型
单因素方差分析的数学模型为
其中 （Independent identically distributed）表示独立同分布．
欲检验因素 对试验指标有无显著影响，相当于检验
不全相等
二、单因素方差分析的数学模型
令
单因素方差分析的数学模型 可改写为
式 等价于
不全为
二、单因素方差分析的数学模型
表示由因素 的第 个水平 所造成的偏离总均值的增量，称为因素 的第 个水平的效应，可以看作 对总平均 的“贡献”大小．
若 ，称 的效应为正，若 ，称 的效应为负．
三、离差平方和及自由度的分解
由(9.5)
令
用 作为 的估计， 作为 的估计， 作为 的估计， 作为 的估计，则式(9.5)变为
三、离差平方和及自由度的分解
记
为样本数据的总离差平方和，即
结合上述分解,有
三、离差平方和及自由度的分解
由于
所以
三、离差平方和及自由度的分解
其中
可以看出 为因素 所造成的离差平方和，称为组间离差平方和， 为随机因素所造成的离差平方和称为组内离差平方和．
定理9.1.1 在以上记号下，对于模型式(9.5)，有以下结论成立．
(1) , 且 与 相互独立
(2) 原假设 成立时,
三、离差平方和及自由度的分解
三、离差平方和及自由度的分解
构造检验统计量
由定理9.1.1可知，当原假设 成立时，
其中 称为组间均离差平方和，
为组内均方离差平方和.
三、离差平方和及自由度的分解
当统计量 的观测值 大于某个临界值时，应拒绝原假设 ,
所以对于给定的显著性水平 ,检验的拒绝域为
其中 为 分布的上侧 分位数.
四、单因素方差分析表
当 时，应拒绝原假设 ，认为因素 对试验指标有显著影响．
四、单因素方差分析表
可将临界值换成检验的 值，其定义为
当 时，应拒绝原假设 ，认为因素 对试验指标有显著影响，并且 值越小，显著性越强
当 时，应接受原假设 ，认为因素 对试验指标无显著影响
当 ，亦即 时，为慎重起见，可增加样本容量，重新进行抽样检验．
对于给定的显著性水平 ，
四、单因素方差分析表
例9.1.2 考察甲、乙、丙、丁四个家庭的孩子的身高，已知每个家庭均有5个成年的孩子，其身高数据如表9.1所列．试分析不同家庭的成年孩子的身高有无显著差别．（取显著性水平 ）
解 利用表9.1中数据，计算得
、 和 的自由度分别为3、16和19，从而可得各均 方分别为
四、单因素方差分析表
计算得
于是可得单因素方差分析表如下：
四、单因素方差分析表
由方差分析表可知 ，故认为不同家庭的成年孩子的身高有显著差别．
小结
单因素方差分析的基本原理
单因素方差分析的数学模型
离差平方和及自由度分解
单因素方差分析表
利用统计量 判断是否接受原假设

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