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2024年中考数学二轮复习34个必考重难点小微专题精练（全国通用）
专题19 全等三角形（含等腰等边）判定与性质
一、选择题
1．如图，已知∠AOB=70°，OC平分∠AOB，DC∥OB，则∠C为（　　）
A．20° B．35° C．45° D．70°
【答案】B
【解析】根据角平分线的定义可得∠AOC=∠BOC，再根据两直线平行，内错角相等即可得到结论．
∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC=∠BOC=AOB=35°，
∵CD∥OB，
∴∠BOC=∠C=35°，
故选B．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．
2. 如图，已知∠ABC=∠DCB，添加以下条件，不能判定△ABC≌△DCB的是（　）
A．∠A=∠D B．∠ACB=∠DBC C．AC=DB D．AB=DC
【答案】C
【解析】全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，根据定理逐个判断．
A.∠A=∠D，∠ABC=∠DCB，BC=BC，符合AAS定理，即能推出△ABC≌△DCB，故本选项错误；
B.∠ABC=∠DCB，BC=CB，∠ACB=∠DBC，符合ASA定理，即能推出△ABC≌△DCB，故本选项错误；
C.∠ABC=∠DCB，AC=BD，BC=BC，不符合全等三角形的判定定理，即不能推出△ABC≌△DCB，故本选项正确；
D.AB=DC，∠ABC=∠DCB，BC=BC，符合SAS定理，即能推出△ABC≌△DCB，故本选项错误。
3. 如图，OB平分∠AOC，D、E、F分别是射线OA、射线OB、射线OC上的点，D、E、F与O点都不重合，连接ED、EF若添加下列条件中的某一个．就能使DOEFOE，你认为要添加的那个条件是（ ）
A. OD=OE B. OE=OF C. ∠ODE =∠OED D. ∠ODE=∠OFE
【答案】D
【解析】根据OB平分∠AOC得∠AOB=∠BOC，又因为OE是公共边，据全等三角形的判断即可得出结果．
∵OB平分∠AOC
∴∠AOB=∠BOC
当△DOE≌△FOE时，可得以下结论：
OD=OF，DE=EF，∠ODE=∠OFE，∠OED=∠OEF．
A答案中OD与OE不是△DOE≌△FOE的对应边，A不正确；
B答案中OE与OF不是△DOE≌△FOE的对应边，B不正确；
C答案中，∠ODE与∠OED不是△DOE≌△FOE的对应角，C不正确；
D答案中，若∠ODE=∠OFE，
在△DOE和△FOE中，
∴△DOE≌△FOE（AAS）
∴D答案正确．
故选：D．
【点睛】本题考查三角形全等的判断，理解全等图形中边和角的对应关系是解题的关键．
二、填空题
1．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，对角线AC，BD相交于点O，下列结论中：
①∠ABC=∠ADC；
②AC与BD相互平分；
③AC，BD分别平分四边形ABCD的两组对角；
④四边形ABCD的面积S=AC BD．
正确的是　　（填写所有正确结论的序号）
【答案】①④．
【解析】①证明△ABC≌△ADC，可作判断；
②③由于AB与BC不一定相等，则可知此两个选项不一定正确；
④根据面积和求四边形的面积即可．
【解答】①在△ABC和△ADC中，
∵，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠ABC=∠ADC，
故①结论正确；
②∵△ABC≌△ADC，
∴∠BAC=∠DAC，
∵AB=AD，
∴OB=OD，AC⊥BD，
而AB与BC不一定相等，所以AO与OC不一定相等，
故②结论不正确；
③由②可知：AC平分四边形ABCD的∠BAD、∠BCD，
而AB与BC不一定相等，所以BD不一定平分四边形ABCD的对角；
故③结论不正确；
④∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD的面积S=S△ABD+S△BCD=BD AO+BD CO=BD （AO+CO）=AC BD．
故④结论正确；
所以正确的有：①④；
故答案为：①④．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，第1问可以利用等边对等角，由等量加等量和相等来解决．
2. 如图，点B，F，C，E在同一直线上，BF=CE，AB∥DE，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，这个添加的条件可以是　 　（只需写一个，不添加辅助线）．
【答案】AC=DF．
【解析】本题考查了全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，答案不唯一．
求出BC=EF，∠ABC=∠DEF，根据SAS推出两三角形全等即可．
AC=DF，
理由是：∵BF=CE，
∴BF+FC=CE+FC，∴BC=EF，
∵AB∥DE，∴∠ABC=∠DEF，
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF（SAS）
3．如图，若△OAD≌△OBC，且∠0=65°，∠BEA=135°，则∠C的度数为　 　．
【答案】∠C=35°．
【解析】∵△OAD≌△OBC，
∴∠C=∠D，∠OBC=∠OAD，
∵∠0=65°，
∴∠OBC=180°﹣65°﹣∠C=115°﹣∠C，
在四边形AOBE中，∠O+∠OBC+∠BEA+∠OAD=360°，
∴65°+115°﹣∠C+135°+115°﹣∠C=360°，
解得∠C=35°．
4．如图，在△ABC中，D、E分别是BC，AC的中点，AD与BE相交于点G，若DG=1，则AD=_______．
【答案】3.
