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第六章 图形的变化
第二节 图形的轴对称、平移与旋转
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 图形的轴对称 ☆ 吉林中考中，有关图形的轴对称、平移与旋转部分，每年考查1~2道题,分值为3~6分，通常以选择题、填空题和解答题的形式考察。对于这部分的复习，需要熟练掌握图形的轴对称、平移、旋转和最短路径等考点。
考点2 图形的平移 ☆☆
考点3 图形的旋转 ☆☆
考点4 最短路径问题 ☆
■考点一　图形的轴对称
1.轴对称图形与轴对称
轴对称图形 轴对称
图形
定义 如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫轴对称图形，这条直线叫做对称轴 如果两个图形对折后，这两个图形能够完全重合，那么我们就说这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴
性质
(1)对应线段相等 AB＝①__AC__ AB＝A′B′ BC＝B′C′ AC＝A′C′
(2)对应角相等 ∠B＝∠C ∠A＝②__∠A′__ ， ∠B＝∠B′， ∠C＝∠C′
(3)对应点所连的线段被对称轴垂直平分 AD垂直平分BC MN垂直平分AA′，BB′，CC′
区别 (1)轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，只对一个图形而言； (2)对称轴不一定只有一条 (1)轴对称是指③__两个__图形的位置关系，必须涉及两个图形； (2)只有一条对称轴
关系 (1)沿对称轴对折，两部分重合； (2)如果把轴对称图形沿对称轴分成“两个图形”，那么这“两个图形”就关于这条直线成轴对称 (1)沿对称轴翻折，两个图形重合； (2)如果把两个成轴对称的图形拼在一起，看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形
2.轴对称作（画）图
（1）画图形的对称轴
如果两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线，因此我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这个图形的对称轴.
对于轴对称图形，只要找到任意一对对应点，作出对应点所连线段的垂直平分线，就得到此图形的对称轴.
（2）画轴对称图形
由一个平面图形可以得到与它关于一条直线对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全相同；新图形上的每一点都是原图形上的某一点关于直线的对称点；连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分.
几何图形都可以看作是由点组成.对于某些图形，只要画出图形中的一些特殊点（如线段的端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形.
画轴对称图形的步骤；
①确定原图形的特殊点；
②作出所有特殊点关于对称轴的对称点；
③按原图形的顺序顺次连接相应的对称点.
点拨
“特殊点”是指能确定图形形状、大小及位置的关键点.如果是多边形，这些点就是指所有的顶点；如果是线段，这些点就是指线段的两个端点等.
■考点二　图形的平移
1.平移的概念：在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移变换。
2.平移的性质：1）平移前后的两个图形形状和大小完全相同，对应角相等，对应边相等， 平移前后两个图形的周长和面积相等。
2）对应线段（或对应边）平行(或在同一直线上)且相等。
3）任意两组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等。
3.平面直角坐标系内平移变化
■考点三　图形的旋转
1.旋转的概念
（1）把一个图形 的图形变换叫做旋转..点O叫做 ，转动的角叫做 ,如果图形上的点A经过旋转变为点A′，那么，这两个点叫做这个旋转的对应点.
（2）旋转的三个要素： .
2.旋转的性质
(1)对应点到 的距离相等（OA= OA′）；　　
(2) 等于旋转角；　
(3)旋转前、后的图形全等( ).
知识要点：图形绕某一点旋转，既可以按 也可以按 .
3.旋转的作图
在画旋转图形时，首先确定 ，其次确定图形的 ，再将这些关键点沿 旋转指定的角度，然后连接 ，形成 ．
知识要点：
作图的步骤：
(1)连接图形中的每一个 ；
(2)把连线按要求（ ）绕旋转中心旋转 （旋转角）；
　　(3)在角的一边上截取关键点到 的距离，得到各点的 ；
　　(4)连接所得到的各对应点.
