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“悟道诗---严加安”
随机非随意，概率破玄机；
无序隐有序，统计解迷离．
第九章
方差分析
第二节 双因素方差分析
二、单因素方差分析的数学模型
四、小结
一、单因素方差分析的基本原理
三、统计分析
如果在例9.1.1中,不只考虑家庭因素对成年孩子身高的影响,还考虑地域因素的影响,这就是一个双因素方差分析.
一、双因素方差分析的基本原理
如果 和 对 的影响是相互独立的，此时的双因素方差分析称为无交互作用的双因素方差分析；
如果除了 和 对试验结果的单独影响外，因素
和因素 的搭配还会对 产生一种新的影响，这时的双因素方差分析称为有交互作用的双因素方差分析．
假设试验指标 同时受到因素 和 的影响，
对于无交互作用的双因素方差分析
一、单因素方差分析的基本原理
样本观测值 — 总均值
= 因素 的效应+ 因素 的效应+随机误差
一、双因素方差分析的基本原理
无交互作用的双因素方差分析就是将样本数据的总离差平方和分解为三部分：
系统因素 所造成的离差平方和，
系统因素 所造成的离差平方和，
以及随机因素所造成的离差平方和，
然后根据这三个平方和构造检验统计量，推导统计量所服从的分布，
最后确定检验的拒绝域．
对于有交互作用的双因素方差分析
一、双因素方差分析的基本原理
样本观测值 — 总均值
= 的效应+ 的效应+ 的交互作用+随机误差
一、双因素方差分析的基本原理
有交互作用的双因素方差分析就是将样本数据的总离差平方和分解为四部分：
系统因素 所造成的离差平方和，
系统因素 所造成的离差平方和，
的交互作用所造成的离差平方和，
以及随机因素所造成的离差平方和，
然后根据这四个平方和构造检验统计量，推导统计量所服从的分布，
最后确定检验的拒绝域．
二、双因素方差分析的数学模型
设因素 有 个不同的水平 ，因素 有
个不同的水平 ,每种水平组合
下的试验结果看作是取自正态总体 的一个样本，各水平组合与总体分布如下
二、单因素方差分析的数学模型
二、单因素方差分析的数学模型
令
则 表示因素 的第 个水平 的效应， 表示因素 的第 个水平 的效应，它们满足
二、单因素方差分析的数学模型
1. 无交互作用的双因素方差分析模型
若 ，即每种水平组合 下的总体均值 可看作是总平均 与各因素水平效应
的简单迭加，此时不考虑 的交互作用．
为简单起见，假设每种水平组合 下只做一次独立试验（无重复试验），结果记为 ，试验误差为 ，则无交互作用的双因素方差分析模型为
二、单因素方差分析的数学模型
1. 无交互作用的双因素方差分析模型
二、单因素方差分析的数学模型
2. 有交互作用的双因素方差分析模型
若 ，记
其中 表示 和 对试验结果的某种联合影响，称为 和 的交互作用的效应，简称交互效应，它们满足
为简单起见，假设在每种水平组合 下均做 次试验（等重复试验），并假设所有的试验是相互独立的，所得试验结果记为
每次试验误差记为 ，则有交互作用的双因素方差分析模型为
二、单因素方差分析的数学模型
2. 有交互作用的双因素方差分析模型
为研究交互作用的影响是否显著，在 两因素的各种水平组合下需要做重复试验．
二、单因素方差分析的数学模型
2. 有交互作用的双因素方差分析模型
(9.15)
二、单因素方差分析的数学模型
2. 有交互作用的双因素方差分析模型
注9.2.1 对于双因素方差分析，若不考虑交互作用， 在因素A,B 的每种水平组合下只需做一次试验，即可进行后续的统计分析，当然也可以做重复试验．若考虑交互作用，在各水平组合下需要做重复试验，才可进行后续的统计分析．
三、统计分析 1．无交互作用的双因素方差分析
检验因素 对试验指标的影响是否显著，等价于检验假设
原假设 成立表示因素 对试验指标无显著影响．
类似地，检验因素 对试验指标的影响是否显著，等价于检验假设
原假设 成立表示因素 对试验指标无显著影响.
