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第七章 统计与概率
第二节 概率
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 事件与概率 ☆ 吉林中考中，有关概率部分，每年考查1~2道题,分值为3~10分，通常以选择题、填空题和解答题的形式考察。对于这部分的复习，需要熟练掌握事件与概率、概率的计算等考点。
考点2 概率的计算 ☆☆☆
■考点一　事件与概率
1.随机事件
事件分为 ，确定性事件又分必然事件和不可能事件两种，即：
①确定性事件： ；
②随机事件；
(1)确定性事件：在一定条件下，有些事件必然会发生，这样的事件称为 ；相反地，有些事件必然不会发生，这样的事件称为 ，必然事件与不可能事件统称 .
(2)随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为 。
2.随机事件的可能性
一般地，随机事件发生的可能性是 的，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同.
(1)随机事件发生的可能性有大小之分，常大致分为“ ”、“ ”、“ ”、“ ”、“ ”这5种.
(2)比较随机事件发生的可能性的大小，先要准确找到所有可能出现的 ，然后分情况，看每种情况占所有可能出现的结果的比例的大小而定.
3.概率
(1)定义：一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记为P(A)。
(2)公式：一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为 。
（3）求与面积有关的概率，可将概率转换为面积的比，即：
P(A)= 。
■考点二　概率的计算
1.事件概率的取值范围
(1)事件发生可能性大小的表示：可以用线段图表示“ ”、“ ”、“ ”、“ ”、“ ”之间的概率大小.
(2)事件发生概率的取值范围：0≤P(A)≤1.
需特别指出：
当A为必然事件时，P(A)=1.
当A为不可能事件时，P(A)= .
当A为随机事件时，02.用列举法求概率的条件
(1)一次试验中，可能出现的结果只有 个
(2)一次试验中，各种结果出现的可能性 .
3.概率的求法
(1)直接列举法：求简单随机事件的 ，容易得到所有等可能的结果总数n和事件A包含的结果数m，可直接套用公式 求出其概率.例如：抛掷一枚均匀的硬币，出现正面的概率是，用符号表示就是P(正面) 。
(2)用列表法求概率：
列表法是指用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的 ，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法.
(3)用树状(形)图法求概率：
树状（形）图法是指用 （形）图的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出 的方法.
①树状（形）图法同样适用于各种情况出现的 求概率的问题.
②在求可能事件的概率用列表法或画树状（形）图法时，应注意各种情况出现的可能性务必相同
③在列表或画树状（形）图求概率时，各种情况出现的可能性 ，也不能遗漏。
4.用频率估计概率
(1)在我们的日常生活中存在着大量随机事件我们已经学习了用 求某些随机事件发生的概率，但是当试验的所有可能结果不是有限个，或者各种可能结果发生的可能性不相等时，可通过用频率估计某些随机事件发生的概率的 .
(2)随机事件的概率虽然是随机的、无法预测的，但随着大量重复试验次数的增加，隐含的规律逐渐显现，事件发生的频率逐渐 .正因为不确定现象发生的频率有这种趋于稳定的特点，我们可以用平稳时的 估计这一随机事件在每次试验时发生的机会的 .
(3)某一随机事件发生的频率无限地接近于 .
一般地，在大量重复试验下，随机事件A发生的 。(这里n是总试验次数，它必须相当大，m是在n次试验中事件A发生的次数)会稳定到某个常数p.于是，我们用p这个常数表示事件A发生的概率，即 。
■易错提示
1.必然发生的事件和不可能发生的事件均为“确定事件”，随机事件又称为“不确定事件”；
2.要知道事件发生的可能性大小首先要确定事件是什么类型.一般地，必然发生的事件发生的可能性最大，不可能发生的事件发生的可能性最小，随机事件发生的可能性有大有小，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同.
3.概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值；
4.概率反映了随机事件发生的可能性的大小；
5.事件A的概率是一个大于等于0，且小于等于1的数，，即，其中P(必然事件)=1，P(不可能事件)=0，06.画树状图法的应用条件：当一次试验涉及两个或更多的步骤时，为了不重复、不遗漏地列出所有可能出现的结果,通常采用画树状图法来求概率.
7.列表法的应用条件：如果一次试验涉及两个步骤,并且可能出现的结果数目我多时，为了不重复、不遗漏地列出所有可能的结果,通常采用列表法．
8.用试验去估计随机事件发生的概率应尽可能多地增加试验次数，当试验次数很大时，结果将较为精确.
9.运用随机事件出现的频率估计随机事件发生的概率大小的几点注意用频率估计事件发生的概率时，需要注意以下几点：
(1)频率和概率是两个不同的概念，两者既有区别又有联系.事件的概率是一个确定的常数，而频率是不确定的.当试验次数较少时，频率的大小摇摆不定；当试验次数增大时，频率的大小波动变小，并逐渐稳定在概率附近.
(2)通过试验用频率估计概率的大小，方法多种多样，但无论选择哪种方法，都必须保证试验应在相同的条件下进行，否则结果会受到影响.在相同条件下，试验的次数越多，就越有可能得到较准确的估计值，但每个人所得的值并不一定相同.
(3)频率和概率在试验中可以非常接近，但不一定相等，两者存在一定的偏差是正常的，也是经常的.例如：随机抛掷一枚1元硬币时，理论上“落地后正面朝上”发生的概率为，可抛掷1000次硬币，并不能保证落地后恰好有500次正面朝上，但经大量的重复试验发现：“落地后正面朝上”发生的频率就在一附近波动，
(4)事件的概率需要用稳定时的频率来估计.它需要做大量的试验才能较准确.需要注意的是，1次试验的结果是随机的、无法预测的，不受概率的影响。
(5)虽然用试验的方法可以帮助我们估计随机事件发生的机会的大小，但有时恰好没有相关实物，或者用实物进行试验困难很大时，我们就需要用替代物进行模拟试验.
10.进行模拟试验时应注意：①模拟试验的多样性，即同一试验可以有多种多样的替代物；②模拟试验必须在相同的条件下进行。
■考点一　事件与概率
◇典例1： （2023上·四川自贡·九年级校考阶段练习）下列诗句所描述的事件中，是不可能事件的是（　　）
A．黄河入海流 B．锄禾日当午 C．手可摘星辰 D．大漠孤烟直
◆变式训练
1．（2023上·全国·九年级专题练习）在如图所示的电路图中，若闭合、、、中任意一个开关，则小灯泡发光的概率为（　　）．
A． B． C． D．
2．（2023上·浙江台州·九年级校考阶段练习）下列事件，是随机事件的为（ ）
A．一个三角形的外角和为 B．掷一枚正六面体骰子，点数为5
C．明天的太阳从西边升起 D．在只装了红球的袋子里，摸出一个白球
■考点二　概率的计算
◇典例2：（2023下·上海·八年级专题练习）口袋里装有五个大小形状都相同，所标数字不同的小球，小球所标的数字分别是，，，2，3，先随机抽取一个球得到的数字记为k，放回后再抽一个球得到的数字记为b，则满足条件关于x的一次函数的图象不经过第四象限的概率是（　　）
A． B． C． D．
◆变式训练
1．（2023上·全国·九年级期中）盒玩的贩售方式是将一款玩具装在盒子中贩卖，购买者只能从外盒知道购买的是哪一系列玩具，但无法知道是系列中的哪一款，图1、图2分别为动物系列，汽车系列盒玩中所有可能出现的款式．
已知小友喜欢图1中的款、款，喜欢图2中的款，若他打算购买图1的盒玩一盒，且他买到图1中每款玩具的机会相等；他也打算购买图2的盒玩一盒，且他买到图2中每款玩具的机会相等，则他买到的两盒盒玩内的玩具都是他喜欢的款式的概率为何（ ）
A． B． C． D．
2．（2023上·山西太原·九年级校考阶段练习）一个密闭不透明的盒子里有若干个红球，在不允许将球倒出来的情况下，为估计红球的个数，小强向其中放入20个白球，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒中，不断重复，共摸球500次，其中50次摸到白球，估计盒中大约有红球（ ）
A．150 B．180 C．200 D．220
1．（2021·吉林·统考一模）柜子里有5双鞋，取出一只鞋是右脚鞋的概率是（ ）
A． B． C． D．
2.（23-24九年级上吉林长春期末）下列说法正确的是( )
A.“买中奖率为1%的奖券100张,一定中奖”是必然事件
B .“汽车累积行驶0000km ,从未出现故障”是不可能事件
C .天气预报说“明天的降水概率为70%”,意味着明天一定下雨
D .“清明时节雨纷纷”为随机事件
3.（23-24九年级上吉林白山期末）下列事件是随机事件的是( )
A.长为3cm, Scm, 9cm的三条线段能围成一个三角形
B .射击运动员射击一次,命中靶心
C .平面内两直线相交,对顶角相等
D.直角三角形的两个锐角互余
4.（23-24九年级上吉林四平期末）春节假期欧亚商场为了吸引|顾客,举行有奖酬宾活动:凡购物满100元,均可得到一次摸奖的机会.不透明的盒子中装有红、黄两种颜色的小球共20个,除颜色外无其他差别,随机摸出一个小球,如果摸到红色小球则有机会以优惠价188元购买大福字”一个.如图显示了活动第一天开展上述摸球活动的获奖的结果.李老师在活动第二天去购物,刚好消费了100元,推测李老师能以优惠价购买“大福字”的概率为 .
5.（23-24九年级上吉林长春期末）在一个不透明的袋子中装有红、白两种颜色的小球共20个,这些小球除了颜色不同外其它特质均相同.欣欣同学进行了摸球试验,每次摸出一个小球记下颜色,然后放回袋中搅拌均匀,再从中摸出一个.如此重复,经大量的试验发现摸到红球的频率稳定在0.60左右,由此可以估计袋中红球的个数为 个.
6．（2023·吉林长春·统考中考真题）班级联欢会上有一个抽奖活动，每位同学均参加一次抽奖，活动规则下：将三个完全相同的不透明纸杯倒置放在桌面上，每个杯子内放入一个彩蛋，彩蛋颜色分别为红色、红色、绿色．参加活动的同学先从中随机选中一个杯子，记录杯内彩蛋颜色后再将杯子倒置于桌面，重新打乱杯子的摆放位置，再从中随机选中一个杯子，记录杯内彩蛋颜色．若两次选中的彩蛋颜色不同则获一等奖，颜色相同则获二等奖．用画树状图（或列表）的方法，求某同学获一等奖的概率．

