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第六章 图形的变化
第三节 图形的相似
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 相似的有关概念与相似多边形 ☆☆ 吉林中考中，有关图形的相似部分，每年考查1~3道题,分值为3~12分，通常以选择题、填空题和解答题的形式考察。对于这部分的复习，需要熟练掌握相似的有关概念与相似多边形、相似三角形的性质与判定、图形的位似、一线三等角等考点。
考点2 相似三角形的性质与判定 ☆☆☆
考点3 图形的位似 ☆
考点4 一线三等角问题 ☆☆☆
■考点一　相似的有关概念与相似多边形
1.相似图形：形状相同的图形叫做相似图形。
2．线段的比：两条线段的比是两条线段的长度之比．
3．比例中项：如果=，即b2=ac，我们就把b叫做a，c的比例中项．
4．比例的基本性质：= ad=bc（a，b，c，d≠0）
5.黄金分割
黄金分割定义：如果点C把线段AB分成两条线段，使，那么点C叫做线段AC的黄金分割点，AC是BC与AB的比例中项，AC与AB的比叫做黄金比．
6．相似多边形定义：对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做它们的相似比．
7．相似多边形性质：
（1）相似多边形的对应边成比例；
（2）相似多边形的对应角相等；
（3）相似多边形周长的比等于相似比，相似多边形面积的比等于相似比的平方．
■考点二　相似三角形的性质与判定
1．定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫做相似比．
2．性质：
（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例；
（2）相似三角形的对应线段（高、中线、角平分线）成比例；
（3）相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．
3．判定方法：
（1）有两角对应相等，两三角形相似；
（2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；
（3）三边对应成比例，两三角形相似；
（4）平行线分线段成比例推论．
4.相似三角形应用举例
利用三角形相似，可以解决一些测量问题，如：
(1)测量不能达到顶部的物体的高度，通常利用“在同一时刻高与影长成比例”的原理来解决。
(2)测量不能直接到达的两点的距离，我们通常构造相似三角形，利用相似三角形的性质求解。
5.判定三角形相似的思路
①有平行截线用判定定理1；
②有一对等角，找另一对等角或找角的两边对应成比例；
③有两边对应成比例找夹角相等或第三边也成比例或有一对直角；
④直角三角形找一对锐角相等或找两组直角边的比相等或斜边与直角边成比例；
⑤等腰三角形找顶角相等或一找一对底角相等或底和一腰的比相等。
■考点三　图形的位似
1．定义：如果两个图形不仅是相似图形而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行（或在同一条直线上），那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，相似比叫做位似比．
2．性质：
（1）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或–k；
（2）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比或相似比．
3．位似图形作图的步骤：
（1）确定位似中心；
（2）确定原图形的关键点；
（3）确定位似比，即要将图形放大或缩小的倍数；
（4）作出原图形中各关键点的对应点；
（5）按原图形的连接顺序连接所作的各个对应点．
■考点四 一线三等角问题
1.定义：一线三等角指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。或叫 “K字模型”。
2.原理：三直角相似可以看着是“一线三等角”中当角为直角时的特例，三直角型相似通常是以矩形或者正方形为背景，或者在一条直线上有一个顶点在该直线上移动或者旋转的直角，几种常见的基本图形如下：
当题目的条件中只有一个或者两个直角时，就要考虑通过添加辅助线构造完整的三直角型相似，这往往是很多压轴题的突破口，进而将三角型的条件进行转化。
3.一般类型：
4.基本类型：
同侧“一线三等角” 异侧“一线三等角”
■易错提示
1.位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形；
2.两个位似图形的位似中心只有一个；
3.两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧；
4.位似比就是相似比．利用位似图形的定义可判断两个图形是否位似；
5.平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形位似。
6.相似三角形是平面几何中既重要，又比较难学的一部分内容，也是中考数学中难点之一，一般都是压轴题中考查，很多时候会与反比例函数或一次函数、二次函数综合在一起。掌握必要的常见相似模型是非常必要的，这样我们在解决问题时可以快速添加辅助线构造相似模型解决问题。
■考点一　相似的有关概念与相似多边形
◇典例1： （2023上·四川宜宾·九年级统考期中）观察如图每组图形，是相似图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了相似图形的定义，理解相似图形的形状相同是解答本题的关键，本题中只要判断两个图形的形状是否相同，即可得到答案．
【详解】A．两图形形状不同，不符合题意；
B．两图形形状相同，符合题意；
C．两图形形状不同，不符合题意；
D．两图形形状不同，不符合题意．
故选：B．
◆变式训练
1．（2023上·广西桂林·九年级校考期中）下列图形是相似多边形的是（ ）
A．所有的等边三角形 B．所有的矩形
C．所有的菱形 D．所有的平行四边形
【答案】A
【分析】本题考查了相似多边形的判定，对应角相等，对应边成比例的多边形是相似多边形，据此即可作答．
【详解】解：A、所有的等边三角形满足对应角相等，对应边成比例，故该选项是正确的；
B、所有的矩形对应角相等，边不一定成比例，故该选项是错误的；
C、所有的菱形的对应角不一定相等，边不一定成比例，故该选项是错误的；
D、所有的平行四边形的对应角不一定相等，边不一定成比例，故该选项是错误的；
故选：A
2．（2023上·山东潍坊·九年级统考期中）如图，把矩形对折，折痕为，如果矩形和矩形相似，则它们的相似比为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【分析】此题主要考查了相似多边形的对应边的比相等，设矩形的长，宽，根据相似多边形对应边的比相等，即可求得．
【详解】解：设矩形的长，宽，
则，
矩形与矩形相似，
，即，
即．
．
故选：A．
■考点二　相似三角形的性质与判定
◇典例2：（2023上·吉林长春·九年级校考阶段练习）如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了相似三角形的判定和勾股定理，根据网格中的数据求出，，的长，利用三边对应成比例的两三角形相似判断即可．熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键．
【详解】解；由网格的特点和勾股定理得，
A．由勾股定理求得三边分别为，1，，
∵，
∴图中的三角形（阴影部分）与不相似，不符合题意；
B．由勾股定理求得三边分别为1，，，，
∵，
∴图中的三角形（阴影部分）与相似，符合题意；
C．由勾股定理求得三边分别为3，，，
∵，
∴图中的三角形（阴影部分）与不相似，不符合题意；
D．由勾股定理求得三边分别为2，，，
∵，
∴图中的三角形（阴影部分）与不相似，不符合题意；
故选：B．
◆变式训练
1．（江西省2023-2024学年九年级上学期期末数学试题）出于安全考虑，某村庄准备在新修的道路转弯处加一个如图所示的正三角形的警示牌，用来提醒过往车辆注意安全，已知警示牌的边长为经过一段时间的使用发现此警示牌的效果不够明显，于是将此警示牌的边长扩大为原来的2倍，那么扩大后的警示牌的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查三角形的面积，相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
【详解】解：如图，过点作于点，
∵为等边三角形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
由题可知扩大前后的两个图形是相似形，相似比为，
∴面积比为，
∴扩大后的面积为，
故选A．
2．（吉林省长春市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题）如图，某零件的外径为，用一个交叉卡钳可测量零件的内孔直径．若，且量得，则零件的厚度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是利用相似三角形的性质求出的长．
求出和相似，利用相似三角形对应边成比例列式计算求出，再根据外径的长度解答．
【详解】解：∵，，
，
∴，
∴，
，
外径为，
，
．
故选：C．
■考点三　图形的位似
◇典例3：（2023上·全国·九年级期末）如图，在菱形中，对角线，相交于点O，M，N分别是边，的中点，连接，，，则下列叙述不正确的是（ ）
A．与位似 B．与位似
C．与位似 D．与位似
【答案】B
【分析】本题主要考查了位似三角形，菱形的性质，三角形中位线定理
根据位似三角形的概念：如果两个相似三角形的每组对应点所在的直线相交于一点，那么这两个三角形叫做位似三角形，结合菱形的性质逐项判断即可．
【详解】解：∵四边形是菱形，对角线，相交于点O，
∴点O是线段的中点，，
∴，
∴与位似，故C不符合题意；
∵M是边的中点，
∴是的中位线，
∴，
同理可得，
∴，，
∴与位似，与位似，故A、D不符合题意；
∵与每组对应点所在的直线没有相交于一点，
∴与不位似，故B符合题意．
故选B．
◆变式训练
1．（2023上·河北沧州·九年级统考期末）如图，点是等边三角形的中心，、、分别是、、的中点，则与是位似三角形，此时与的位似比、位似中心分别是（ ）
A．2、点 B．、点 C．2、点 D．、点
【答案】D
【分析】根据三角形中位线定理得到，根据位似三角形的定义、位似中心的定义解答．
【详解】点是等边三角形的中心，、、分别是、、的中点，
各对应点的连线交于点，
位似中心是点，
∵与是位似三角形，位似中心到两个对应点的距离之比叫做位似比，
∴与位似比是
故选：D．
【点睛】本题考查的是位似变换，掌握位似中心的定义、相似三角形的性质是解题的关键．
2．（2023上·重庆九龙坡·九年级重庆实验外国语学校校考期中）如图，与是位似图形，点O为位似中心，．若的周长为4，则的周长是（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
【答案】C
【分析】本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，熟记相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键．
根据位似图形的概念得到，得到，根据相似三角形的性质计算即可．
【详解】，
与是位似图形
，
的周长的周长
的周长为4
的周长为
故选：C
■考点四　一线三等角问题
◇典例4：（2023·吉林·统考中考真题）如图，在中，点D在边上，过点D作，交于点E．若，则的值是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用平行线分线段成比例定理的推论得出，即可求解．
【详解】解：∵中，，
∴，
∵
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理的推论，解题关键是牢记“平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得对应线段成比例”．
◆变式训练
1．（2023·吉林松原·校联考二模）如图，，直线与这三条直线分别相交于点和点．若，则的长为（ ）