■考点四 最短路径问题
最短路径的基本原理：
①两点之间，线段 。如图， 号线最短
②点到直线的距离 。如图， 最短。
③垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离 。如图，MN是垂直平分线，CA= CB 。
2.最短路径问题类型
（1）确定起点的最短路径问题：即已知起始结点，求最短路径的问题；
（2）确定终点的最短路径问题：与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题；
（3）确定起点终点的最短路径问题：即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径；
（4）全局最短路径问题：求图中所有的最短路径。
■易错提示
1.找对称点时，所找对称点最好是图形的顶点或拐点，这样作出的图形更准确.
2.旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这时判断旋转的关键．
3.旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向．
4.旋转的范围是平面内的旋转，否则有可能旋转成立体图形，因而要注意此点．
5.全等的图形不一定是成轴对称的，成轴对称的图形一定是全等的，所以成轴对称的两个图形中，对应线段相等，对应角相等.
6.由一个基本图案可以通过平移、旋转和轴对称以及中心对称等方法变换出一些复合图案．
7.利用旋转设计图案关键是利用旋转中的三个要素（①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度）设计图案．通过旋转变换不同角度或者绕着不同的旋转中心向着不同的方向进行旋转都可设计出美丽的图案．
8.求直线异侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题，只要连接这两点，所得线段与直线的交点即为所求的位置.
9.求直线同侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，所得线段与该直线的交点即为所求的位置.
10.平移，旋转和中心对称都是全等的图形变化。变化前后的图形都是全等的。
11.中心对称与中心对称图形的区别与联系
中心对称 中心对称图形
区别 (1)是针对两个图形而言的； (2)是指两个图形的位置关系 (1)是针对一个图形而言的； (2)是指具有某种性质的一个图形
联系 (1)都是通过把图形旋转180°重合来定义的； (2)两者可相互转化，若把中心对称的两个图形看成一个整体，那么这“一个图形”就是中心对称图形；反之，若把一个中心对称图形相互对称的两部分看成两个图形，那么这“两个图形”中心对称
■考点一　图形的对称
◇典例1： （2022上·贵州黔南·八年级阶段练习）2021年是农历辛丑牛年，习近平总书记勉励全国各族人民在新的一年发扬“为民服务孺子牛、创新发展拓荒牛、艰苦奋斗老黄牛”精神，某社区也开展了“迎新春牛年剪纸展”，下面的剪纸作品是轴对称图形的是（　　）
B．
C． D．
◆变式训练
1．（2023上·黑龙江鸡西·八年级统考阶段练习）在联欢会上，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩“抢凳子”游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的（　　）
A．三边垂直平分线的交点 B．三条中线的交点
C．三条角平分线的交点 D．三条高所在直线的交点
2．（2023上·黑龙江哈尔滨·六年级哈尔滨市第六十九中学校校考阶段练习）下列轴对称图形中，对称轴最多的是（ ）
A． B． C． D．
■考点二　图形的平移
◇典例2：（2024上·黑龙江绥化·七年级校考期末）下列运动属于平移的是（ ）
A．荡秋千 B．地球绕着太阳转
C．风筝在空中随风飘动 D．急刹车时，汽车在地面上的滑动
◆变式训练
1．（2023下·七年级课时练习）如图，通过平移就能达到阴影部分位置的图形共有______块（注意：阴影部分本身除外）（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
2．（2023上·江苏无锡·七年级校考阶段练习）将图①中周长为40的长方形纸片剪成1号、2号、3号、4号正方形和5号长方形，并将它们按图②的方式放入周长58的长方形中，则没有覆盖的阴影部分的周长为 （　　）
A．44 B．48 C．46 D．50
■考点三　图形的旋转