【解析】先判断点G为△ABC的重心，然后利用三角形重心的性质求出AG，从而得到AD的长．
∵D、E分别是BC，AC的中点，∴点G为△ABC的重心，∴AG=2DG=2，
∴AD=AG+DG=2+1=3．故答案为3．
【点睛】本题考查了三角形重心的性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．
三、解答题
1．如图，点E、C在线段BF上，BE=CF，AB=DE，AC=DF．求证：∠ABC=∠DEF．
【答案】见解析。
【解析】先证明△ABC≌△DEF，然后利用全等三角形的性质即可求出∠ABC=∠DEF．
∵BE=CF，
∴BE+EC=CF+EC，
∴BC=EF，
在△ABC与△DEF中，
∴△ABC≌△DEF（SSS）
∴∠ABC=∠DEF
【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练运用全等三角形的判定，本题属于基础题型．
2．如图，已知点B、E、C、F在同一条直线上，AB=DE，∠A=∠D，AC∥DF．求证：BE=CF．
【答案】见解析。
【解析】欲证BE=CF，则证明两三角形全等，已经有两个条件，只要再有一个条件就可以了，而AC∥DF可以得出∠ACB=∠F，条件找到，全等可证．根据全等三角形对应边相等可得BC=EF，都减去一段EC即可得证．本题主要考查三角形全等的判定和全等三角形的对应边相等；要牢固掌握并灵活运用这些知识．
证明：∵AC∥DF，
∴∠ACB=∠F，
在△ABC和△DEF中，，
∴△ABC≌△DEF（AAS）；
∴BC=EF，
∴BC﹣CE=EF﹣CE，
即BE=CF．
【点评】本题主要考查三角形全等的判定和全等三角形的对应边相等；要牢固掌握并灵活运用这些知识．
3. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D．
求证：AD=BC．
【答案】 见解析。
【解析】根据等腰三角形的性质得到∠ABC=C=72°，根据角平分线的定义得到∠ABD=∠DBC=36°，∠BDC=72°，根据等腰三角形的判定即可得到结论．
证明：∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=72°，
∵BD平分∠ABC交AC于点D，
∴∠ABD=∠DBC=36°，∠BDC=72°，
∴∠A=∠ABD，∠BDC=∠C，
∴AD=BD=BC．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质和判定，掌握等边对等角是解题的关键，注意三角形内角和定理的应用．
4．在△ABC中，∠ABM=45°，AM⊥BM，垂足为M，点C是BM延长线上一点，连接AC．
（1）如图1，若AB=3，BC=5，求AC的长；
（2）如图2，点D是线段AM上一点，MD=MC，点E是△ABC外一点，EC=AC，连接ED并延长交BC于点F，且点F是线段BC的中点，求证：∠BDF=∠CEF．
【答案】见解析。
【解析】（1）先由AM=BM=ABcos45°=3可得CM=2，再由勾股定理可得AC的长；
（2）延长EF到点G，使得FG=EF，证△BMD≌△AMC得AC=BD，再证△BFG≌△CFE可得BG=CE，∠G=∠E，从而得BD=BG=CE，即可得∠BDG=∠G=∠E．
【解答】（1）∵∠ABM=45°，AM⊥BM，
∴AM=BM=ABcos45°=3×=3，
则CM=BC﹣BM=5﹣3=2，
∴AC===；
（2）延长EF到点G，使得FG=EF，连接BG．
由DM=MC，∠BMD=∠AMC，BM=AM，
∴△BMD≌△AMC（SAS），
∴AC=BD，
又CE=AC，
因此BD=CE，
由BF=FC，∠BFG=∠EFC，FG=FE，
∴△BFG≌△CFE，
故BG=CE，∠G=∠E，
所以BD=CE=BG，
因此∠BDG=∠G=∠E．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质及勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
5．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点E是AC上一点，连接BE．
（1）如图1，若AB=4，BE=5，求AE的长；
（2）如图2，点D是线段BE延长线上一点，过点A作AF⊥BD于点F，连接CD、CF，当AF=DF时，求证：DC=BC．
【答案】见解析。
【解析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到AC=BC=AB=4，根据勾股定理得到CE==3，于是得到结论；