A．6 B．4．5 C．3 D．2
【答案】C
【分析】由，利用“三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例”，即可求出EF的长．
【详解】解：，
，即，
，
故选：．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，牢记“三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例”是解题的关键．
2．（2022·吉林·校联考一模）如图，，AF与BE交于点G，若，，，则的值为（　　）
A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】根据平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是理解定理的意思．
10．
1．（2021·吉林长春·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A、B在函数的图象上，x过点A作x轴的垂线，与函数的图象交于点C，连结BC交x轴于点D．若点A的横坐标为1，，则点B的横坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先设出A的坐标，根据题意得出C的坐标，表示出CE的长度，过点B作BF垂直x轴，证明，由题目条件得出相似比，代换出点B的纵坐标，即可求出B的横坐标．
【详解】设点A的坐标为，设AC与x轴的交点为E，过点B作BF⊥x轴，垂足为F，如图：
∵点C在函数的图象上，且AC⊥x轴，
∴C的坐标为，
∴EC=k，
∵BF⊥x轴，CE⊥x轴，
∴ ,
∴ ,
又∵，
∴ ,
∴，
即,
∴点B的纵坐标为，代入反比例函数解析式：
当时，，
∴B点的横坐标是2，
故选：B．
【点睛】本题考查反比例函数及相似三角形，解题关键是将线段比转化为两个相似三角形的相似比，由相似三角形的对应边得出点的坐标．
2．（2023·吉林松原·校联考三模）一个圆锥体容器的主视图如图①所示，向其中注入一部分水后，水的高度如图②所示，则图②中，上水面所在圆的半径长为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】如图，，上水面，过点A作，垂足为F，交于点G，则，，，由等腰三角形三线合一，得，；可证，于是，求得．
【详解】解：如图，，上水面，过点A作，垂足为F，交于点G，则，
∴
由题知，，
∴，
　即上水面所在圆的半径长为线段长
∵
∴，
∴
∴
∴
∴
故选：C．

【点睛】本题考查平行线的性质，等腰三角形性质，相似三角形的判定和性质，添加辅助线，构造相似三角形，寻求线段之间的数量关系是解题的关键．
3．（2023·吉林长春·东北师大附中校考三模）如图，在平面直角坐标系中，等边三角形的顶点在坐标原点，边在轴的正半轴上，点的坐标为，反比例函数的图像经过边中点，用的值是（ ）

A． B．3 C． D．
【答案】C
【分析】过作轴于，过作轴于，如图所示，利用等边三角形的性质及相似得到，代入反比例函数即可得到．
【详解】解：过作轴于，过作轴于，如图所示：

