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“悟道诗---严加安”
随机非随意，概率破玄机；
无序隐有序，统计解迷离．
第十章
回归分析
第四节 一元非线性回归
二、可线性化的非线性函数
一、一元非线性回归模型
三、小结
一、一元非线性回归模型
随机变量 Y
可控变量 X
非线性相关
Y 关于 X 的一元非线性回归模型：
n 组独立观测数据
b0, b1, …, bk 为待估计的模型参数. εi为随机误差项.
二、可线性化的非线性函数
1. 双曲线函数
3) 线性化方法：
1) 函数形式：
令 ，则有
2) 函数图形：
2. 幂函数
3) 线性化方法：
1) 函数形式：
取对数得
2) 函数图形：
令 ，则有
3. 对数函数
3) 线性化方法：
1) 函数形式：
2) 函数图形：
令 ，则有
4. 指数函数
3) 线性化方法：
1) 函数形式：
取对数得
2) 函数图形：
令 ，则有
5. 负指数函数
3) 线性化方法：
1) 函数形式：
取对数得
2) 函数图形：
令 ，则有
6. 逻辑斯蒂（logistic）函数
3) 线性化方法：
1) 函数形式：
取倒数得
2) 函数图形：
令 ，则有
7. 多项式函数
3) 线性化方法：
1) 函数形式：
2) 函数图形：
令 ，则有
例10.4.1 头围是反映婴幼儿大脑和颅骨发育程度的重要指标之一．为研究头围Y和月龄X的关系，现收集21名男童的头围（cm）和月龄数据，如下表所列：
序号 月龄 头围 序号 月龄 头围 序号 月龄 头围
1 1 37.8 8 8 44.7 15 48 51.4
2 2 39.4 9 9 46.1 16 60 52.3
3 3 40.7 10 10 45.4 17 72 52.9
4 4 41.8 11 11 46.9 18 84 53.1
5 5 42.8 12 12 47.0 19 96 53.3
6 6 43.7 13 24 49.7 20 108 53.0
7 7 42.9 14 36 51.2 21 120 53.5
求 Y 关于 X 的回归方程．
解
（1）散点图
（2）理论回归方程
解
（3）线性化
对理论回归方程取对数得
令
建立 V 关于 U 的一元线性回归方程
u v u v u v
0.1 3.6323 0.0588 3.8 0.0175 3.9396
0.0909 3.6738 0.0556 3.8308 0.0145 3.957
0.0833 3.7062 0.0526 3.8155 0.0123 3.9684
0.0769 3.7329 0.05 3.848 0.0108 3.9722
0.0714 3.7565 0.0476 3.8501 0.0095 3.9759
0.0667 3.7773 0.0303 3.906 0.0085 3.9703
0.0625 3.7589 0.0222 3.9357 0.0078 3.9797
利用本例中已给数据计算得 U,V 的数据如下表：
解
（3）经计算得
可得
于是 V 关于 U 的经验回归方程为
解
（3）进一步计算得
由于
所以 V 和 U 之间的线性相关关系是非常显著的.
解
（4）换回原变量可得
故 Y 关于 X 的经验回归方程为
注：对于一元非线性回归，如何选取合适的回归曲线是一个难题，通常要用到专业知识，如果专业上也不清楚，还可以根据散点图选取回归曲线，并且可能会有多种不同的回归曲线供选择．如何评价回归曲线的好坏呢？一个常用的指标是残差平方和SSE（或均方根误差 ）， SSE（或 ）越小的回归曲线越好.
小结
1. 主要概念：一元非线性回归模型.
2. 可线性化的非线性函数的形式、图形和线性化方法
双曲线函数
幂函数
对数函数
指数函数
负指数函数
逻辑斯蒂（logistic）函数
多项式函数

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