◇典例3：（2023上·湖北·九年级校联考阶段练习）如图，将绕点 C 按逆时针方向旋转至，使点 D 落在的延长线上．已知，，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1．（2023上·山东临沂·九年级统考期中）将含有角的直角三角板如图放置在平面直角坐标系中，在轴上，若，将三角板绕原点顺时针旋转，则点的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023上·河南信阳·九年级统考期中）将菱形按如图所示的方式放置，绕原点将菱形顺时针旋转，每次旋转，点的对应点依次为、、、…，若，，则的坐标为（ ）
A． B． C． D．
■考点四　最短路径问题
◇典例4：（2023上·四川巴中·七年级校考阶段练习）下列四个生活中产生的现象：①用两个钉子就可以把木条固定在墙上；②植树时，只要定出两棵的位置，就能确定同一行树所在的直线；③从A地到B架设电线，总是尽可能沿着线段AB方向架设；④把弯曲的公路改直，就能缩短路程．
其中可用公理“两点之间，线段最短”来解释的现象有（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．③④
◆变式训练
1．（2023上·辽宁本溪·八年级校考阶段练习）如图，长方体的底面边长分别为2厘米和4厘米，高为5厘米．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为（ ）厘米．
A．8 B． C． D．
2．（2023上·河南驻马店·八年级校考阶段练习）如图，一圆柱体的底面周长为，高为，是直径，一只蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点的最短路程是（　　）

A． B． C． D．
1．（2023·吉林长春·统考中考真题）如图，用直尺和圆规作的角平分线，根据作图痕迹，下列结论不一定正确的是（ ）

A． B． C． D．
2．（2022·吉林长春·统考中考真题）如图，在中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·吉林长春·长春市第八十七中学校考三模）如图，在中，根据图中圆规作图的痕迹，可用无刻度直尺画一条直线将的周长分成相等两部分的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023·吉林长春·统考二模）如图，在中，，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点和，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，以下结论错误的是( )

A．是的平分线 B．
C．点在线段的垂直平分线上 D．
5．（2023·吉林松原·统考二模）把图中的图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度至少为（ ）

A． B． C． D．
6．（2023·吉林长春·校考三模）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023-吉林长春一模）如图,在一块长为10米,宽为S米的矩形土地中间铺一条弯曲的石子路 ,石子路的左边线向右平移x米就是它的右边线,其余部分种草,则草地面积为 平方米，(用含x的式子表示)
8.（2023-吉林长春模拟预测）如图,在△ABC中,通过尺规作图,得到直线DE和射线AF ,仔细观察作图痕迹,若∠B=42°， ∠C=50° ,则∠EAF= 。
9.（2021-吉林中考真题）如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(0, 3) ,点B的坐标为(4.0) ,连接AB ,若将ΔABO绕点B顺时针旋转90° , 得到△A'BO',则点A的坐标为 。
10.（2023-吉林长春一模）图①、图②、图③均是2x 2的正方形网格,每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D、E、F、G、H、0均在格点上,只用无刻度的直尺，在给定的网格中,分别按下列要求画图,保留作图痕迹.
(1)在图①中,画出△ABC的对称轴;
(2)在图②中,点是线段DE上的一点,画出点关于直线的对称点Q ;
(3)在图③中,点M是线段0G上一点,在线段0H上确定一点N , 使得OM=ON .
11.（2023-吉林长春二模）在下面的正方形网格中按要求作图.
(1)在图①中将△ABC平移,使点A与点C重合,得到△CPQ;
(2)在图②中将△ABC绕点C逆时针旋转90° , 得到△MNC ;
(3)在图③中作△FGH ,使其与△ABC关于线段DE对称.