（2）根据等腰直角三角形的性质得到∠CAB=45°，由于∠AFB=∠ACB=90°，推出A，F，C，B四点共圆，根据圆周角定理得到∠CFB=∠CAB=45°，求得∠DFC=∠AFC=135°，根据全等三角形的性质即可得到结论．
【解答】（1）∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴AC=BC=AB=4，
∵BE=5，
∴CE==3，
∴AE=4﹣3=1；
（2）∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠CAB=45°，
∵AF⊥BD，
∴∠AFB=∠ACB=90°，
∴A，F，C，B四点共圆，
∴∠CFB=∠CAB=45°，
∴∠DFC=∠AFC=135°，
在△ACF与△DCF中，，
∴△ACF≌△DCF，
∴CD=AC，
∵AC=BC，
∴AC=BC．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，四点共圆，等腰直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
6．已知△ABC，AB=AC，D为直线BC上一点，E为直线AC上一点，AD=AE，设∠BAD=α，∠CDE=β．
（1）如图，若点D在线段BC上，点E在线段AC上．
①如果∠ABC=60°，∠ADE=70°，那么α=　　°，β=　　°，②求α，β之间的关系式．
（2）是否存在不同于以上②中的α，β之间的关系式？若存在，求出这个关系式（求出一个即可）；若不存在，说明理由．
【答案】见解析
【解析】（1）①先利用等腰三角形的性质求出∠DAE，进而求出∠BAD，即可得出结论；
②利用等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得出结论；
（2）①当点E在CA的延长线上，点D在线段BC上，同（1）的方法即可得出结论；
②当点E在CA的延长线上，点D在CB的延长线上，同（1）的方法即可得出结论．
【解答】（1）①∵AB=AC，∠ABC=60°，
∴∠BAC=60°，
∵AD=AE，∠ADE=70°，
∴∠DAE=180°﹣2∠ADE=40°，
∴α=∠BAD=60°﹣40°=20°，
∴∠ADC=∠BAD+∠ABD=60°+20°=80°，
∴β=∠CDE=∠ADC﹣∠ADE=10°，
故答案为：20，10；
②设∠ABC=x，∠AED=y，
∴∠ACB=x，∠AED=y，
在△DEC中，y=β+x，
在△ABD中，α+x=y+β=β+x+β，
∴α=2β；
（2）①当点E在CA的延长线上，点D在线段BC上，
如图1
设∠ABC=x，∠ADE=y，
∴∠ACB=x，∠AED=y，
在△ABD中，x+α=β﹣y，
在△DEC中，x+y+β=180°，
∴α=2β﹣180°，
②当点E在CA的延长线上，点D在CB的延长线上，
如图2，同①的方法可得α=180°﹣2β．
【点评】此题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，解本题的关键是利用三角形的内角和定理得出等式，难点是画出图形，是一道基础题目．
7．如图，在五边形ABCDE中，∠BCD=∠EDC=90°，BC=ED，AC=AD．
（1）求证：△ABC≌△AED；
（2）当∠B=140°时，求∠BAE的度数．
【答案】见解析
【解析】（1）根据∠ACD=∠ADC，∠BCD=∠EDC=90°，可得∠ACB=∠ADE，进而运用SAS即可判定全等三角形；
（2）根据全等三角形对应角相等，运用五边形内角和，即可得到∠BAE的度数．
【解答】（1）∵AC=AD，
∴∠ACD=∠ADC，
又∵∠BCD=∠EDC=90°，
∴∠ACB=∠ADE，
在△ABC和△AED中，
，
∴△ABC≌△AED（SAS）；
（2）当∠B=140°时，∠E=140°，
又∵∠BCD=∠EDC=90°，
∴五边形ABCDE中，∠BAE=540°﹣140°×2﹣90°×2=80°．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质的运用，解题时注意：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等．
8．如图，点A、F、C、D在同一条直线上，已知AF=DC，∠A=∠D，BC∥EF，求证：AB=DE．
【答案】见解析。
【解析】欲证明AB=DE，只要证明△ABC≌△DEF即可．
证明：∵AF=CD，
∴AC=DF，
∵BC∥EF，
∴∠ACB=∠DFE，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（ASA），