，
，
，
等边三角形的顶点在坐标原点，边在轴的正半轴上，点的坐标为，
，
由等腰三角形“三线合一”可知，
在中，，，，则，
，
反比例函数的图像经过边中点，
，
，
，即，
，
故选：C．
【点睛】本题考查求反比例函数值，涉及等边三角形性质、相似三角形的判定与性质及反比例函数求值等，熟练掌握相关几何性质是解决问题的关键．
4．（2023·吉林长春·校考二模）如图，在中，，按下列步骤作图：①分别以点A和点C为圆心，大于一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N；②作直线，与边相交于点D，与边相交于点E，连结．下列说法不一定正确的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据作法得：垂直平分，再由线段垂直平分线的性质可得，，然后结合相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，逐项判断即可求解．
【详解】解：根据作法得：垂直平分，
∴，，
∴，，故B选项正确，不符合题意；
∴，，，
∴，，
∴，，故A选项错误，符合题意，D选项正确，不符合题意；
故选：A
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
5．（2023·吉林长春·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，函数（，）的图象经过、两点．连结、，过点作轴于点，交于点．若，，则的值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】D
【分析】过点作轴，作，由平行线可得，即，设点，可用含有的代数式分别表示，根据列方程求解即可．
【详解】解：过点作轴，作，
轴，
，
，
，
设点，
代入得：，即，
，
，，
，
，
解得：
故选D．
【点睛】本题主要考查反比例函数与相似三角形，熟练运用相似三角形对应边成比例的性质得到边的关系并能利用面积列方程是解决本题的关键．
6．（2023·吉林松原·校考一模）如图，在中，D是边上的点，，，则与的面积比是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据相似三角形的判定与性质，即可求解．
【详解】解：，，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握和运用相似三角形的判定与性质是解决本题的关键．
7．（2023·吉林长春·校考一模）如图，平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴分别交于点、，点、为线段的三等分点，且、在反比例函数的图象上，若的面积为12，则的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】D
【分析】作轴于M，设，则，由题意可知,然后利用三角形面积公式得到，求得．
【详解】作轴于M，则，
设，则
∵，
∴，
∵点、为线段的三等分点，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定与性质，三角形面积，表示出A的坐标以及的长是解题的关键．
8．（2023·吉林长春·长春市解放大路学校校考模拟预测）如图，在中，，将以点A为中心逆时针旋转得到，点D在边上，交于点F．下列结论：①；②平分；③，其中正确结论的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】根据旋转的性质得到，，推出即可判断②；利用两个角对应相等的两个三角形相似即可判断①；利用相似三角形的性质得到，再证明，即可判断③．
【详解】解：∵将以点为旋转中心逆时针旋转得到ΔADE，
∴，，
∴，
∴，
∴平分，故②正确；
∵，
∴，故①正确；
∴，
∵，
∴，
∴，故③正确；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边对等角，相似三角形的判定和性质，熟记各定理是解题的关键．
9．（2022·吉林长春·校考二模）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边、分别在x轴和y轴上，，点D是边上靠近点A的三等分点，将沿直线折叠后得到，若反比例函数的图象经过点，则k的值为（ ）
A．9 B．12 C．18 D．24
【答案】B
【分析】过作于F，交于E，设，则，通过证明，得到，解方程组求得m、n的值，即可得到的坐标，代入即可求得k的值．
【详解】解：过作于F，交于E，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，
∴，
由折叠得：，，
∵，点D是边上靠近点A的三等分点，
∴，，，
∴，
易得四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
解得：，，
∴，
∵反比例函数的图象经过点，
∴，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质等知识，求得的坐标是解题的关键．
10．（2023-吉林长春中考真题）如图，△ABC和△A’B’C’是以点0为位似中心的位似图形, 点A在线段OA’上. 若0A:AA’= 1:2.则△ABC和△A’B’C’的周长之比为 .
[知识点]求两个位似图形的相似比
[答案] 1:3
[分析]根据位似图形的性质即可求出答案.
[详解]解: ∵OA:AA’= 1:2.
∴OA:OA’= 1:3,
设△ABC周长为l1,设△A’B’C’周长为12,
∵△ABC和△A’B’C’是以点0为位似中心的位似图形，
∴l1:l2=1:3.
∴△ABC和△A’B’C'的周长之比为1:3.
故答案为: 1:3.
[点睛]本题考查了位似图形的性质，解题的关键在于熟练掌握位似图形性质.
11.（2023-吉林白城三模）如图①是用杠杆撬石头的示意图,当用力压杠杆时,杠杆绕着支点转动,另一端会向上翘起,石头就被翘动了.在图②中,杠杆的D端被向上翘起的距离BD = 9cm ,动力臂OA与阻力臂OB满足OA = 3OB ( AB与CD相交于点O) , 要把这块石头翘起,至少要将杠杆的C点向下压 cm.
[知识点]相似三角形应用举例
[答案] 27
[分析]首先根据题意构造出相似三角形，然后根据相似三角形的对应边成比例求得端点C向下压的长度.
[详解]解:由题意得，AC//BD.
∴ΔAOC∽ΔBOD,
∴AC = 3BD= 27cm,
∴至少要将杠杆的C点向下压27cm,
故答案为: 27.
[点睛]本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用，正确地构造相似三角形是解题的关键.
12.（2023-吉林松原三模）如图,D, E分别是ΔABC的边AB, AC的中点,若ΔADE的面积为1 , 则四边形DBCE的面积等于 。
[知识点]三角形中位线与三角形面积问题，相似三角形的判定与性质综合
[答案] 3
[分析]根据三角形中位线的性质可得DE//BC. DE= BC.从而证出ΔADE∽ ΔABC.然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出ΔABC的面积，最后根据SDBCE= S ABC - SADE即可解答.
[详解]解: ∵D, E分别是△ABC的边AB. AC的中点
∴DE//BC. DE= BC..
∴ΔADE∽ ΔABC
∵ΔADE的面积为1,
∴ΔABC的面积为4,
∴SDBCE= S ABC - SADE=4- 1=3.
故答案为: 3.
[点睛]本题主要考查的是三角形中位线的性质、相似三角形的判定及性质等知识点，掌握三角形中位线的性质和相似三角形的判定及性质是解决此题的关键。
13.（2022-吉林长春中考真题）如图①、图②、图③均是5 x 5的正方形网格,每个小正方形的边长均为1 , 其顶点称为格点,△ABC的顶点均在格点上.只用无刻度的直尺，在给定的网格中,按下列要求作图,保留作图痕迹
(1)网格中A ABC的形状是 ；
(2)在图①中确定一点,连结DB、DC,使△DBC与△ABC全等:
(3)在图②中△ABC的边BC上确定一点,连结AE ,使△ABE∽△CBA ；
(4)在图③中△ABC的边AB上确定一点,在边BC上确定一点Q ,连结PQ ,使△PBQ∽△ABC，且相似比为1 :2.
[知识点]用SSS间接证明三角形全等，勾股定理，与网格问题，判断三边能否构成直角三角形，相似三角形的判定与性质综合
[答案] (1)直角三角形
(2)见解析(答案不唯一)
(3)见解析
(4)见解析
[分析] (1) 运用勾股定理分别计算出AB, AC, BC的长,再运用勾股定理逆定理进行判断即可得到结论;
(2)作出点A关于BC的对称点D,连接BD, CD即可得出△DBC与△ABC全等:
(3)过点A作AE⊥BC于点E,则可知△ABE∽△CBA:
(4)作出以AB为斜边的等腰直角三角形，作出斜边上的高，交AB于点P,交BC于点Q,则点P, Q即为所求.
[详解] (1) ∵AB2=42+22=20, AC2=22+12=5, BC2=52=25
∴AB2+4C2=BC2,
∴△ABC是直角三角形,
故答案为:直角三角形;
(2)如图，点D即为所求作,使△DBC与△ABC全等；
(3)如图所示，点E即为所作，且使△ABE∽△CBA；
(4) 如图,点，Q即为所求,使得△PBQ∽△ABC,且相似比为1: 2.
[点睛]本题主要考查了勾股定理，勾股定理逆定理，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定，相似三角形的判定，熟练掌握相关定理是解答本题的关键.
14.(2021-吉林长春中考真题)如图,在△ABC中，∠C=90° , AB=5 , BC=3,点D为边4C的中点.动点P从点4出发,沿折线AB--BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当点P不与点A、C重合时,连结PD .作点关于直线PD的对称点A’, 连结A’D、A’A. 设点P的运动时间为t秒.
(1 )线段AD的长为 .
(2 )用含的代数式表示线段BP的长.
(3)当点(在Δ ABC内部时,求的取值范围.
(4)当∠AAD与∠B相等时,直接写出/的值.
[知识点]相似三角形，动点问题
[答案] (1)2; (2)BP=5.(或者BP=t-5;
(3)[分析] (1) 根据勾股定理求出AC的长,再根据点D为AC的中点,得到结果;
(2)由AP=t, AB=5, 得出结论;
(3)分情况计算出两个临界值，当点A’在AB上时，DP⊥AB, ΔAPD∽ΔACB, 根据对应边成比例求出t=,当点A在AC上时，PD⊥AC,点A'与点C重合, ΔADP∽ΔACB, 根据对应边成比例求出t=;最后得出结论;
(4)根据要求画出图形，利用折叠全等与两角对应相等,两三角形相似，证明出三角形相似，再根据对应边成比例计算出各边的长，最后得到结果.
[点睛]本题主要考查了直角三角形中的动点问题.相似三角形的判断与性质。勾股定理，解题关键在于根据题意画出图形，再根据两角对应相等，两三角形相似证明3角形相似，再结合勾股定理求出结论.
1．（2023上·浙江宁波·九年级宁波市第七中学校联考期中）点，点是线段的黄金分割点，若，则长度是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解答本题的关键．
根据黄金分割的定义，得到，由此计算得到答案．
【详解】如图，
点，点是线段的黄金分割点，若，
，
，
，
故选：．
2．（2023上·安徽合肥·九年级校联考期中）下面各组图形中，不是相似图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是相似图形的识别，根据相似图形的定义知，相似图形的形状相同，但大小不一定相同，依据定义即可解决．
【详解】解：A、两个图形相似，故不符合题意；
B、两个图形相似，故不符合题意;
C、五角星和六角星不相似，故符合题意；
D、所有的圆都相似，故不符合题意，
故选：C．
3．（2023上·广东广州·九年级广州市第二中学校考阶段练习）下列说法中，正确的是（ ）
A．等腰三角形都相似 B．直角三角形都相似
C．菱形都相似 D．正方形都相似
【答案】D
【分析】本题主要考查相似多边形的判定．根据相似图形的判定，对选项进行一一分析，排除错误答案．
【详解】解： A、所有的等腰三角形，边的比不一定相等，对应角不一定对应相等，故错误，不符合题意；
B、所有的直角三角形，边的比一定相等，而对应角不一定对应相等，故错误，不符合题意；
C、所有的菱形，对应角的度数一定相同，但对应边的比值不一定相等，故错误，不符合题意；
D、所有的正方形，边的比一定相等，而对应角也对应相等，故正确，符合题意．
故选：D．
4．（2023上·陕西西安·八年级陕西师大附中校考阶段练习）下列说法中错误的是（ ）
A．相似多边形的对应边成比例 B．相似多边形的对应角相等
C．相似多边形的边数相同 D．对应边成比例的两个多边形一定是相似多边形
【答案】D
【分析】此题考查了多边形的性质及判定，根据相似多边形的性质及定义解答，熟练掌握相似多边形的定义和性质是解题的关键．
【详解】、 相似多边形的对应边成比例，此选项说法正确，不符合题意；
、 相似多边形的对应角相等，此选项说法正确，不符合题意；
、相似多边形的边数相同，此选项说法正确，不符合题意；
、 对应边成比例，且对应角相等的两个多边形是相似多边形，此选项说法错误，符合题意；
故选：．
5．（2023上·四川宜宾·九年级统考期中）已知四边形四边形，，，则四边形与四边形的周长之比为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了相似多边形的周长比等于相似比，相似多边形的周长比等于相似比，根据性质直接可得答案．解题的关键是熟练掌握相似多边形的周长比等于相似比．
【详解】∵四边形四边形，，，
∴四边形与四边形的周长之比．
故选：D．
6．（2023上·黑龙江绥化·九年级统考期末）如图，给出下列条件：①；②；③；④．其中能够单独判定相似于的条件有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查了相似三角形的判定，此题主要考查学生对相似三角形判定定理的理解和掌握，难度不大，属于基础题，要求学生应熟练掌握．由图可知与中为公共角，所以只要再找一组角相等，或一组对应边成比例即可解答．
【详解】解：有三个．
①可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定；
②，再加上为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；
③中不是已知的比例线段的夹角，不正确
④，再加上为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；
故选：C．
7．（2023上·河南郑州·九年级校考期中）如图，，要使，只需要添加一个条件即可，这个条件不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形判定方法：两角法、两边及其夹角法、三边法、平行线法．先求出，再根据相似三角形的判定方法分析判断即可．
【详解】∵，
∴，
∴，
A、添加可利用两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似可得，故此选项不合题意；
B、添加可利用两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似可得，故此选项不合题意；
C、添加可利用两边及其夹角法：两组边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，故此选项不合题意；
D、添加不能证明，故此选项符合题意；
故选：D．
8．（2023上·浙江·九年级专题练习）如图，每个小正方形边长均为，则下列图中的三角形（阴影部分）与图中相似的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了相似三角形的判定，勾股定理，利用勾股定值求出的边长，求出三边的比，再逐项求出各三角形的三边的比，比相等的即相似，即可求解，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
【详解】解：由勾股定理得：，，
∵，
∴，
、三边之比为，图中的三角形（阴影部分）与不相似；
、三边之比为，图中的三角形（阴影部分）与相似；
、三边之比为，图中的三角形（阴影部分）与不相似；
、三边之比为，图中的三角形（阴影部分）与不相似；
故选：．
9．（2023上·北京海淀·九年级清华附中校考阶段练习）如图，已知，且，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质.
根据“两角对应相等，两三角形相似”可得，根据“相似三角形的面积比等于相似比的平方”可得的值，设，，则可得，由此可求得的值.
熟练掌握“相似三角形的面积比等于相似比的平方”是解题的关键.
【详解】，
，
.
，
，
，
设，
则，
，
即.
故选：D
10．（2023上·江苏无锡·九年级无锡市东林中学校考期中）如图，已知中，，点为边上任一点，以为圆心，为半径的与交于点，连接并延长交于点，连接，若，当最大时，若的半径为，则的值为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查圆周角定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，连接，可证明，得，则，可知当最大时，则最大，再由，，证明，说明的形状不变，则为定值，再由，推导出，可知当时，，此时的值最大，所以于是得到问题的答案．
【详解】解：连接，

∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴当最大时，则最大，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的形状不变，
∴为定值，
∵，
∴，
∴当时，，此时的值最大，
∴，
故选：A．
11．（2023上·山西运城·九年级山西省运城市实验中学校考期中）据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理．小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体在幕布上形成倒立的实像（点A、B的对应点分别是C、D）．若物体的高为，小孔O到地面距离为，则实像的高度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了相似三角形的应用：先证明得到，再证明得到，再把①和②相加变形得到，然后把，，代入计算即可，利用平行线构建相似三角形，然后用相似三角形对应边的比相等的性质求相应线段的长或表示线段之间的关系．
【详解】解：依题意，
∵，
∴，
∴
∵，
∴，
∴
则得，
∴
∴
∵，
∴
解得
故选：A
12．（2023上·河南周口·九年级统考阶段练习）图1是装满了液体的高脚杯（数据如图），将其倒出部分液体后，放在水平的桌面上（如图2），此时液面（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了相似三角形的应用，，高脚杯前后的两个三角形相似，根据相似三角形的判定和性质即可得出结果．
【详解】解：如图，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
13．（2023上·重庆南岸·九年级校考期中）如图，和是位似图形，点O是位似中心，若，的周长为9，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是位似变换的概念，熟记相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键．
根据位似图形的概念，，，根据相似三角形的周长比等于相似比即可解答．
【详解】解：和是位似图形，
，，
，
，
的的周长是9，
的周长是
故选：A
14．（2023上·黑龙江绥化·九年级统考期末）在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，相似比为2，把放大得到，若点A的坐标为，则它的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．或
【答案】D
【分析】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．根据位似变换的性质解答即可．
【详解】解：∵以原点O为位似中心，相似比为2，把放大得到，点A的坐标为，
∴的坐标为或，即或，
故选D．
15．（2023上·江苏·九年级专题练习）2020年是紫禁城建成600年暨故宫博物院成立95周年，在此之前有多个国家曾发行过紫禁城元素的邮品．图1所示的摩纳哥发行的小型张中的图案，以敞开的紫禁城大门和大门内的石狮和太和殿作为邮票和小型张的边饰，如果标记出图1中大门的门框并画出相关的几何图形（图2），我们发现设计师巧妙地使用了数学元素（忽略误差），图2中的四边形与四边形是位似图形，点O是位似中心，点是线段的中点，那么以下结论正确的是（　　）
A．四边形与四边形的相似比为
B．四边形与四边形的相似比为
C．四边形与四边形的周长比为
D．四边形与四边形的面积比为
【答案】D
【分析】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．两个位似图形必须是相似形；对应点的连线都经过同一点，对应边平行或共线．先利用位似的性质得到，然后根据相似的性质进行判断．
【详解】解：四边形与四边形是位似图形，点是位似中心，点是线段的中点，
，
∴，
四边形与四边形的相似比为，周长的比为，面积比为．
故选：D．
16．（2023上·全国·九年级专题练习）如图，在正方形网格中，以点O为位似中心，的位似图形是 （用图中字母表示），与该三角形的位似比为 ．