1．（2023上·福建宁德·七年级校考期中）在一个长为、宽为、高为的长方体上，居中截去一个长为、宽为、深为的长方体后，得到一个如图所示的几何体．一只蚂蚁要从该几何体的顶点处，沿着几何体的表面到几何体上和相对的顶点处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023上·四川宜宾·八年级校考期中）在三 形中，到三个顶点距离相等的点是（ ）
A．三条高线所在直线的交点 B．三条中线的交点
C．三条 平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点
3．（2022上·内蒙古赤峰·八年级统考期末）下面图形中，不是轴对称图形的是( )
A． B． C． D．
4．（2023上·河北廊坊·八年级校考期末）如图，在由小正三角形组成的网格中，已有6个小正三角形涂黑，还需涂黑n个小正三角形，使它们和原来涂黑的小正三角形组成的新图案恰有三条对称轴，则n的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．6
5．（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）点关于轴对称的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024下·全国·七年级假期作业）下列生活现象中，属于平移现象的是（ ）
A．急刹车时汽车在地面滑行 B．风车的转动
C．投影片的文字经投影转换到屏幕上 D．钟摆的摆动
7．（2023下·全国·八年级假期作业）如图，要将图①中的图形N平移后得到图②，则下列关于图形N的平移方法中，正确的是（ ）
A．向下平移1格 B．向上平移1格
C．向上平移2格 D．向下平移2格
8．（2023上·山东德州·九年级统考期中）中，，将绕点O顺时针旋转，点A的对应点记为C，点B的对应点记为D，顺次连接得到四边形．所得到的四边形为（ ）
A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
9．（2023上·江苏无锡·八年级校联考期中）如图，在正方形中，，E为边上一点，点F在边上，且，将点E绕着点F顺时针旋转得到点G，连接，则的长的最小值为（ ）
A．3 B．2.5 C．4 D．
10．（2023上·浙江温州·九年级校联考期中）如图，将绕点C顺时针旋转得到，连接，若于点H，，则旋转角为（ ）
A． B． C． D．
11．（2023上·辽宁大连·九年级统考期中）把图中的风车图案绕着中心顺时针旋转，旋转后的图案与原来的图案重合，旋转角的度数至少为（ ）
A． B． C． D．
12．（2023上·河北石家庄·八年级校考阶段练习）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
13．（2023上·吉林长春·八年级吉林省实验校考期中）如图，长方体的底面是边长为的正方形，侧面都是长为的长方形．点是的中点，在长方体下底面的点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面点处的蜂蜜，则沿着表面需要爬行的最短路程是，则的值为（ ）
A． B． C． D．
14．（2024下·全国·八年级假期作业）如图，已知圆柱底面的周长为6cm，圆柱的高为3cm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的长度至少为（ ）
A． B． C． D．6cm
15．（2024下·全国·八年级假期作业）如图，正方体的棱长为2，E是的中点．已知一只蚂蚁沿正方体的表面从点A出发，到达点E，则它运动的最短路程为（ ）
A． B．4 C． D．5
16．（2022上·四川眉山·八年级统考期末）如图，在一个长为，宽为的长方形草地上，放着一根长方体木块，它较长的棱和草地的宽平行且棱长大于，木块从正面看是边长为的正方形，一只蚂蚁从点出发到达点处需要走的最短路程为（ ）

A．13 B． C． D．
17．（2023上·宁夏吴忠·八年级校考期末）如图，中，，，，沿过点B的直线折叠这个三角形使C点落在边上的E点处，折痕为，则的周长为 ．
18．（2023上·河南安阳·八年级校考期末）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为 ．
19．（2023上·湖北武汉·七年级武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考期末）如图，将直角沿斜边的方向平移到的位置，交于点，，，则线段的长为 ．
20．（2023上·吉林白城·九年级统考期末）如图，将含有的直角三角板ABC绕点B按顺时针转动一个角度到A1BC1的位置，使得点A、B、在同一条直线上，那么转动的这个角度等于
21．（2023上·江苏淮安·八年级校考阶段练习）如图，长方体的底面是边长的正方形，高为． 如果从点开始经过4个侧面缠绕2圈到达，那么所用细线最短需要 ．
22．（2023上·河南安阳·八年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，网格中每个小正方形的边长都是1个单位长度．
(1)画出关于轴对称的；
(2)在轴上找一点，使的周长最短（不写做法，只保留作痕迹）．
(3)求的面积．
23．（2023上·四川达州·八年级校考期末）如图，一只小蚂蚁要从A点沿长方体木块表面爬到B点处吃蜜糖，已知长方体木块的长、宽、高分别为、、，试计算小蚂蚁爬行的最短距离．
24．（2023上·河南驻马店·九年级林百欣中学校考期末）如图，在中，，，点在边上，以点为中心，将线段顺时针旋转得到线段，连接．
(1)求证：平分；
(2)连接交于点，过点作，交的延长线于点．补全图形，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明．
25．（2023上·陕西咸阳·九年级咸阳市秦都中学校考阶段练习）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知点A、B、C的坐标依次为、、．请以原点O为位似中心，在第一象限内作出的位似图形，使与相似比为，并写出点A、B的对应点、的坐标．
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第六章 图形的变化
