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(共22张PPT)
概率论
与
数理统计
“悟道诗---严加安”
随机非随意，概率破玄机；
无序隐有序，统计解迷离．
第三章
多维随机变量及其分布
第五节 多维随机变量函数的分布
二、多维连续随机变量函数的分布
一、多维离散随机变量函数的分布
三、小结
一、多维离散随机变量函数的分布
设(X,Y)是二维离散随机变量，其联合分布律为
定理1：
则 Z=g(X,Y) 也是离散随机变量，且Z的分布律为
其中 g(x,y) 是二元初等函数.
注：以上定理的结论可以推广至多维随机变量的情形，同学们可尝试给出相应的形式．
设X和Y是两个相互独立的、取值为非负整数值的离散随机变量，其中X的概率分布律为
由题意，Z=X+Y 也是取值非负的离散随机变量，利用独立性可得
例1：
Y的概率分布律为
求 Z=X+Y 的概率分布律.
解：
设有二项随机变量 ，且X与Y 相互独立，则
称此公式为“离散卷积公式”.
其中 n=0, 1, 2, ... 即
练习：
二项随机变量的“再生性”---由相互独立的二项随机变量求和可得新的二项随机变量.
若Z1, Z2, … , Zm 是相互独立的0-1随机变量，即 Zi ~B(1, p)，i=1, 2, …, n，则有
注：
若Xi ~B(ni, p)，i=1, 2, …, m，且 X1, X2, … , Xm 相互独立，则有
特别地，
二、多维连续随机变量函数的分布
设(X,Y)是二维连续随机变量，其联合概率密
定理2：
分布函数为
其中 g(x,y) 是二元初等函数.
注：当Z=g(X,Y)为连续随机变量时，Z 的密度函数为
度函数为 f(x,y)，则 Z=g(X,Y) 也是随机变量，且 Z 的
利用分布函数法，可以计算两个连续随机变量之和、差、积、商的密度函数．
设(X,Y)是二维连续随机变量，其联合概率密
定理3：
度函数为 f(x,y)，则 Z=X+Y 的概率密度函数fZ (z)为
U=X-Y 的概率密度函数fU (u)为
V=XY 的概率密度函数fV (v)为
当X与Y相互独立时，其联合概率密度函数为f(x,y) = fX (x) fY (y). 此时，Z=X+Y的密度函数为
W=X/Y 的概率密度函数fW (w)为
称此公式为“连续卷积公式”，记为
注：
由题意， X与Y的概率密度函数分别为
例2：
证明：
设 且X与Y相互独立，证明：
令Z=X+Y，则当X与Y相互独立时，由卷积公式得
经计算，上式中被积函数的指数部分可化为
其中，
则有，
再令u=Ax-B，并利用 ，则上式可化为
即
注：由上例可见，两个相互独立的正态随机变量之和仍为正态随机变量，其参数是有关的参数相加．这说明正态分布也具有“再生性”，此结论可推广至多个正态随机变量的情形．
接下来，不作证明，给出四条在数理统计中经常遇到的n维正态分布的重要性质：
说明：
（1）若X1, X2, … , Xn 都是正态随机变量，且相互独立，则(X1, X2, … , Xn )是n维正态随机变量；反之，n维正态随机变量(X1, X2, … , Xn ) 的每一个分量Xi (i=1, 2, …, n) 都是正态随机变量.
（2） n维随机变量(X1, X2, … , Xn )服从n维正态分布的充要条件是X1, X2, … , Xn 的任意线性组合
服从一维正态分布.
接下来，不作证明，给出四条在数理统计中经常遇到的n维正态分布的重要性质：
说明：
（3）若 (X1, X2, … , Xn ) 服从n维正态分布，设 Y1, Y2, … , Ym 都是 Xi (i=1, 2, …, n)的线性组合，则 (Y1, Y2, … , Ym ) 服从m维正态分布（正态分布的线性变换不变性）.
（4） 设 (X1, X2, … , Xn ) 服从n维正态分布，则“X1, X2, … , Xn相互独立”与“X1, X2, … , Xn两两不相关”是等价的.
在概率统计中，也经常需要求多个随机变量的最大值和最小值的分布．
设X1, X2, … , Xn是相互独立的随机变量，其分
定理4：
则Xmax 与Xmin也是随机变量，它们的分布函数分别为
布函数分别为 . 令
由分布函数定义及独立性，先求Xmax 分布函数
证明：
再求Xmin的分布函数，
(1) 如果X1, X2, … , Xn是独立同分布的随机变量，记它们的分布函数为F (x) ，则有
(2) 如果X1, X2, … , Xn是独立同分布的连续随机变量，记它们的概率密度函数为f (x) ，则有
注：
设X1, X2, … , Xn相互独立，且均服从指数分布，参数分别为 ，证明：
仍服从指数分布．
例3：
证明：
由定理4，Xmin的分布函数为
设X1, X2, … , Xn相互独立，且均服从指数分布，参数分别为 ，证明：
仍服从指数分布．
例3：
证明：
则Xmin的概率密度函数为
即Xmin服从参数为 的指数分布.
小结
1. 主要概念：卷积公式，再生性， Xmax ，Xmim ；
2. 随机变量函数的分布.

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