(1) 平方和分解
三、统计分析 1．无交互作用的双因素方差分析
假设每种水平组合 下只做一次独立试验，试验结果 如下
(1) 平方和分解
三、统计分析 1．无交互作用的双因素方差分析
其中
(1) 平方和分解
三、统计分析 1．无交互作用的双因素方差分析
由式(9.14)可知
用 作为 的估计， 作为 的估计， 作为 的估计，则有
(1) 平方和分解
三、统计分析 1．无交互作用的双因素方差分析
记 为样本数据的总离差平方和，即
将 分解如下：
(1) 平方和分解
三、统计分析 1．无交互作用的双因素方差分析
可以证明，在上述平方和分解式中，所有交叉乘积的和项均为0．
为因素 所造成的离差平方和;
为因素 所造成的离差平方和;
为随机因素所造成的离差平方和.
(1) 平方和分解
三、统计分析 1．无交互作用的双因素方差分析
定理9.2.1 在以上记号下，对于模型(9.14)，有以下结论成立：
· ，且 、 和 相互独立；
· 成立时， ；
· 成立时， ；
· 和 都成立时， ．
(2) 检验的统计量和拒绝域
三、统计分析 1．无交互作用的双因素方差分析
构造检验统计量
其中
(2) 检验的统计量和拒绝域
三、统计分析 1．无交互作用的双因素方差分析
由定理9.2.1，在原假设 和 分别成立时，有
对于给定的显著性水平 ， 和 对应的拒绝域分别为
(3) 无交互作用的双因素方差分析表
三、统计分析 1．无交互作用的双因素方差分析
三、统计分析 1．无交互作用的双因素方差分析
当 时，应拒绝原假设
，认为因素 对试验指标有显著影响．
(3) 无交互作用的双因素方差分析表
当 时，应拒绝原假设
，认为因素 对试验指标有显著影响．
表中临界值可以分别替换为检验的 值，其定义为
对于给定的显著性水平 ，当 时，应拒绝原假设 ；当 时，应拒绝原假设 ．
三、统计分析 1．无交互作用的双因素方差分析
例9.2.1 某饮料生产企业研制出一种新型饮料．饮料的颜色共有四种，分别为橘黄色、粉色、绿色和无色透明．随机从五家超市收集了前一时期该饮料的销售量数据，见下表
假设在超市和颜色的各种搭配下，销售量总体服从同方差的正态分布．试分析超市和饮料的颜色对饮料的销售量是否有显著影响．（取显著性水平 ）
颜色B 超市A 橘黄色 粉色 绿色 无色
1 26.5 31.2 27.9 30.8
2 28.7 28.3 25.1 29.6
3 25.1 30.8 28.5 32.4
4 29.1 27.9 24.2 31.7
5 27.2 29.6 26.5 32.8
三、统计分析 1．无交互作用的双因素方差分析
解: 计算各行、各列的样本均值及总均值得
于是
、 、 和 的自由度分别为4、3、12和19，从而可得各均方分别为
三、统计分析 1．无交互作用的双因素方差分析
计算得
于是可得双因素方差分析表
三、统计分析 1．无交互作用的双因素方差分析
由方差分析表可知 ，
,
故认为超市对饮料的销售量无显著影响，而饮料的颜色对饮料的销售量有显著影响．
三、统计分析 2.有交互作用的双因素方差分析
对于有交互作用的双因素方差分析，除了要检验无交互作用的双因素方差分析中的假设外，还要检验假设
原假设 成立表示因素 和 的交互作用对试验指标无显著影响．
三、统计分析 2.有交互作用的双因素方差分析
(1) 平方和分解
假设在每种水平组合 下均做 次试验，并假设所有的试验是相互独立的，试验结果如下
三、统计分析 2.有交互作用的双因素方差分析
(1) 平方和分解
其中
三、统计分析 2.有交互作用的双因素方差分析