第二节 图形的轴对称、平移与旋转
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 图形的轴对称 ☆ 吉林中考中，有关图形的轴对称、平移与旋转部分，每年考查1~2道题,分值为3~6分，通常以选择题、填空题和解答题的形式考察。对于这部分的复习，需要熟练掌握图形的轴对称、平移、旋转和最短路径等考点。
考点2 图形的平移 ☆☆
考点3 图形的旋转 ☆☆
考点4 最短路径问题 ☆
■考点一　图形的轴对称
1.轴对称图形与轴对称
轴对称图形 轴对称
图形
定义 如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫轴对称图形，这条直线叫做对称轴 如果两个图形对折后，这两个图形能够完全重合，那么我们就说这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴
性质
(1)对应线段相等 AB＝①__AC__ AB＝A′B′ BC＝B′C′ AC＝A′C′
(2)对应角相等 ∠B＝∠C ∠A＝②__∠A′__ ， ∠B＝∠B′， ∠C＝∠C′
(3)对应点所连的线段被对称轴垂直平分 AD垂直平分BC MN垂直平分AA′，BB′，CC′
区别 (1)轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，只对一个图形而言； (2)对称轴不一定只有一条 (1)轴对称是指③__两个__图形的位置关系，必须涉及两个图形； (2)只有一条对称轴
关系 (1)沿对称轴对折，两部分重合； (2)如果把轴对称图形沿对称轴分成“两个图形”，那么这“两个图形”就关于这条直线成轴对称 (1)沿对称轴翻折，两个图形重合； (2)如果把两个成轴对称的图形拼在一起，看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形
2.轴对称作（画）图
（1）画图形的对称轴
如果两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线，因此我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这个图形的对称轴.
对于轴对称图形，只要找到任意一对对应点，作出对应点所连线段的垂直平分线，就得到此图形的对称轴.
（2）画轴对称图形
由一个平面图形可以得到与它关于一条直线对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全相同；新图形上的每一点都是原图形上的某一点关于直线的对称点；连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分.
几何图形都可以看作是由点组成.对于某些图形，只要画出图形中的一些特殊点（如线段的端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形.
画轴对称图形的步骤；
①确定原图形的特殊点；
②作出所有特殊点关于对称轴的对称点；
③按原图形的顺序顺次连接相应的对称点.
点拨
“特殊点”是指能确定图形形状、大小及位置的关键点.如果是多边形，这些点就是指所有的顶点；如果是线段，这些点就是指线段的两个端点等.
■考点二　图形的平移
1.平移的概念：在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移变换。
2.平移的性质：1）平移前后的两个图形形状和大小完全相同，对应角相等，对应边相等， 平移前后两个图形的周长和面积相等。
2）对应线段（或对应边）平行(或在同一直线上)且相等。
3）任意两组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等。
3.平面直角坐标系内平移变化
■考点三　图形的旋转
1.旋转的概念
（1）把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转..点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角(如∠AO A′),如果图形上的点A经过旋转变为点A′，那么，这两个点叫做这个旋转的对应点.
（2）旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度.
2.旋转的性质
(1)对应点到旋转中心的距离相等（OA= OA′）；　　
(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；　
(3)旋转前、后的图形全等(△ABC≌△).
知识要点：图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转.
3.旋转的作图
在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形．
知识要点：
作图的步骤：
(1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心；
(2)把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）；
　　(3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；
　　(4)连接所得到的各对应点.
■考点四 最短路径问题
最短路径的基本原理：
①两点之间，线段 最短 。如图， ② 号线最短
②点到直线的距离 最短 。如图， PC 最短。
③垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离 相等 。如图，MN是垂直平分线，CA= CB 。
2.最短路径问题类型
（1）确定起点的最短路径问题：即已知起始结点，求最短路径的问题；
（2）确定终点的最短路径问题：与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题；
（3）确定起点终点的最短路径问题：即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径；
（4）全局最短路径问题：求图中所有的最短路径。
■易错提示
1.找对称点时，所找对称点最好是图形的顶点或拐点，这样作出的图形更准确.