∴AB=DE．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定方法是解决问题的关键．
9. 如图，DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别是点E、F，DE=CF，AE=BF，
求证：AC∥BD．
【答案】见解析。
【解析】欲证明AC∥BD，只要证明∠A=∠B，只要证明△DEB≌△CFA即可．
证明：∵DE⊥AB，CF⊥AB，
∴∠DEB=∠AFC=90°，
∵AE=BF，
∴AF=BE，
在△DEB和△CFA中，
，
△DEB≌△CFA，
∴∠A=∠B，
∴AC∥DB．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，属于中考常考题型．
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专题19 全等三角形（含等腰等边）判定与性质
一、选择题
1．如图，已知∠AOB=70°，OC平分∠AOB，DC∥OB，则∠C为（　　）
A．20° B．35° C．45° D．70°
2. 如图，已知∠ABC=∠DCB，添加以下条件，不能判定△ABC≌△DCB的是（　）
A．∠A=∠D B．∠ACB=∠DBC C．AC=DB D．AB=DC
3. 如图，OB平分∠AOC，D、E、F分别是射线OA、射线OB、射线OC上的点，D、E、F与O点都不重合，连接ED、EF若添加下列条件中的某一个．就能使DOEFOE，你认为要添加的那个条件是（ ）
A. OD=OE B. OE=OF C. ∠ODE =∠OED D. ∠ODE=∠OFE
二、填空题
1．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，对角线AC，BD相交于点O，下列结论中：
①∠ABC=∠ADC；
②AC与BD相互平分；
③AC，BD分别平分四边形ABCD的两组对角；
④四边形ABCD的面积S=AC BD．
正确的是　　（填写所有正确结论的序号）
2. 如图，点B，F，C，E在同一直线上，BF=CE，AB∥DE，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，这个添加的条件可以是　 　（只需写一个，不添加辅助线）．
3．如图，若△OAD≌△OBC，且∠0=65°，∠BEA=135°，则∠C的度数为　 　．
4．如图，在△ABC中，D、E分别是BC，AC的中点，AD与BE相交于点G，若DG=1，则AD=_______．
三、解答题
1．如图，点E、C在线段BF上，BE=CF，AB=DE，AC=DF．求证：∠ABC=∠DEF．
2．如图，已知点B、E、C、F在同一条直线上，AB=DE，∠A=∠D，AC∥DF．求证：BE=CF．
3. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D．
求证：AD=BC．
4．在△ABC中，∠ABM=45°，AM⊥BM，垂足为M，点C是BM延长线上一点，连接AC．
（1）如图1，若AB=3，BC=5，求AC的长；
（2）如图2，点D是线段AM上一点，MD=MC，点E是△ABC外一点，EC=AC，连接ED并延长交BC于点F，且点F是线段BC的中点，求证：∠BDF=∠CEF．
5．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点E是AC上一点，连接BE．
（1）如图1，若AB=4，BE=5，求AE的长；
（2）如图2，点D是线段BE延长线上一点，过点A作AF⊥BD于点F，连接CD、CF，当AF=DF时，求证：DC=BC．
6．已知△ABC，AB=AC，D为直线BC上一点，E为直线AC上一点，AD=AE，设∠BAD=α，∠CDE=β．
（1）如图，若点D在线段BC上，点E在线段AC上．
①如果∠ABC=60°，∠ADE=70°，那么α=　　°，β=　　°，②求α，β之间的关系式．
（2）是否存在不同于以上②中的α，β之间的关系式？若存在，求出这个关系式（求出一个即可）；若不存在，说明理由．
7．如图，在五边形ABCDE中，∠BCD=∠EDC=90°，BC=ED，AC=AD．
（1）求证：△ABC≌△AED；
（2）当∠B=140°时，求∠BAE的度数．
8．如图，点A、F、C、D在同一条直线上，已知AF=DC，∠A=∠D，BC∥EF，求证：AB=DE．
9. 如图，DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别是点E、F，DE=CF，AE=BF，
求证：AC∥BD．
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