(1) 平方和分解
由
其中
三、统计分析 2.有交互作用的双因素方差分析
(1) 平方和分解
用 作为 的估计， 作为 的估计， 作为 的估计， 作为 的估计，则有
记 为样本数据的总离差平方和，即
三、统计分析 2.有交互作用的双因素方差分析
(1) 平方和分解
可以证明，上式中所有交叉乘积的和项均为0．
三、统计分析 2.有交互作用的双因素方差分析
(1) 平方和分解
其中
为因素 所造成的离差平方和， 为因素 所造成的离差平方和， 为因素 的交互作用所造成的离差平方和， 为随机因素所造成的离差平方和．
三、统计分析 2.有交互作用的双因素方差分析
(1) 平方和分解
定理9.2.2 在以上记号下，对于模型(9.15)，有以下结论成立．
· ，且 、 、 和 相互独立；
· 成立时， ；
· 、 和 都成立时， ．
· 成立时， ；
· 成立时， ；
(2) 检验的统计量和拒绝域
三、统计分析 2.有交互作用的双因素方差分析
构造检验统计量
其中
(2) 检验的统计量和拒绝域
三、统计分析 2.有交互作用的双因素方差分析
由定理9.2.2，在原假设 、 和 分别成立时，有
对于给定的显著性水平 ， 、 和 对应的拒绝域分别为
(3) 有交互作用的双因素方差分析表
三、统计分析 2.有交互作用的双因素方差分析
三、统计分析 2.有交互作用的双因素方差分析
当 时，应拒绝原假设 ，认为因素 对试验指标有显著影响．
(3) 无交互作用的双因素方差分析表
当 时，应拒绝原假设 ，认为因素 对试验指标有显著影响．
当 时，应拒绝原假设 ，认为因素 的交互作用对试验指标有显著影响．
三、统计分析 2.有交互作用的双因素方差分析
(3) 无交互作用的双因素方差分析表
表中临界值可以分别替换为检验的 值，其定义为
对于给定的显著性水平 ，当 时，应拒绝原假设 ；当 时，应拒绝原假设 ；当
时，应拒绝原假设 ．
三、统计分析 2．有交互作用的双因素方差分析
例9.2.2 考察合成纤维中对纤维弹性有影响的两个因素：收缩率 和总拉伸倍数 ，它们各取4种水平，在各水平组合下均做2次试验，试验结果如表中所列
假设在各水平组合下，纤维弹性总体服从同方差的正态分布．试分析收缩率、总拉伸倍数及其交互作用分别对纤维弹性有无显著影响.(取显著性水平 ）
　 总拉伸倍数B 收缩率A B1 (460) B2 (520) B3 (580) B4 (640)
A1 (0) 71, 73 72, 73 75, 73 77, 75
A2 (4) 73, 75 76, 74 78, 77 74, 74
A3 (8) 76, 73 79, 77 74, 75 74, 73
A4 (12) 75, 73 73, 72 70, 71 69, 69
三、统计分析 2．有交互作用的双因素方差分析
解: 计算得
、 、 、 和 的自由度分别为3、3、9、16和31，从而可得各均方分别为
计算得
三、统计分析 2．有交互作用的双因素方差分析
于是可得双因素方差分析表
三、统计分析 1．无交互作用的双因素方差分析
由方差分析表可知 ，
，
，
故认为收缩率对纤维弹性有显著影响，总拉伸倍数对纤维弹性无显著影响，收缩率和总拉伸倍数的交互作用对纤维弹性有显著影响．
小结
双因素方差分析的基本原理
无交互作用的双因素方差分析模型和有交互作用的双因素方差分析模型
利用相关统计量判断检验因素对试验指标的影响是否显著

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