【答案】 /
【分析】利用两个位似图形的对应顶点的连线相交于一点可判断的位似图形是，然后计算与的比得到位似比．
【详解】解：以点为位似中心，的位似图形是，与的位似比为．
故答案为：，．
【点睛】本题考查了位似变换：两个位似图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行或共线．
17．（2023上·吉林长春·九年级吉林大学附属中学校考期末）如图，以点为位似中心，将放大后得到；，，那么与四边形的面积之比为 ．

【答案】
【分析】本题考查了位似变换，利用位似性质得到，然后根据相似三角形的性质求解．
【详解】解：
∵以点为位似中心，将放大后得到
∴
∴
故答案为：.
18．（2022·山西临汾·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，在y轴的同侧作等边三角形，使它与△ABC位似，且相似比为3：1．若四边形是边长为6的菱形，则点A的坐标为 ．
【答案】
【分析】根据菱形的性质、等边三角形的性质求出，通过相似比即可得A的坐标.
【详解】解：若四边形是边长为6的菱形，.
∵是等边三角形
∴
则
∵，且相似比为3：1
∴
故答案为：
【点睛】本题主要考查菱形的性质、等边三角形的性质、位似图形的性质，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．
19．（2023上·山东济南·九年级山东省济南第五十六中学校考阶段练习）如图，与是位似图形，则与的位似比为 ．
【答案】
【分析】本题考查了位似图形的性质，根据与是位似图形，由可得两个图形的位似比．利用位似图形相似之比等于位似之比是解题关键．
【详解】解：连接，，则交点就是位似中心，
，
与△的位似比．
故答案为：．
20．（2023上·辽宁锦州·九年级校考阶段练习）在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点、成位似关系，则位似中心的坐标为 ．

【答案】
【分析】主要考查位似图形的性质．
根据题意确定直线的解析式为：，由位似图形的性质得出所在直线与所在直线x轴的交点坐标即为位似中心，即可求解．
【详解】解：由图得：，
设直线的解析式为：，将点代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为：，
所在直线与BE所在直线x轴的交点坐标即为位似中心，
∴当时，，
∴位似中心的坐标为，
故答案为：．
21．（2023上·陕西咸阳·九年级咸阳市秦都中学校考阶段练习）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知点A、B、C的坐标依次为、、．请以原点O为位似中心，在第一象限内作出的位似图形，使与相似比为，并写出点A、B的对应点、的坐标．
【答案】作图见解析，、．
【分析】本题考查了位似图形的性质以及作位似图形，根据位似图形上对应两点与位似中心的距离之比等于位似比，故连接，且分别延长的一倍，分别记上，再依次连接，即可作答．
【详解】解：如图所示；
因为与相似比为，且点A、B、C的坐标依次为、、，
所以，，
即、．
22．（2023上·四川成都·九年级统考期中）如图，已知O是坐标原点，A，B的坐标分别为，．
(1)画出绕点O顺时针旋转后得到的；
(2)在y轴的左侧以O为位似中心作的位似三角形，使与的相似比为；
(3)直接写出线段与线段的位置关系与数量关系．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)，
【分析】（1）根据旋转的性质作图即可，与关于点O成中心对称；
（2）根据位似进行作图即可；
（3）由中心对称、位似的性质，判断作答即可．
【详解】（1）解：如图1，即为所求；

（2）解：如图1，即为所求；
（3）解：由中心对称、位似的性质可知，，．
【点睛】本题考查了作旋转图形，中心对称的性质，位似作图，位似的性质．正确作图是解题的关键．
23．（2023上·辽宁丹东·九年级统考期末）如图，在正方形网格中，点A，，都在格点上，利用格点按要求完成下列作图．（要求仅用无刻度的直尺，不要求写画法，保留必要的作图痕迹）
(1)图1中，以为位似中心，位似比为，在格点上将放大得到；请画出；
(2)图2中，以线段为边画一个三角形，使它与相似．
(3)图3中，在线段上画一个点，使．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题主要考查了在网格中画位似图形和相似三角形，解题的关键是作出对应点的位置．
（1）根据位似比为，画出点A、B的对应点、，然后顺次连接即可；
（2）取格点，连接即可；
（3）取格点、，连接交于点P．
【详解】（1）解：即为所求
（2）解：即为所求
根据勾股定理得：，，
∴，
∵，
∴；
（3）解：点P即为所求，
∵，
∴，，
∴，
∴．
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第六章 图形的变化
第三节 图形的相似
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 相似的有关概念与相似多边形 ☆☆ 吉林中考中，有关图形的相似部分，每年考查1~3道题,分值为3~12分，通常以选择题、填空题和解答题的形式考察。对于这部分的复习，需要熟练掌握相似的有关概念与相似多边形、相似三角形的性质与判定、图形的位似、一线三等角等考点。
考点2 相似三角形的性质与判定 ☆☆☆
考点3 图形的位似 ☆
考点4 一线三等角问题 ☆☆☆
■考点一　相似的有关概念与相似多边形
1.相似图形：形状相同的图形叫做 。
2．线段的比：两条线段的比是 ．
3．比例中项：如果=，即b2=ac，我们就把b叫做a，c的 ．
4．比例的基本性质： （a，b，c，d≠0）
5.黄金分割
黄金分割定义：如果点C把线段AB分成两条线段，使 ，那么点C叫做线段AC的黄金分割点，AC是BC与AB的比例中项，AC与AB的比叫做 ．
6．相似多边形定义：对应角 ，对应边 的两个多边形叫做 ，相似多边形对应边的比叫做它们的 ．
7．相似多边形性质：