2.旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这时判断旋转的关键．
3.旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向．
4.旋转的范围是平面内的旋转，否则有可能旋转成立体图形，因而要注意此点．
5.全等的图形不一定是成轴对称的，成轴对称的图形一定是全等的，所以成轴对称的两个图形中，对应线段相等，对应角相等.
6.由一个基本图案可以通过平移、旋转和轴对称以及中心对称等方法变换出一些复合图案．
7.利用旋转设计图案关键是利用旋转中的三个要素（①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度）设计图案．通过旋转变换不同角度或者绕着不同的旋转中心向着不同的方向进行旋转都可设计出美丽的图案．
8.求直线异侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题，只要连接这两点，所得线段与直线的交点即为所求的位置.
9.求直线同侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，所得线段与该直线的交点即为所求的位置.
10.平移，旋转和中心对称都是全等的图形变化。变化前后的图形都是全等的。
11.中心对称与中心对称图形的区别与联系
中心对称 中心对称图形
区别 (1)是针对两个图形而言的； (2)是指两个图形的位置关系 (1)是针对一个图形而言的； (2)是指具有某种性质的一个图形
联系 (1)都是通过把图形旋转180°重合来定义的； (2)两者可相互转化，若把中心对称的两个图形看成一个整体，那么这“一个图形”就是中心对称图形；反之，若把一个中心对称图形相互对称的两部分看成两个图形，那么这“两个图形”中心对称
■考点一　图形的对称
◇典例1： （2022上·贵州黔南·八年级阶段练习）2021年是农历辛丑牛年，习近平总书记勉励全国各族人民在新的一年发扬“为民服务孺子牛、创新发展拓荒牛、艰苦奋斗老黄牛”精神，某社区也开展了“迎新春牛年剪纸展”，下面的剪纸作品是轴对称图形的是（　　）
B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了轴对称图形的识别；把某个图形沿某条直线折叠，如果图形的两部分能够重合，那么这个图形是轴对称图形．
【详解】解：A、C、D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：B．
◆变式训练
1．（2023上·黑龙江鸡西·八年级统考阶段练习）在联欢会上，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩“抢凳子”游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的（　　）
A．三边垂直平分线的交点 B．三条中线的交点
C．三条角平分线的交点 D．三条高所在直线的交点
【答案】A
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线上的到线段两端的距离相等是解答本题的关键．根据线段垂直平分线的性质解答即可．
【详解】解：根据题意得：当木凳所在位置到A、B、C三个顶点的距离相等时，游戏公平，
∵线段垂直平分线上的到线段两端的距离相等，
∴凳子应放的最适当的位置是在的三边垂直平分线的交点．
故选：A．
2．（2023上·黑龙江哈尔滨·六年级哈尔滨市第六十九中学校校考阶段练习）下列轴对称图形中，对称轴最多的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了轴对称图形，根据轴对称图形的对称轴的定义即可求解，熟练掌握轴对称图形的对称轴的定义是解题的关键．
【详解】解：的对称轴有1条，
的对称轴有1条，
的对称轴有3条，
的对称轴有2条，
则对称轴最多的是，
故选C．
■考点二　图形的平移
◇典例2：（2024上·黑龙江绥化·七年级校考期末）下列运动属于平移的是（ ）
A．荡秋千 B．地球绕着太阳转
C．风筝在空中随风飘动 D．急刹车时，汽车在地面上的滑动
【答案】D
【分析】此题考查的是平移的判断，掌握平移的定义是解决此题的关键．根据平移的定义：在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的移动，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移，逐一判断即可．
