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“悟道诗---严加安”
随机非随意，概率破玄机；
无序隐有序，统计解迷离．
第十章
回归分析
第一节 相关与回归分析概述
二、相关关系的度量与可视化
四、小结
一、相关关系
三、什么是回归分析
一、相关关系
函数关系：
人的身高和体重
父亲的身高和成年儿子的身高
粮食的施肥量和产量
商品的广告费和销售额
相关关系：
例如
例如
二、相关关系的度量与可视化
1. 相关系数
随机变量 X 和 Y 的相关系数定义如下：
其中 是 X 和 Y 的协方差，
分别为 X 和 Y 的方差.
二、相关关系的度量与可视化
1. 相关系数
在实际问题中，基于X 和 Y 的 n 对观测数据
可以利用下式计算 X 和 Y的相关系数：
称 r 为变量 X 和 Y 的样本相关系数.
二、相关关系的度量与可视化
1. 相关系数
样本相关系数 r 度量了变量 X 和 Y 的线性相关性的强弱，满足 . 对于固定的样本容量n
1） ;
2） 越接近于1时， X 和 Y 的线性相关性越强;
3） 越接近于0时， X 和 Y 的线性相关性越弱.
二、相关关系的度量与可视化
1. 相关系数
二、相关关系的度量与可视化
2. 散点图
二、相关关系的度量与可视化
3. 相关系数矩阵图
设有 m 个变量 ，对它们进行 n 次独立的观测，观测数据矩阵记为
定义 的相关系数矩阵如下：
3. 相关系数矩阵图
其中
这里
为变量 和 的相关系数，满足 .
例10.1.1 在有氧锻炼中，人的耗氧能力 Y 是衡量身体状况的重要指标，它可能与以下因素有关：年龄 X1 (岁)，体重X2 (kg)，1500米跑所用的时间X3(min),静止时心速 X4 (次/min)，跑步后心速X5 (次/min).对24名40至57岁的志愿者进行了测试，结果如下表所列．试根据这些数据分析耗氧能力 Y 与诸因素之间的相关性．
例10.1.1 数据表：
序号 y x1 x2 x3 x4 x5
1 44.6 44 89.5 6.82 62 178
2 45.3 40 75.1 6.04 62 185
3 54.3 44 85.8 5.19 45 156
4 59.6 42 68.2 4.9 40 166
5 49.9 38 89 5.53 55 178
… … … … … … …
23 45.4 52 76.3 5.78 48 164
24 54.7 50 70.9 5.35 48 146
解
经计算得 的相关系数矩阵如下：
为了直观，绘制相关系数矩阵图，图中用椭圆色块直观地表示变量间的线性相关程度的大小.
相关系数矩阵图
第i 行，第 j 列的椭圆色块用来表示第i 个变量和第 j 个变量的相关性，其短半轴和长半轴满足
注：椭圆越扁，变量间相关系数的绝对值越接近于1，椭圆越圆，变量间相关系数的绝对值越接近于0．若椭圆的长轴方向是从左下到右上，则变量间为正相关，反之为负相关．
三、什么是回归分析
回归分析是对变量的相关关系进行建模的数学工具. 回归分析的内容包括：
1）从一组样本数据出发，确定因变量和自变量之间的数学关系式，即经验回归方程；
2）对经验回归方程进行显著性检验；
3）对回归方程中的各项进行检验，判断哪些项对因变量的影响是显著的，哪些是不显著的，通常需要剔除不显著的项，重新计算，对模型做出改进；
4）利用所求得的经验回归方程进行预测和控制．
小结
1. 主要概念：相关关系，相关系数，样本相关系数，相关系数矩阵.
2. 基于样本数据计算样本相关系数和相关系数矩阵.
3. 散点图和相关系数矩阵图.

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