资源简介

(共22张PPT)
概率论
与
数理统计
“悟道诗---严加安”
随机非随意，概率破玄机；
无序隐有序，统计解迷离．
第三章
多维随机变量及其分布
第三节 随机变量的独立性
二、多个随机变量之间的独立性
三、小结
一、两个随机变量之间的独立性
一、两个随机变量之间的独立性
定义3.3.1
设二维随机变量 的联合分布函数为 ，
和 分别是关于 和 的边缘分布函数，
若对于任意的实数对 ，都有
则称随机变量 与 相互独立，简称 与 独立．
注3.3.1
即随机变量 与 相互独立，等价于对于任意的实数 ，事件 与事件 相互独立．
也可化为
（1）由分布函数的概念，定义式
注3.3.1
也可化为
（2）当 是二维离散随机变量时，定义式
即
其中 是 的联合分布律， 、 分别是 关于 和 的边缘分布律．
注3.3.1
也可化为
（3）当 是二维连续随机变量时，定义式
其中 是 的联合概率密度函数， 、
分别是 关于 和 的边缘概率密度函数．
例3.3.1
（续例3.2.2）
一纸箱中装有3只红球和4只黑球，现从中随机抽取小球两次，分别采取放回和不放回两种方式，每次取出一只．以 记第一次取出的红球数，以 记第二次取出的红球数，分别讨论随机变量 与 在放回和不放回两种情形下的独立性．
解 （1）放回情形，
根据例3.2.2的结果，联合分布律和边缘分布律如右表：
则对任意的 ，都有
所以，此种情形下随机变量 与 相互独立．
所以，此种情形下随机变量 与 不相互独立．
（2）不放回情形，
根据例3.2.2的结果，联合分布律和边缘分布律如右表：
例3.3.2
（续例3.2.3）
设二维随机变量 服从区域
上的二维均匀分布，讨论随机变量 与 的独立性．
解 由例3.2.3的结论， 的联合概率密度函数为
而 和 的边缘概率密度为：
显然， ，
随机变量 与 不相互独立．
例3.3.3
设随机变量 服从二维正态分布
证明：随机变量 与 相互独立的充分必要条件是 ．
证明 充分性
设 ，则 的密度函数可化为
所以随机变量 与 相互独立，充分性得证．
必要性 设随机变量 与 相互独立，则对任意的实数 ，有
即
化简可得
上式仅当 时恒成立，必要性得证．
在前一节中，我们曾指出，仅由 与 的边缘分布一般无法完全确定 的联合分布．然而，当随机变量 与 相互独立时，边缘概率密度函数的乘积就是二维随机变量 的联合概率密度函数，即此时由边缘分布可以完全确定联合分布．
二、多个随机变量之间的独立性
定义3.3.2
则称随机变量 相互独立．
设 是 维随机变量， 是其联合分布函数， 是关于 的边缘分布函数．若对于任意的实数组 ，都有
定义3.3.3
设 是 维随机变量， 是其联合分布函数； 是 维随机变量，
是其联合分布函数；
可看作是 维随机变量，
是其联合分布函数．
任意的实数组 ，都有
若对于
则称随机变量 与 相互独立．
定理3.3.1
设 是 维连续随机变量，
是其联合概率密度函数， 是关于 的边缘概率密度函数，则随机变量 相互独立等价于
其中 为任意的实数组．
定理3.3.2
若随机变量 相互独立，对任意的
和多元连续函数 ，分别记
则随机变量 与 也是相互独立的．
定理3.3.3
若随机变量 与 相互独立，对多元连续函数 ，分别记
则随机变量 与 也是相互独立的．特别地，随机变量 与 也是相互独立的．
小结
主要概念：两个随机变量之间的独立性、多个随机变量之间的独立性.

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