7．（2023·吉林·统考中考真题）2023年6月4日，“神舟”十五号载人飞船返回舱成功着陆．某校为弘扬爱国主义精神，举办以航天员事迹为主题的演讲比赛，主题人物由抽卡片决定，现有三张不透明的卡片，卡片正面分别写着费俊龙、邓清明、张陆三位航天员的姓名，依次记作A，B，C，卡片除正面姓名不同外，其余均相同．三张卡片正面向下洗匀后，甲选手从中随机抽取一张卡片，记录航天员姓名后正面向下放回，洗匀后乙选手再从中随机抽取一张卡片．请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两位选手演讲的主题人物是同一位航天员的概率．
8．（2022·吉林长春·统考中考真题）抛掷一枚质地均匀的普通硬币，仅有两种可能的结果：“出现正面”或“出现反面”．正面朝上记2分，反面朝上记1分．小明抛掷这枚硬币两次，用画树状图（或列表）的方法，求两次分数之和不大于3的概率．
9．（2022·吉林·统考中考真题）长白山国家级自然保护区、松花湖风景区和净月潭国家森林公园是吉林省著名的三个景区．甲、乙两人用抽卡片的方式决定一个自己要去的景区．他们准备了3张不透明的卡片，正面分别写上长白山、松花湖、净月潭．卡片除正面景区名称不同外其余均相同，将3张卡片正面向下洗匀，甲先从中随机抽取一张卡片，记下景区名称后正面向下放回，洗匀后乙再从中随机抽取一张卡片，请用画树状图或列表的方法，求两人都决定去长白山的概率．
10．（2021·吉林·统考中考真题）第一盒中有1个白球、1个黑球，第二盒中有1个白球，2个黑球．这些球除颜色外无其他差别，分别从每个盒中随机取出1个球，用画树状图或列表的方法，求取出的2个球都是白球的概率．
11．（2021·吉林长春·统考中考真题）在一个不透明的口袋中装有三个小球，分别标记数字1、2、3，每个小球除数字不同外其余均相同，小明和小亮玩摸球游戏，两人各摸一个球，谁摸到的数字大谁获胜，摸到相同数字记为平局．小明从口袋中摸出一个小球记下数字后放回并搅匀，小亮再从口袋中摸出一个小球．用画树状图（或列表）的方法，求小明获胜的概率．
13．（2023·吉林长春·吉林大学附属中学校考模拟预测）如图所示某地铁站有三个闸口．

(1)一名乘客随机选择此地铁闸口通过时，选择A闸口通过的概率为 ．
(2)当两名乘客随机选择此地铁闸口通过时，请用树状图或列表法求两名乘客选择不同闸口通过的概率．
12．（2023·吉林长春·校考模拟预测）生活在数字时代的我们，很多场合用二维码（如图①）来表示不同的信息，类似地，可通过在网格中，对每一个小方格涂色或不涂色所得的图形来表示不同的信息，例如：网格中只有一个小方格（如图②），
通过涂色或不涂色可表示两个不同的信息．

(1)用树状图（或列表）的方法，求图③可表示不同信息的总个数（图中标号1、2表示两个不同位置的小方格，下同）．
(2)图④为2×2的网格图，它可表示不同信息的总个数为_____．
13．（2023·吉林松原·统考二模）甲口袋中装有白色、黑色两顶帽子，这两顶帽子除颜色外无其他差别；乙口袋中装有白色、黑色两条围脖，这两条围脖除颜色外无其他差别．从甲口袋中随机取出一顶帽子，从乙口袋中随机取出一条围脖，用画树状图或列表的方法，求取出的帽子和围脖都是黑色的概率．
14．（2023·吉林松原·校联考三模）某校为纪念历史，缅怀先烈，举行以“致敬抗美援朝，争做时代新人”为主题的故事会，校团委将抗美援朝中四位历史英雄人物头像制成编号为A，B，C，D的四张卡片（除编号和头像外其余完全相同），活动时先将四张卡片背面朝上洗匀放好，再从中随机抽取一张，记下卡片上的英雄人物，然后放回．学生根据所抽取的卡片来讲述他们波澜壮阔、可歌可泣的历史事迹．请用列表或画树状图的方法求小强和小叶抽到的两张卡片恰好是同一英雄人物的概率．