（1）相似多边形的对应边 ；
（2）相似多边形的对应角 ；
（3）相似多边形周长的比等于 ，相似多边形面积的比等于 ．
■考点二　相似三角形的性质与判定
1．定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做 ，相似三角形对应边的比叫做 ．
2．性质：
（1）相似三角形的对应角相等，对应边 ；
（2）相似三角形的对应线段（高、中线、角平分线） ；
（3）相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于 ．
3．判定方法：
（1）有两角 ，两三角形相似；
（2）两边 ，两三角形相似；
（3）三边 ，两三角形相似；
（4） 成比例推论．
4.相似三角形应用举例
利用三角形相似，可以解决一些测量问题，如：
(1)测量不能达到顶部的物体的高度，通常利用“ ”的原理来解决。
(2)测量不能直接到达的两点的距离，我们通常构造 ，利用相似三角形的性质求解。
5.判定三角形相似的思路
①有平行截线用判定定理1；
②有一对等角，找另一对等角或找角的两边对应成比例；
③有两边对应成比例找夹角相等或第三边也成比例或有一对直角；
④直角三角形找一对锐角相等或找两组直角边的比相等或斜边与直角边成比例；
⑤等腰三角形找顶角相等或一找一对底角相等或底和一腰的比相等。
■考点三　图形的位似
1．定义：如果两个图形不仅是相似图形而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行（或在同一条直线上），那么这样的两个图形叫做 ，这个点叫做 ，相似比叫做 ．
2．性质：
（1）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以 为中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于 ；
（2）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于 ．
3．位似图形作图的步骤：
（1）确定 ；
（2）确定原图形的 ；
（3）确定位似比，即要将图形 ；
（4）作出原图形中各关键点的 ；
（5）按原图形的连接顺序连接所作的各个 ．
■考点四 一线三等角问题
1.定义：一线三等角指的是 ，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。或叫 “ ”。
2.原理：三直角相似可以看着是“ ”中当角为直角时的特例，三直角型相似通常是以矩形或者正方形为背景，或者在一条直线上有一个顶点在该直线上移动或者旋转的直角，几种常见的基本图形如下：
当题目的条件中只有一个或者两个直角时，就要考虑通过添加辅助线构造完整的三直角型相似，这往往是很多压轴题的突破口，进而将三角型的条件进行转化。
3.一般类型：
4.基本类型：
同侧“一线三等角” 异侧“一线三等角”
■易错提示
1.位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形；
2.两个位似图形的位似中心只有一个；
3.两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧；
4.位似比就是相似比．利用位似图形的定义可判断两个图形是否位似；
5.平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形位似。
6.相似三角形是平面几何中既重要，又比较难学的一部分内容，也是中考数学中难点之一，一般都是压轴题中考查，很多时候会与反比例函数或一次函数、二次函数综合在一起。掌握必要的常见相似模型是非常必要的，这样我们在解决问题时可以快速添加辅助线构造相似模型解决问题。
■考点一　相似的有关概念与相似多边形
◇典例1： （2023上·四川宜宾·九年级统考期中）观察如图每组图形，是相似图形的是（　　）
A． B．
C． D．
◆变式训练
1．（2023上·广西桂林·九年级校考期中）下列图形是相似多边形的是（ ）
A．所有的等边三角形 B．所有的矩形
C．所有的菱形 D．所有的平行四边形
2．（2023上·山东潍坊·九年级统考期中）如图，把矩形对折，折痕为，如果矩形和矩形相似，则它们的相似比为（ ）
A． B． C．2 D．
■考点二　相似三角形的性质与判定
◇典例2：（2023上·吉林长春·九年级校考阶段练习）如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与相似的是（ ）
A． B．
C． D．
◆变式训练
1．（江西省2023-2024学年九年级上学期期末数学试题）出于安全考虑，某村庄准备在新修的道路转弯处加一个如图所示的正三角形的警示牌，用来提醒过往车辆注意安全，已知警示牌的边长为经过一段时间的使用发现此警示牌的效果不够明显，于是将此警示牌的边长扩大为原来的2倍，那么扩大后的警示牌的面积是（ ）
A． B． C． D．
2．（吉林省长春市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题）如图，某零件的外径为，用一个交叉卡钳可测量零件的内孔直径．若，且量得，则零件的厚度为（ ）
A． B． C． D．
■考点三　图形的位似
◇典例3：（2023上·全国·九年级期末）如图，在菱形中，对角线，相交于点O，M，N分别是边，的中点，连接，，，则下列叙述不正确的是（ ）
A．与位似 B．与位似
C．与位似 D．与位似
◆变式训练
1．（2023上·河北沧州·九年级统考期末）如图，点是等边三角形的中心，、、分别是、、的中点，则与是位似三角形，此时与的位似比、位似中心分别是（ ）
A．2、点 B．、点 C．2、点 D．、点
2．（2023上·重庆九龙坡·九年级重庆实验外国语学校校考期中）如图，与是位似图形，点O为位似中心，．若的周长为4，则的周长是（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
■考点四　一线三等角问题
◇典例4：（2023·吉林·统考中考真题）如图，在中，点D在边上，过点D作，交于点E．若，则的值是（ ）