1．（2023下·江苏·八年级专题练习）投掷两枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，则下列事件为必然事件的是（　　）
A．两枚骰子向上一面的点数和大于1
B．两枚骰子向上一面的点数和等于3
C．两枚骰子向上一面的点数和等于7
D．两枚骰子向上一面的点数和大于12
2．（2023上·浙江金华·九年级校考期中）在一个不透明的盒子里有形状、大小相同的黄球2个、红球3个，从盒子里任意摸出1个球，摸到黄球的概率是（　　）
A． B． C． D．
3．（2022上·内蒙古赤峰·九年级统考期末）下列说法正确的是（ ）
A．任意画一个三角形，其内角和为，这是随机事件
B．投掷一枚质地均匀的硬币次，正面朝上的次数一定是次
C．从，，，，中任取一个数是偶数的可能性比较大
D．直径是圆中最长的弦
4．（2022上·黑龙江大庆·九年级大庆市第三十六中学校考期末）欣欣快餐店备有6种价格不同的菜，每份价格（元）分别为1，2，3，4，5，6．若某人任选两种不同价格的菜各一份，两种菜的价格和超过6元的概率是( )
A． B． C． D．
5．（2023上·河南郑州·九年级校考期中）年月，河南省将设立所高校的消息备受关注．现有张卡片，正面分别写有代表新建高校位置的汉字——“南阳”“濮阳”“商丘”“周口”，它们除此之外完全相同，把这张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面汉字均含汉字“阳”的概率是（ ）

A． B． C． D．
6．（2024上·天津南开·九年级统考期末）下列说法中，正确的是（ ）
A．事件发生的可能性越大，它的概率越接近1 B．“射击运动员射击一次，命中靶心”是必然事件
C．某种彩票中奖的概率是，因此买100张该种彩票就一定会中奖 D．拋掷一枚图钉，“针尖朝上”的概率可以用列举法求得
7．（2023上·湖南衡阳·九年级校考期末）七年级一班同学组织了元旦联欢会，文艺委员准备在“横扫千军”“飞花令”“成语接龙”“看图猜诗词”四个项目中选择两个，则她选中“飞花令”和“看图猜诗词”的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023上·山东枣庄·九年级统考期中）一个口袋中有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有40次摸到白球．请你估计这个口袋中有（ ）个红球．
A．2 B．3 C．6 D．8
9．（2023上·陕西榆林·九年级校考期末）某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是（ ）
A．玩“石头”“剪刀”“布”时，小亮随机出的是“石头”
B．掷一枚质地均匀的硬币，落地后“正面”朝上的概率
C．投掷一枚骰子，点数“6”朝上的概率
D．袋子中有除颜色外其余都相同的1个红球和2个黄球，从中任取一球是黄球
10．（2023上·福建福州·九年级校考阶段练习）在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共个，这些球除颜色外都相同，小明通过多次试验发现，摸出黄球的频率稳定在左右，则袋子中黄球的个数最有可能是（ ）
A． B． C． D．
11．（2023上·浙江杭州·九年级校考阶段练习）在一个不透明的口袋中装有4个白球和若干个红球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在附近，则口袋中红球可能有（ ）
A．8个 B．12个 C．16个 D．20个
12．（2023上·河南商丘·九年级校联考阶段练习）某淘宝商家为“双大促”提前进行了预热抽奖，通过后台的数据显示转盘指针落在“元优惠券”区域的统计数据如下表．若随机转动转盘一次，得到“元优惠券”的概率为（精确到）（ ）
转动转盘的次数
落在“元优惠券”区域的次数
落在“元优惠券”区域的频率
A． B． C． D．
13．（2023上·吉林长春·九年级吉林大学附属中学校考期末）抛物线与轴交于点、．若点的坐标为，则点的坐标为 ．
14．（2023上·新疆昌吉·九年级校考期末）在一个不透明的口袋中有颜色不同的红、白两种小球，其中红球只，白球只，若从袋中任取一个球，摸出白球的概率为，则 ．
15．（2023上·吉林白城·九年级统考期末）有6张看上去无差别的卡片，上面分别写着1，2，3，4，5，6，随机抽取1张后，放回并混在一起，再随机抽取1张，则两次取出的数字都是奇数的概率为
16．（2023上·吉林白山·九年级统考期末）将分别标有“学”“习”“强”“国”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字组成“强国”的概率是 ．
17．（2023上·甘肃陇南·九年级统考期末）在“抛掷正六面体”的试验中，正六面体的六个面分别标有数字“1”、“2”、“3”、“4”、“5”和“6”，如果试验的次数增多，数字“1”朝上的频率逐渐接近的值是 ．
18．（2023上·江西南昌·九年级南昌市心远中学校考期中）（1）一个口袋中有3个黑球和若干个白球，在不允许将球倒出来的前提下，小明为估计其中的白球数，采用了如下的方法：从口袋中随机摸出一个球，记下颜色，然后把它放回口袋中，摇匀后再随机摸出一球，记下颜色，…，不断重复上述过程，小明共换了100次，其中20次摸到黑球．根据上述数据，估计口袋中的白球大约有多少个？
（2）如图，P是正方形内一点，绕着点B旋转后能到达的位置，若．求线段的长．
19．（2024上·甘肃定西·九年级校联考期末）2023年9月23日，第19届亚运会在杭州开幕．小明和小亮相约一起去亚运会比赛现场为中国队加油，比赛现场的观赛区分为A、B、C、D四个区域，购票以后系统随机分配观赛区域．
(1)小明购买门票在A区观赛的概率为________；
(2)求小明和小亮在同一区域观看比赛的概率．（请用画树状图或列表说明理由）
20．（2023上·山东烟台·九年级统考期末）小南发现操场中有一个不规则的封闭图形（如图），为了计算它的面积，他在封闭图形内画了一个半径为的圆，在不远处向封闭图形内郑石子，若石子落在封闭图形外部，则重郑．记录结果如下：
石子落在圆内（含圆上）的次数 14 43 93 150
石子落在阴影部分的次数 19 85 186 300
根据以上数据，小南得到了封闭图形的面积．
请根据以上信息，回答下列问题：
(1)估计石子落在阴影部分的概率___________；
(2)估计封闭图形的面积，并写出推理过程．
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第七章 统计与概率
第二节 概率
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 事件与概率 ☆ 吉林中考中，有关概率部分，每年考查1~2道题,分值为3~10分，通常以选择题、填空题和解答题的形式考察。对于这部分的复习，需要熟练掌握事件与概率、概率的计算等考点。
考点2 概率的计算 ☆☆☆
■考点一　事件与概率
1.随机事件
事件分为确定性事件和随机事件，确定性事件又分必然事件和不可能事件两种，即：
①确定性事件：必然事件、不可能事件；
②随机事件；
(1)确定性事件：在一定条件下，有些事件必然会发生，这样的事件称为必然事件；相反地，有些事件必然不会发生，这样的事件称为不可能事件，必然事件与不可能事件统称确定事件.
(2)随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件。
2.随机事件的可能性
一般地，随机事件发生的可能性是有大小的，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同.
(1)随机事件发生的可能性有大小之分，常大致分为“可能性极小”、“不太可能”、“可能”、“很可能”、“可能性极大”这5种.
(2)比较随机事件发生的可能性的大小，先要准确找到所有可能出现的结果，然后分情况，看每种情况占所有可能出现的结果的比例的大小而定.
3.概率
(1)定义：一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记为P(A)。
(2)公式：一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为 。
（3）求与面积有关的概率，可将概率转换为面积的比，即：
P(A)=。
■考点二　概率的计算
1.事件概率的取值范围
(1)事件发生可能性大小的表示：可以用线段图表示“可能发生”、“很可能发生”、“不大可能发生”、“必然发生”、“不可能发生”之间的概率大小.
(2)事件发生概率的取值范围：0≤P(A)≤1.
需特别指出：
当A为必然事件时，P(A)=1.
当A为不可能事件时，P(A)=0.
当A为随机事件时，02.用列举法求概率的条件
(1)一次试验中，可能出现的结果只有有限个
(2)一次试验中，各种结果出现的可能性大小相等.
3.概率的求法
(1)直接列举法：求简单随机事件的概率，容易得到所有等可能的结果总数n和事件A包含的结果数m，可直接套用公式 求出其概率.例如：抛掷一枚均匀的硬币，出现正面的概率是，用符号表示就是P(正面)
(2)用列表法求概率：
列表法是指用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法.
(3)用树状(形)图法求概率：
树状（形）图法是指用树状（形）图的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法.
①树状（形）图法同样适用于各种情况出现的总次数不是很大时求概率的问题.
②在求可能事件的概率用列表法或画树状（形）图法时，应注意各种情况出现的可能性务必相同
③在列表或画树状（形）图求概率时，各种情况出现的可能性不能重复，也不能遗漏。
4.用频率估计概率
(1)在我们的日常生活中存在着大量随机事件我们已经学习了用列表法和画树状图法求某些随机事件发生的概率，但是当试验的所有可能结果不是有限个，或者各种可能结果发生的可能性不相等时，可通过用频率估计某些随机事件发生的概率的大小.
(2)随机事件的概率虽然是随机的、无法预测的，但随着大量重复试验次数的增加，隐含的规律逐渐显现，事件发生的频率逐渐稳定到某一个数值.正因为不确定现象发生的频率有这种趋于稳定的特点，我们可以用平稳时的频率估计这一随机事件在每次试验时发生的机会的大小.
(3)某一随机事件发生的频率无限地接近于理论概率.
一般地，在大量重复试验下，随机事件A发生的频率。(这里n是总试验次数，它必须相当大，m是在n次试验中事件A发生的次数)会稳定到某个常数p.于是，我们用p这个常数表示事件A发生的概率，即P(A)=p
■易错提示
1.必然发生的事件和不可能发生的事件均为“确定事件”，随机事件又称为“不确定事件”；
2.要知道事件发生的可能性大小首先要确定事件是什么类型.一般地，必然发生的事件发生的可能性最大，不可能发生的事件发生的可能性最小，随机事件发生的可能性有大有小，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同.
3.概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值；
4.概率反映了随机事件发生的可能性的大小；
5.事件A的概率是一个大于等于0，且小于等于1的数，，即，其中P(必然事件)=1，P(不可能事件)=0，06.画树状图法的应用条件：当一次试验涉及两个或更多的步骤时，为了不重复、不遗漏地列出所有可能出现的结果,通常采用画树状图法来求概率.
7.列表法的应用条件：如果一次试验涉及两个步骤,并且可能出现的结果数目我多时，为了不重复、不遗漏地列出所有可能的结果,通常采用列表法．
8.用试验去估计随机事件发生的概率应尽可能多地增加试验次数，当试验次数很大时，结果将较为精确.
9.运用随机事件出现的频率估计随机事件发生的概率大小的几点注意用频率估计事件发生的概率时，需要注意以下几点：
(1)频率和概率是两个不同的概念，两者既有区别又有联系.事件的概率是一个确定的常数，而频率是不确定的.当试验次数较少时，频率的大小摇摆不定；当试验次数增大时，频率的大小波动变小，并逐渐稳定在概率附近.
(2)通过试验用频率估计概率的大小，方法多种多样，但无论选择哪种方法，都必须保证试验应在相同的条件下进行，否则结果会受到影响.在相同条件下，试验的次数越多，就越有可能得到较准确的估计值，但每个人所得的值并不一定相同.
(3)频率和概率在试验中可以非常接近，但不一定相等，两者存在一定的偏差是正常的，也是经常的.例如：随机抛掷一枚1元硬币时，理论上“落地后正面朝上”发生的概率为，可抛掷1000次硬币，并不能保证落地后恰好有500次正面朝上，但经大量的重复试验发现：“落地后正面朝上”发生的频率就在一附近波动，
(4)事件的概率需要用稳定时的频率来估计.它需要做大量的试验才能较准确.需要注意的是，1次试验的结果是随机的、无法预测的，不受概率的影响。
(5)虽然用试验的方法可以帮助我们估计随机事件发生的机会的大小，但有时恰好没有相关实物，或者用实物进行试验困难很大时，我们就需要用替代物进行模拟试验.
10.进行模拟试验时应注意：①模拟试验的多样性，即同一试验可以有多种多样的替代物；②模拟试验必须在相同的条件下进行。
■考点一　事件与概率
◇典例1： （2023上·四川自贡·九年级校考阶段练习）下列诗句所描述的事件中，是不可能事件的是（　　）
A．黄河入海流 B．锄禾日当午 C．手可摘星辰 D．大漠孤烟直
【答案】C
【分析】此题主要考查了必然事件，不可能事件，随机事件的概念．理解概念是解决这类基础题的主要方法．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，据此逐项分析即可．
【详解】解：A、是必然事件，故不符合题意；
B、是随机事件，故不符合题意；
C、是不可能事件，故符合题意；
D、是随机事件，故不符合题意；
故选：C．
◆变式训练
1．（2023上·全国·九年级专题练习）在如图所示的电路图中，若闭合、、、中任意一个开关，则小灯泡发光的概率为（　　）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了等可能性事件的概率计算，理解等可能性事件的概率计算公式是解答本题的关键，“如果事件发生的各种结果的可能性相同且互相排斥，结果总数为n，事件A包含其中的结果数为，那么事件A发生的概率为．”，闭合、、、中任意一个开关，只有闭合时能够让灯泡发光，即该事件中，，根据公式计算即可得到答案．
【详解】根据题意，闭合、、中任意一个开关，灯泡均不发光，只有闭合时能够让灯泡发光，
∴能够让灯泡发光的概率为，
故选：C．
2．（2023上·浙江台州·九年级校考阶段练习）下列事件，是随机事件的为（ ）
A．一个三角形的外角和为 B．掷一枚正六面体骰子，点数为5
C．明天的太阳从西边升起 D．在只装了红球的袋子里，摸出一个白球
【答案】B
【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念.必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件；根据事件发生的可能性大小判断即可，熟练掌握以上知识点是解此题的关键．
【详解】解：A、一个三角形的外角和为，是必然事件，不符合题意；
B、掷一枚正六面体骰子，点数为5，是随机事件，符合题意；
C、明天的太阳从西边升起，是不可能事件，不符合题意；
D、在只装了红球的袋子里，摸出一个白球，是不可能事件，不符合题意；
故选：B．
■考点二　概率的计算
◇典例2：（2023下·上海·八年级专题练习）口袋里装有五个大小形状都相同，所标数字不同的小球，小球所标的数字分别是，，，2，3，先随机抽取一个球得到的数字记为k，放回后再抽一个球得到的数字记为b，则满足条件关于x的一次函数的图象不经过第四象限的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了一次函数的性质．画树状图，共有25个等可能的结果，满足条件关于x的一次函数的图象不经过第四象限的结果有6个，再由概率公式求解即可．
【详解】解：根据题意可得：
当时，不经过第四象限，
即当时，不经过第四象限，
画树状图如图：
共有25个等可能的结果，满足条件关于x的一次函数的图象不经过第四象限的结果有6个，
∴满足条件关于x的一次函数的图象不经过第四象限的概率为，
故选：D．
◆变式训练
1．（2023上·全国·九年级期中）盒玩的贩售方式是将一款玩具装在盒子中贩卖，购买者只能从外盒知道购买的是哪一系列玩具，但无法知道是系列中的哪一款，图1、图2分别为动物系列，汽车系列盒玩中所有可能出现的款式．
已知小友喜欢图1中的款、款，喜欢图2中的款，若他打算购买图1的盒玩一盒，且他买到图1中每款玩具的机会相等；他也打算购买图2的盒玩一盒，且他买到图2中每款玩具的机会相等，则他买到的两盒盒玩内的玩具都是他喜欢的款式的概率为何（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查列表法与树状图法求概率．列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【详解】解：列表如下：
由表知，共有30种等可能结果，其中他买到的两盒盒玩内的玩具都是他喜欢的款式的有2种结果，
所以他买到的两盒盒玩内的玩具都是他喜欢的款式的概率为，
故选：A．
2．（2023上·山西太原·九年级校考阶段练习）一个密闭不透明的盒子里有若干个红球，在不允许将球倒出来的情况下，为估计红球的个数，小强向其中放入20个白球，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒中，不断重复，共摸球500次，其中50次摸到白球，估计盒中大约有红球（ ）
A．150 B．180 C．200 D．220
【答案】B
【分析】本题考查了利用频率估计概率，可根据“白球数量÷红白球总数=白球所占比例”来列等量关系式，其中“红白球总数=红球个数+白球个数”，“白球所占比例=随机摸到白球的次数÷总共摸球的次数”
【详解】设盒子里有红球x个，
解得：
经检验得是方程的解
答：盒中大约有红球180个
故选：B
1．（2021·吉林·统考一模）柜子里有5双鞋，取出一只鞋是右脚鞋的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】因为左右脚穿的鞋的数目相同，5双鞋中右脚穿的鞋有5只，根据概率公式解答即可．
【详解】解：5双鞋就是10只，其中右脚的有5只，所以取出一只鞋是右脚鞋的概率是．
故选：A．
【点睛】本题考查求概率，掌握概率公式是解题的关键．
2.（23-24九年级上吉林长春期末）下列说法正确的是( )
A.“买中奖率为1%的奖券100张,一定中奖”是必然事件
B .“汽车累积行驶0000km ,从未出现故障”是不可能事件
C .天气预报说“明天的降水概率为70%”,意味着明天一定下雨
D .“清明时节雨纷纷”为随机事件
[知识点]事件的分类，概率的意义理解.
[答案] D
[分析]本题考查了随机事件.概率的意义,根据随机事件的概念概率的意义逐项分析即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键。
[详解]解: A.“买中奖率为1%的奖券100张,一定中奖"是随机事件，原说法错误，不符合题意;
B、“汽车累积行驶0000km,从未出现故障”是随机事件，原说法错误，不符合题意;
C.天气预报说“明天的降水概率为70%”，意味着明天可能下雨，原说法错误，不符合题意;
D.“清明时节雨纷纷”为随机事件，原说法正确，符合题意;
故选: D.
3.（23-24九年级上吉林白山期末）下列事件是随机事件的是( )
A.长为3cm, Scm, 9cm的三条线段能围成一个三角形
B .射击运动员射击一次,命中靶心
C .平面内两直线相交,对顶角相等
D.直角三角形的两个锐角互余
[知识点]对顶角的定义,构成三角形的条件,直角三角形的两个锐角互余,事件的分类 .
[答案] B
[分析]本题考查了随机事件:在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件.称为随机事件.以及对顶角、邻补角和直角三角形的性质.据确定事件和随机事件的定义分别对各选项进行判断.
[详解]解:∵ A. 3+5-8<9,
∴长为3cm, 5cm, 9cm的三条线段不能围成一个三角形， 它是不可能事件，A选项不符合题意;
B.射击运动员射击一次， 命中靶心，它是随机事件，B选项符合题意;
C.平面内两直线相交，对顶角相等，它是必然事件，C选项符合题意;
D.直角三角形的两个锐角互余，它是必然事件，D选项符合题意.
故选: B.
4.（23-24九年级上吉林四平期末）春节假期欧亚商场为了吸引|顾客,举行有奖酬宾活动:凡购物满100元,均可得到一次摸奖的机会.不透明的盒子中装有红、黄两种颜色的小球共20个,除颜色外无其他差别,随机摸出一个小球,如果摸到红色小球则有机会以优惠价188元购买大福字”一个.如图显示了活动第一天开展上述摸球活动的获奖的结果.李老师在活动第二天去购物,刚好消费了100元,推测李老师能以优惠价购买“大福字”的概率为 .
[知识点]由频率估计概率
[答案] 0.35
[分析]本题主要考查利用频率估计概率，在同样条件下，做大量的重复试验,利用一个随机事件发生的频率逐渐稳定到某个常数,可以估计这个事件发生的概率.随着摸球次数的增加，“摸到红球’的频率逐渐稳定于0.35,据此利用频率估计概率即可.
[详解]解:由题意知，随着摸球次数的增加，“摸到红球的频率逐渐稳定于0.35,
所以推测李老师能以优惠价购买“大福字的概率为0.35.
故答案为: 0.35.
5.（23-24九年级上吉林长春期末）在一个不透明的袋子中装有红、白两种颜色的小球共20个,这些小球除了颜色不同外其它特质均相同.欣欣同学进行了摸球试验,每次摸出一个小球记下颜色,然后放回袋中搅拌均匀,再从中摸出一个.如此重复,经大量的试验发现摸到红球的频率稳定在0.60左右,由此可以估计袋中红球的个数为 个.
[知识点]已知概率求数量,由频率估计概率
[答案] 12
[分析]本题主要考查了用频率估计概率，已知概率求数量，在大量反复试验下，频率的稳定值即为概率值得到摸到红球的概率为0.60，再用球的总数乘以摸到红球的概率即可求出红球的数量.
[详解]解:∵经大量的试验发现摸到红球的频率稳定在0.60左右，
∴摸到红球的概率为0.60,
.可以估计袋中红球的个数为20x 0.60= 12个，
故答案为: 12.
6．（2023·吉林长春·统考中考真题）班级联欢会上有一个抽奖活动，每位同学均参加一次抽奖，活动规则下：将三个完全相同的不透明纸杯倒置放在桌面上，每个杯子内放入一个彩蛋，彩蛋颜色分别为红色、红色、绿色．参加活动的同学先从中随机选中一个杯子，记录杯内彩蛋颜色后再将杯子倒置于桌面，重新打乱杯子的摆放位置，再从中随机选中一个杯子，记录杯内彩蛋颜色．若两次选中的彩蛋颜色不同则获一等奖，颜色相同则获二等奖．用画树状图（或列表）的方法，求某同学获一等奖的概率．