A． B． C． D．
◆变式训练
1．（2023·吉林松原·校联考二模）如图，，直线与这三条直线分别相交于点和点．若，则的长为（ ）

A．6 B．4．5 C．3 D．2
2．（2022·吉林·校联考一模）如图，，AF与BE交于点G，若，，，则的值为（　　）
A． B． C． D．1
10．
1．（2021·吉林长春·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A、B在函数的图象上，x过点A作x轴的垂线，与函数的图象交于点C，连结BC交x轴于点D．若点A的横坐标为1，，则点B的横坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·吉林松原·校联考三模）一个圆锥体容器的主视图如图①所示，向其中注入一部分水后，水的高度如图②所示，则图②中，上水面所在圆的半径长为（ ）

A． B． C． D．
3．（2023·吉林长春·东北师大附中校考三模）如图，在平面直角坐标系中，等边三角形的顶点在坐标原点，边在轴的正半轴上，点的坐标为，反比例函数的图像经过边中点，用的值是（ ）

A． B．3 C． D．
4．（2023·吉林长春·校考二模）如图，在中，，按下列步骤作图：①分别以点A和点C为圆心，大于一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N；②作直线，与边相交于点D，与边相交于点E，连结．下列说法不一定正确的是（ ）

A． B． C． D．
5．（2023·吉林长春·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，函数（，）的图象经过、两点．连结、，过点作轴于点，交于点．若，，则的值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
6．（2023·吉林松原·校考一模）如图，在中，D是边上的点，，，则与的面积比是（　　）
A． B． C． D．
7．（2023·吉林长春·校考一模）如图，平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴分别交于点、，点、为线段的三等分点，且、在反比例函数的图象上，若的面积为12，则的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
8．（2023·吉林长春·长春市解放大路学校校考模拟预测）如图，在中，，将以点A为中心逆时针旋转得到，点D在边上，交于点F．下列结论：①；②平分；③，其中正确结论的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
9．（2022·吉林长春·校考二模）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边、分别在x轴和y轴上，，点D是边上靠近点A的三等分点，将沿直线折叠后得到，若反比例函数的图象经过点，则k的值为（ ）
A．9 B．12 C．18 D．24
10．（2023-吉林长春中考真题）如图，△ABC和△A’B’C’是以点0为位似中心的位似图形, 点A在线段OA’上. 若0A:AA’= 1:2.则△ABC和△A’B’C’的周长之比为 .
11.（2023-吉林白城三模）如图①是用杠杆撬石头的示意图,当用力压杠杆时,杠杆绕着支点转动,另一端会向上翘起,石头就被翘动了.在图②中,杠杆的D端被向上翘起的距离BD = 9cm ,动力臂OA与阻力臂OB满足OA = 3OB ( AB与CD相交于点O) , 要把这块石头翘起,至少要将杠杆的C点向下压 cm.
12.（2023-吉林松原三模）如图,D, E分别是ΔABC的边AB, AC的中点,若ΔADE的面积为1 , 则四边形DBCE的面积等于 。
13.（2022-吉林长春中考真题）如图①、图②、图③均是5 x 5的正方形网格,每个小正方形的边长均为1 , 其顶点称为格点,△ABC的顶点均在格点上.只用无刻度的直尺，在给定的网格中,按下列要求作图,保留作图痕迹
(1)网格中A ABC的形状是 ；
(2)在图①中确定一点,连结DB、DC,使△DBC与△ABC全等:
(3)在图②中△ABC的边BC上确定一点,连结AE ,使△ABE∽△CBA ；
(4)在图③中△ABC的边AB上确定一点,在边BC上确定一点Q ,连结PQ ,使△PBQ∽△ABC，且相似比为1 :2.
14.(2021-吉林长春中考真题)如图,在△ABC中，∠C=90° , AB=5 , BC=3,点D为边4C的中点.动点P从点4出发,沿折线AB--BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当点P不与点A、C重合时,连结PD .作点关于直线PD的对称点A’, 连结A’D、A’A. 设点P的运动时间为t秒.
(1 )线段AD的长为 .
(2 )用含的代数式表示线段BP的长.
(3)当点(在Δ ABC内部时,求的取值范围.
(4)当∠AAD与∠B相等时,直接写出/的值.
1．（2023上·浙江宁波·九年级宁波市第七中学校联考期中）点，点是线段的黄金分割点，若，则长度是（ ）
A．1 B． C． D．
2．（2023上·安徽合肥·九年级校联考期中）下面各组图形中，不是相似图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023上·广东广州·九年级广州市第二中学校考阶段练习）下列说法中，正确的是（ ）
A．等腰三角形都相似 B．直角三角形都相似
C．菱形都相似 D．正方形都相似
4．（2023上·陕西西安·八年级陕西师大附中校考阶段练习）下列说法中错误的是（ ）
A．相似多边形的对应边成比例 B．相似多边形的对应角相等
C．相似多边形的边数相同 D．对应边成比例的两个多边形一定是相似多边形
5．（2023上·四川宜宾·九年级统考期中）已知四边形四边形，，，则四边形与四边形的周长之比为（　　）
A． B． C． D．
6．（2023上·黑龙江绥化·九年级统考期末）如图，给出下列条件：①；②；③；④．其中能够单独判定相似于的条件有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2023上·河南郑州·九年级校考期中）如图，，要使，只需要添加一个条件即可，这个条件不可能是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023上·浙江·九年级专题练习）如图，每个小正方形边长均为，则下列图中的三角形（阴影部分）与图中相似的是（　　）
A． B． C． D．
9．（2023上·北京海淀·九年级清华附中校考阶段练习）如图，已知，且，则（　　）
A． B． C． D．
10．（2023上·江苏无锡·九年级无锡市东林中学校考期中）如图，已知中，，点为边上任一点，以为圆心，为半径的与交于点，连接并延长交于点，连接，若，当最大时，若的半径为，则的值为（ ）

A． B． C． D．
11．（2023上·山西运城·九年级山西省运城市实验中学校考期中）据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理．小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体在幕布上形成倒立的实像（点A、B的对应点分别是C、D）．若物体的高为，小孔O到地面距离为，则实像的高度为（ ）
A． B． C． D．
12．（2023上·河南周口·九年级统考阶段练习）图1是装满了液体的高脚杯（数据如图），将其倒出部分液体后，放在水平的桌面上（如图2），此时液面（ ）
A． B． C． D．
13．（2023上·重庆南岸·九年级校考期中）如图，和是位似图形，点O是位似中心，若，的周长为9，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
14．（2023上·黑龙江绥化·九年级统考期末）在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，相似比为2，把放大得到，若点A的坐标为，则它的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．或
15．（2023上·江苏·九年级专题练习）2020年是紫禁城建成600年暨故宫博物院成立95周年，在此之前有多个国家曾发行过紫禁城元素的邮品．图1所示的摩纳哥发行的小型张中的图案，以敞开的紫禁城大门和大门内的石狮和太和殿作为邮票和小型张的边饰，如果标记出图1中大门的门框并画出相关的几何图形（图2），我们发现设计师巧妙地使用了数学元素（忽略误差），图2中的四边形与四边形是位似图形，点O是位似中心，点是线段的中点，那么以下结论正确的是（　　）
A．四边形与四边形的相似比为
B．四边形与四边形的相似比为
C．四边形与四边形的周长比为
D．四边形与四边形的面积比为
16．（2023上·全国·九年级专题练习）如图，在正方形网格中，以点O为位似中心，的位似图形是 （用图中字母表示），与该三角形的位似比为 ．

17．（2023上·吉林长春·九年级吉林大学附属中学校考期末）如图，以点为位似中心，将放大后得到；，，那么与四边形的面积之比为 ．

18．（2022·山西临汾·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，在y轴的同侧作等边三角形，使它与△ABC位似，且相似比为3：1．若四边形是边长为6的菱形，则点A的坐标为 ．
19．（2023上·山东济南·九年级山东省济南第五十六中学校考阶段练习）如图，与是位似图形，则与的位似比为 ．
20．（2023上·辽宁锦州·九年级校考阶段练习）在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点、成位似关系，则位似中心的坐标为 ．

21．（2023上·陕西咸阳·九年级咸阳市秦都中学校考阶段练习）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知点A、B、C的坐标依次为、、．请以原点O为位似中心，在第一象限内作出的位似图形，使与相似比为，并写出点A、B的对应点、的坐标．
22．（2023上·四川成都·九年级统考期中）如图，已知O是坐标原点，A，B的坐标分别为，．
(1)画出绕点O顺时针旋转后得到的；
(2)在y轴的左侧以O为位似中心作的位似三角形，使与的相似比为；
(3)直接写出线段与线段的位置关系与数量关系．
23．（2023上·辽宁丹东·九年级统考期末）如图，在正方形网格中，点A，，都在格点上，利用格点按要求完成下列作图．（要求仅用无刻度的直尺，不要求写画法，保留必要的作图痕迹）
(1)图1中，以为位似中心，位似比为，在格点上将放大得到；请画出；
(2)图2中，以线段为边画一个三角形，使它与相似．
(3)图3中，在线段上画一个点，使．
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