【答案】
【分析】依题意画出树状图，运用概率公式求解即可．
【详解】解：画树状图如下：

共有种可能，获一等奖即两次颜色不相同的可能有种，
则某同学获一等奖的概率为：，
答：某同学获一等奖的概率为．
【点睛】本题考查了树状图求概率，正确画出树状图是解题的关键．
7．（2023·吉林·统考中考真题）2023年6月4日，“神舟”十五号载人飞船返回舱成功着陆．某校为弘扬爱国主义精神，举办以航天员事迹为主题的演讲比赛，主题人物由抽卡片决定，现有三张不透明的卡片，卡片正面分别写着费俊龙、邓清明、张陆三位航天员的姓名，依次记作A，B，C，卡片除正面姓名不同外，其余均相同．三张卡片正面向下洗匀后，甲选手从中随机抽取一张卡片，记录航天员姓名后正面向下放回，洗匀后乙选手再从中随机抽取一张卡片．请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两位选手演讲的主题人物是同一位航天员的概率．
【答案】
【分析】分别使用树状图法或列表法将甲乙两位选手抽取卡片的结果表示出来，第一次共有3种不同的抽取情况，第二次同样也各有3种不同的抽取情况，所有等可能出现的结果有9种，找出两次卡片相同的抽取结果，即可算出概率．
【详解】解：解法一：画树状图，根据题意，画树状图结果如下：

由树状图可以看出，所有等可能出现的结果一共有9种，而两张卡片中相同的结果有3种，
所以甲、乙两位选手演讲的主题人物是同一位航天员的概率．
解法二：用列表法，根据题意，列表结果如下：
A B C
A AA BA CA
B AB BB CB
C AC BC CC
由表格可以看出，所有等可能出现的结果一共有9种，而两张卡片中相同的结果有3种，
所以甲、乙两位选手演讲的主题人物是同一位航天员的概率．
【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率，用图表的形式将第一次、第二次抽取所可能发生的情况一一列出，避免遗漏．
8．（2022·吉林长春·统考中考真题）抛掷一枚质地均匀的普通硬币，仅有两种可能的结果：“出现正面”或“出现反面”．正面朝上记2分，反面朝上记1分．小明抛掷这枚硬币两次，用画树状图（或列表）的方法，求两次分数之和不大于3的概率．
【答案】
【分析】采用列表法列举即可求解．
【详解】根据题意列表如下：
由表可知，总的可能结果有4种，两次之和不大于3的情况有3种，
故所求概率为：3÷4=，
即两次分数之和不大于3的概率为．
【点睛】本题考查了用列表法或者树状图法列举求解概率的知识，掌握用列表法或者树状图法列举求解概率是解答本题的关键．
9．（2022·吉林·统考中考真题）长白山国家级自然保护区、松花湖风景区和净月潭国家森林公园是吉林省著名的三个景区．甲、乙两人用抽卡片的方式决定一个自己要去的景区．他们准备了3张不透明的卡片，正面分别写上长白山、松花湖、净月潭．卡片除正面景区名称不同外其余均相同，将3张卡片正面向下洗匀，甲先从中随机抽取一张卡片，记下景区名称后正面向下放回，洗匀后乙再从中随机抽取一张卡片，请用画树状图或列表的方法，求两人都决定去长白山的概率．
【答案】甲、乙两人都决定去长白山的概率为．
【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，其中两人都决定去长白山的结果有1种，再由概率公式求解即可．
【详解】解：长白山、松花湖、净月潭依次用字母A，B，C表示，
画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中甲、乙两人都决定去长白山的结果有1种，
∴甲、乙两人都决定去长白山的概率为．
【点睛】此题考查的是用树状图法求概率以及随机事件等知识．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．
10．（2021·吉林·统考中考真题）第一盒中有1个白球、1个黑球，第二盒中有1个白球，2个黑球．这些球除颜色外无其他差别，分别从每个盒中随机取出1个球，用画树状图或列表的方法，求取出的2个球都是白球的概率．
【答案】
【分析】用列表法表示所有可能出现的结果情况，进而得出两次都是白球的概率即可．
【详解】解：用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：
白 黑
白 白、白 黑、白
黑1 白、黑1 黑1、黑
黑2 白、黑2 黑、黑2
共有6种等可能出现的结果情况，其中两球都是白球的有1种，
所以取出的2个球都是白球的概率为．
答：取出的2个球都是白球的概率为．
【点睛】本题考查简单事件的概率，正确列表或者画树状图是解题关键．
11．（2021·吉林长春·统考中考真题）在一个不透明的口袋中装有三个小球，分别标记数字1、2、3，每个小球除数字不同外其余均相同，小明和小亮玩摸球游戏，两人各摸一个球，谁摸到的数字大谁获胜，摸到相同数字记为平局．小明从口袋中摸出一个小球记下数字后放回并搅匀，小亮再从口袋中摸出一个小球．用画树状图（或列表）的方法，求小明获胜的概率．
【答案】小明获胜的概率为
【分析】画树状图，共有9个等可能的结果，小明获胜的有3个，再由概率公式求解即可．
【详解】解：画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中小明获胜的有3种，
故小明获胜的概率为．
【点睛】本题主要考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适用于两步完成事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．注意概率中放回实验和不放回实验的区分，本题属于放回实验．
13．（2023·吉林长春·吉林大学附属中学校考模拟预测）如图所示某地铁站有三个闸口．

(1)一名乘客随机选择此地铁闸口通过时，选择A闸口通过的概率为 ．
(2)当两名乘客随机选择此地铁闸口通过时，请用树状图或列表法求两名乘客选择不同闸口通过的概率．
【答案】(1)选择A闸口通过的概率为；
(2)两名乘客选择不同闸口通过的概率；
【分析】（1）直接根据概率公式计算；
（2）画树状图展示所有9种等可能的结果，找出两名乘客选择不同闸口通过的结果数，然后根据概率公式计算．
【详解】（1）解：一共有三个闸口，
∴选择A闸口通过的概率为；
（2）解：画树状图为：

共有9种等可能的结果，其中两名乘客选择不同闸口通过的结果数为6，
所以两名乘客选择不同闸口通过的概率；
【点睛】本题考查了列表法与树状图法，利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率．
12．（2023·吉林长春·校考模拟预测）生活在数字时代的我们，很多场合用二维码（如图①）来表示不同的信息，类似地，可通过在网格中，对每一个小方格涂色或不涂色所得的图形来表示不同的信息，例如：网格中只有一个小方格（如图②），
通过涂色或不涂色可表示两个不同的信息．

(1)用树状图（或列表）的方法，求图③可表示不同信息的总个数（图中标号1、2表示两个不同位置的小方格，下同）．
(2)图④为2×2的网格图，它可表示不同信息的总个数为_____．
【答案】(1)4
(2)16
【分析】（1）根据题意画树状图，即可得到答案；
（2）根据题意画树状图，即可得到答案．
【详解】（1）解：树状图如下：

共有4种等可能结果，
即图③可表示不同信息的总个数为4；
（2）解：树状图如下：
共有16种等可能结果，
即图④可表示不同信息的总个数为16，
故答案为：16．
【点睛】本题考查了列表法或树状图法求简单概率，正确画出树状图是解题关键．
13．（2023·吉林松原·统考二模）甲口袋中装有白色、黑色两顶帽子，这两顶帽子除颜色外无其他差别；乙口袋中装有白色、黑色两条围脖，这两条围脖除颜色外无其他差别．从甲口袋中随机取出一顶帽子，从乙口袋中随机取出一条围脖，用画树状图或列表的方法，求取出的帽子和围脖都是黑色的概率．
【答案】
【分析】列表或列树状图表示所有结果数，根据概率公式计算即可
【详解】解：解法一：根据题意，列表如下：
白帽子 黑帽子
白围脖 （白帽子，白围脖） （黑帽子，白围脖）
黑围脖 （白帽子，黑围脖） （黑帽子，黑围脖）
由表可以看出，所有可能出现的结果共4种，这些结果出现的可能性相等，其中帽子和围脖都是黑色的情况数有1种，P（帽子和围脖都是黑色）．
解法二：根据题意，画树状图如下：

由树状图可以看出，所有可能出现的结果共4种，这些结果出现的可能性相等，其中帽子和围脖都是黑色的情况数有1种，（帽子和围脖都是黑色）．
【点睛】本题考查列举法求概率的：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
14．（2023·吉林松原·校联考三模）某校为纪念历史，缅怀先烈，举行以“致敬抗美援朝，争做时代新人”为主题的故事会，校团委将抗美援朝中四位历史英雄人物头像制成编号为A，B，C，D的四张卡片（除编号和头像外其余完全相同），活动时先将四张卡片背面朝上洗匀放好，再从中随机抽取一张，记下卡片上的英雄人物，然后放回．学生根据所抽取的卡片来讲述他们波澜壮阔、可歌可泣的历史事迹．请用列表或画树状图的方法求小强和小叶抽到的两张卡片恰好是同一英雄人物的概率．

【答案】
【分析】根据列表法求出所有等可能结果数，再根据概率公式求解即可．
【详解】解：列表如下：
A B C D
A （A，A） （B，A） （C，A） （D，A）
B （A，B） （B，B） （C，B） （D，B）
C （A，C） （B，C） （C，C） （D，C）
D （A，D） （B，D） （C，D） （D，D）
共有16种等可能的结果数，其中小强和小叶抽到的两张卡片恰好是同一英雄人物的结果有4种，所以小强和小叶抽到的两张卡片恰好是同一英雄人物概率为．
【点睛】本题考查了用列表法或树状图法求概率，注意放回实验还是不放回实验是解题的关键．
1．（2023下·江苏·八年级专题练习）投掷两枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，则下列事件为必然事件的是（　　）
A．两枚骰子向上一面的点数和大于1
B．两枚骰子向上一面的点数和等于3
C．两枚骰子向上一面的点数和等于7
D．两枚骰子向上一面的点数和大于12
【答案】A
【分析】本题考查了事件的分类，根据必然事件，不可能事件，随机事件的概念判断即可．
【详解】解：A选项是必然事件，符合题意；
B选项是随机事件，不符合题意；
C选项是随机事件，不符合题意；
D选项是不可能事件，不符合题意；
故选：A．
2．（2023上·浙江金华·九年级校考期中）在一个不透明的盒子里有形状、大小相同的黄球2个、红球3个，从盒子里任意摸出1个球，摸到黄球的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用概率公式直接进行计算即可．掌握概率公式，是解题的关键．
【详解】∵盒子里有形状、大小相同的黄球2个、红球3个，
∴从盒子里任意摸出1个球，摸到黄球的概率是；
故选：A．
3．（2022上·内蒙古赤峰·九年级统考期末）下列说法正确的是（ ）
A．任意画一个三角形，其内角和为，这是随机事件
B．投掷一枚质地均匀的硬币次，正面朝上的次数一定是次
C．从，，，，中任取一个数是偶数的可能性比较大
D．直径是圆中最长的弦
【答案】D
【分析】本题考查了概率及随机事件，圆的基本性质，熟练掌握概率及随机事件的相关概念是解答本题的关键．
根据概率及随机事件的相关概念对每一个选项进行分析，只有选项符合题意．
【详解】解：根据题意得：
选项中，任意画一个三角形，其内角和为，这是不可能事件，原说法不正确，故不符合题意；
选项中，投掷一枚质地均匀的硬币次，正面朝上的次数可能是次，原说法不正确，故不符合题意；
选项中，从，，，，中任取一个数是偶数的可能性比较小，原说法不正确，故不符合题意；
选项中，直径是圆中最长的弦，原说法正确，故符合题意．
故选：．
4．（2022上·黑龙江大庆·九年级大庆市第三十六中学校考期末）欣欣快餐店备有6种价格不同的菜，每份价格（元）分别为1，2，3，4，5，6．若某人任选两种不同价格的菜各一份，两种菜的价格和超过6元的概率是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【详解】解：列表如下：
由表知，共有种等可能结果，其中两种菜的价格和超过元的有种，
所以两种菜的价格和超过元的概率为，
故选：B．
5．（2023上·河南郑州·九年级校考期中）年月，河南省将设立所高校的消息备受关注．现有张卡片，正面分别写有代表新建高校位置的汉字——“南阳”“濮阳”“商丘”“周口”，它们除此之外完全相同，把这张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面汉字均含汉字“阳”的概率是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了列表法与树状图法，先画树状图所有种等可能的结果数，找出这两张卡片正面汉字均含汉字“阳”的结果数，然后根据概率公式求解，解题的关键是利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．
【详解】如图，

画树状图所有种等可能的结果数，两张卡片正面汉字均含汉字“阳”的结果数有种，
∴两张卡片正面汉字均含汉字“阳”的概率是，
故选：．
6．（2024上·天津南开·九年级统考期末）下列说法中，正确的是（ ）
A．事件发生的可能性越大，它的概率越接近1
B．“射击运动员射击一次，命中靶心”是必然事件
C．某种彩票中奖的概率是，因此买100张该种彩票就一定会中奖
D．抛掷一枚图钉，“针尖朝上”的概率可以用列举法求得
【答案】A
【分析】根据必然事件，随机事件，不可能事件的特点，以及列表法与树状图法逐一判断即可．
【详解】A．事件发生的可能性越大，它的概率越接近1，故A符合题意；
B．“射击运动员射击一次，命中靶心”是随机事件，故B不符合题意；
C．某种彩票中奖的概率是，因此买100张该种彩票就可能会中奖，故C不符合题意；
D．抛掷一枚图钉，“针尖朝上”的概率不可以用列举法求得，故D不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了概率的意义，随机事件，概率公式，列表法与树状图法，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．
7．（2023上·湖南衡阳·九年级校考期末）七年级一班同学组织了元旦联欢会，文艺委员准备在“横扫千军”“飞花令”“成语接龙”“看图猜诗词”四个项目中选择两个，则她选中“飞花令”和“看图猜诗词”的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件用到的知识点为:概率所求情况数与总情况数之比．
画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得．
【详解】解：“横扫千军”“飞花令”“成语接龙”“看图猜诗词”四个项目分别用A、B、C、D表示，画出树状图如下;
共有12种等可能的情况数，其中她选中“飞花令”和“看图猜诗词”的有2种，
则她选中“飞花令”和“看图猜诗词”的概率为．
故选：B
8．（2023上·山东枣庄·九年级统考期中）一个口袋中有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有40次摸到白球．请你估计这个口袋中有（ ）个红球．
A．2 B．3 C．6 D．8
【答案】C
【分析】本题主要考查了用频率估计概率，已知概率求数量，根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值求出摸到白球的概率为，由此根据概率计算公式求出白球的数量，进而求出红球的个数即可．
【详解】解：由题意得，摸到白球的频率为，即摸到白球的概率为，
∴口袋中有白球个，
∴估计这个口袋中有个红球，
故选C．
9．（2023上·陕西榆林·九年级校考期末）某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是（ ）
A．玩“石头”“剪刀”“布”时，小亮随机出的是“石头”
B．掷一枚质地均匀的硬币，落地后“正面”朝上的概率
C．投掷一枚骰子，点数“6”朝上的概率
D．袋子中有除颜色外其余都相同的1个红球和2个黄球，从中任取一球是黄球
【答案】B
【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，用概率公式求概率，正确求出各试验的概率是解题关键，利用折线统计图可得出试验的频率在左右，进而得出答案．
【详解】解：A、在“石关、剪刀、布”的游戏中，小亮随机出的是“石头”概率为，不符合这一结果，故此选项不符合题意；
B、掷一枚质地均匀的硬币，落地后“正面”朝上的概率为，符合这一结果，故此选项符合题意；
C、投掷一枚骰子，点数“6”朝上的概率为，不符合这一结果，故此选项不符合题意；
D、袋子中有除颜色外其余都相同的1个红球和2个黄球，从中任取一球是黄球的概率为，不符合这一结果，故此选项不符合题意．
故选：B．
10．（2023上·福建福州·九年级校考阶段练习）在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共个，这些球除颜色外都相同，小明通过多次试验发现，摸出黄球的频率稳定在左右，则袋子中黄球的个数最有可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了用频率估计概率．熟练掌握大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率是解题的关键．
由题意知，摸出黄球的概率为，根据，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，摸出黄球的概率为，
∴袋子中黄球的个数最有可能是个，
故选：D．
11．（2023上·浙江杭州·九年级校考阶段练习）在一个不透明的口袋中装有4个白球和若干个红球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在附近，则口袋中红球可能有（ ）
A．8个 B．12个 C．16个 D．20个
【答案】C
【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，掌握大量反复试验下频率稳定值即概率是解题关键．由摸到白球的频率稳定在附近得出口袋中得到白色球的概率，进而求出红球个数即可．
【详解】解：设袋中红球的个数为x，
根据题意，得：
，
解得，
经检验是分式方程的解，
口袋中红球可能有16个，
故选：C．
12．（2023上·河南商丘·九年级校联考阶段练习）某淘宝商家为“双大促”提前进行了预热抽奖，通过后台的数据显示转盘指针落在“元优惠券”区域的统计数据如下表．若随机转动转盘一次，得到“元优惠券”的概率为（精确到）（ ）
转动转盘的次数
落在“元优惠券”区域的次数
落在“元优惠券”区域的频率
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查多次随机事件的概率等于频率，根据表格直接求解即可得到答案；
【详解】解：由表可得，
得到“元优惠券”的概率为，
精确到为：，
故选：C．
13．（2023上·吉林长春·九年级吉林大学附属中学校考期末）抛物线与轴交于点、．若点的坐标为，则点的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查抛物线与x轴的交点，求出抛物线的对称轴为直线，根据对称性即可求解.
【详解】解：抛物线的对称轴为直线，
根据对称性，则点，
故答案为：.
14．（2023上·新疆昌吉·九年级校考期末）在一个不透明的口袋中有颜色不同的红、白两种小球，其中红球只，白球只，若从袋中任取一个球，摸出白球的概率为，则 ．
【答案】
【分析】此题考查了概率公式的应用，根据题意，由概率公式可得方程：，解此方程即可求得答案．
【详解】解：根据题意得：
，
解得：，
经检验：是原分式方程的解．
故答案为：．
15．（2023上·吉林白城·九年级统考期末）有6张看上去无差别的卡片，上面分别写着1，2，3，4，5，6，随机抽取1张后，放回并混在一起，再随机抽取1张，则两次取出的数字都是奇数的概率为 。
【答案】/
【分析】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．列表法展示所有36种等可能的结果数，再找出两次抽取的数字都是奇数的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】解：列表如下：
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
共有36种等可能的结果数，其中两次抽取的数字都是奇数的结果数为9，
所以随机抽取一张，两次抽取的数字都是奇数的概率．
故答案为：．
16．（2023上·吉林白山·九年级统考期末）将分别标有“学”“习”“强”“国”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字组成“强国”的概率是 ．
【答案】
【分析】本题考查列表法或树状图法求等可能事件发生的概率．根据题意依次列举出可能出现的情况即可算出本题答案．
【详解】解：根据题意将情况一一列举出来，如图所示：
设：两次摸出的球上的汉字组成“强国”的事件为A，
共有12种等可能的结果，其中事件A发生有2种结果，
∴，
故答案为：．
17．（2023上·甘肃陇南·九年级统考期末）在“抛掷正六面体”的试验中，正六面体的六个面分别标有数字“1”、“2”、“3”、“4”、“5”和“6”，如果试验的次数增多，数字“1”朝上的频率逐渐接近的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了利用频率估计概率的知识，实验次数越多，出现某个数的变化趋势越接近于它所占总数的概率．根据概率公式直接求解即可．
【详解】解：如果试验的次数增多，出现数字“1”的频率的变化趋势是接近．
故答案为：．
18．（2023上·江西南昌·九年级南昌市心远中学校考期中）（1）一个口袋中有3个黑球和若干个白球，在不允许将球倒出来的前提下，小明为估计其中的白球数，采用了如下的方法：从口袋中随机摸出一个球，记下颜色，然后把它放回口袋中，摇匀后再随机摸出一球，记下颜色，…，不断重复上述过程，小明共换了100次，其中20次摸到黑球．根据上述数据，估计口袋中的白球大约有多少个？
（2）如图，P是正方形内一点，绕着点B旋转后能到达的位置，若．求线段的长．
【答案】（1）估计口袋中的白球大约有12个；（2）线段的长为．
【分析】本题主要考查的是用频率估计概率和旋转变换的性质．
（1）由小明共摸了100次，其中20次摸到黑球，可估计出摸到白球的概率为，设口袋中约有x个白球，依据概率公式列出关于x的方程求解即可；
（2）根据旋转变换的性质可知，，再根据勾股定理列式求解即可得到的长度．
【详解】解：（1）由题可得出摸到黑球的概率是：，
因此摸到白球概率是，
设口袋中约有x个白球，由题可得
，
解得：，经检验，是原方程的解
答：估计口袋中的白球大约有12个；
（2）∵绕着点B旋转后能到达的位置，
∴，，
，
答：线段的长为．
19．（2024上·甘肃定西·九年级校联考期末）2023年9月23日，第19届亚运会在杭州开幕．小明和小亮相约一起去亚运会比赛现场为中国队加油，比赛现场的观赛区分为A、B、C、D四个区域，购票以后系统随机分配观赛区域．
(1)小明购买门票在A区观赛的概率为________；
(2)求小明和小亮在同一区域观看比赛的概率．（请用画树状图或列表说明理由）
【答案】(1)
(2)
【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
（1）直接根据概率公式计算即可；
（2）画出树状图，用符合条件的情况数除以所有等可能发生的情况数即可．
【详解】（1）小明购买门票在A区观赛的概率为．
故答案为：；
（2）画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中小明和小亮在同一区域观看比赛的结果有4种，
∴小明和小亮在同一区域观看比赛的概率为．
20．（2023上·山东烟台·九年级统考期末）小南发现操场中有一个不规则的封闭图形（如图），为了计算它的面积，他在封闭图形内画了一个半径为的圆，在不远处向封闭图形内郑石子，若石子落在封闭图形外部，则重郑．记录结果如下：
石子落在圆内（含圆上）的次数 14 43 93 150
石子落在阴影部分的次数 19 85 186 300
根据以上数据，小南得到了封闭图形的面积．
请根据以上信息，回答下列问题：
(1)估计石子落在阴影部分的概率___________；
(2)估计封闭图形的面积，并写出推理过程．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率＝所求情况数与总情况数之比．
（1）大量试验时，频率可估计概率；
（2）利用概率，求出圆的面积比总面积的值，计算出封闭图形面积．
【详解】（1）解：观察表格得：
随着投掷次数的增大，估计石子落在阴影部分的概率为；
（2）解：设封闭图形的面积为a，根据题意得：，
解得：，
则封闭图形的面积为．
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