【详解】A．荡秋千不属于平移，故本选项不符合题意；
B．地球绕着太阳转不属于平移，故本选项不符合题意；
C．风筝在空中随风飘动不属于平移，故本选项不符合题意；
D．急刹车时，汽车在地面上的滑动属于平移，故本选项符合题意；
故选D．
◆变式训练
1．（2023下·七年级课时练习）如图，通过平移就能达到阴影部分位置的图形共有______块（注意：阴影部分本身除外）（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】D
【解析】略
2．（2023上·江苏无锡·七年级校考阶段练习）将图①中周长为40的长方形纸片剪成1号、2号、3号、4号正方形和5号长方形，并将它们按图②的方式放入周长58的长方形中，则没有覆盖的阴影部分的周长为 （　　）
A．44 B．48 C．46 D．50
【答案】B
【分析】此题考查整式加减的应用，平移的性质，利用平移的性质将不规则图形变化为规则图形进而求解，解题的关键是设出未知数，列代数式表示各线段进而解决问题．
设1号正方形的边长为x，2号正方形的边长为y，则3号正方形的边长为，4号正方形的边长为，5号长方形的长为，宽为，根据图1中长方形的周长为40，求得，根据图中长方形的周长为58，求得，根据平移得：没有覆盖的阴影部分的周长为四边形的周长，计算即可得到答案．
【详解】解：设1号正方形的边长为x，2号正方形的边长为y，则3号正方形的边长为，4号正方形的边长为，5号长方形的长为，宽为，
由图1中长方形的周长为40，可得，，
解得：，
如图，∵图2中长方形的周长为58，
∴，
∴，
根据平移得：没有覆盖的阴影部分的周长为四边形的周长，
∴
；
故选：B．
■考点三　图形的旋转
◇典例3：（2023上·湖北·九年级校联考阶段练习）如图，将绕点 C 按逆时针方向旋转至，使点 D 落在的延长线上．已知，，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．由三角形内角和定理求出，由旋转的性质得到，即可得到答案．
【详解】解：，，
由于将绕点 C 按逆时针方向旋转至，使点 D 落在的延长线上，
，
，
，
，
．
故选A．
◆变式训练
1．（2023上·山东临沂·九年级统考期中）将含有角的直角三角板如图放置在平面直角坐标系中，在轴上，若，将三角板绕原点顺时针旋转，则点的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了坐标与图形变化和旋转求出旋转后与轴夹角为，然后求出点的横坐标与纵坐标，从而得解．
【详解】如图，
三角板绕原点顺时针旋转，
旋转后与轴夹角为，
，
，
点的横坐标为，
纵坐标为，
所以，点的坐标为．
故选：C．
2．（2023上·河南信阳·九年级统考期中）将菱形按如图所示的方式放置，绕原点将菱形顺时针旋转，每次旋转，点的对应点依次为、、、…，若，，则的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了菱形的性质、勾股定理、点的坐标规律，连接交于点，求出，从而得出，，，，…，每旋转次回到起点，由此即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：如图，连接交于点，
，
四边形为菱形，，
，，
，，
，
绕原点将菱形顺时针旋转，每次旋转，点的对应点依次为、、、…，
，，，，…，
每旋转次回到起点，
，
的坐标为与相同为，
故选：D．
■考点四　最短路径问题
◇典例4：（2023上·四川巴中·七年级校考阶段练习）下列四个生活中产生的现象：①用两个钉子就可以把木条固定在墙上；②植树时，只要定出两棵的位置，就能确定同一行树所在的直线；③从A地到B架设电线，总是尽可能沿着线段AB方向架设；④把弯曲的公路改直，就能缩短路程．
其中可用公理“两点之间，线段最短”来解释的现象有（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．③④
【答案】D
【分析】本题考查了直线与线段的辨析，区分“两点之间，线段最短”与“两点确定一条直线”是解题关键．
【详解】解：①②属于两点确定一条直线，不符合题意；
③④属于两点之间，线段最短，符合题意．
故选：D．
◆变式训练
1．（2023上·辽宁本溪·八年级校考阶段练习）如图，长方体的底面边长分别为2厘米和4厘米，高为5厘米．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为（ ）厘米．
A．8 B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理求最短路径问题，熟练掌握先把立体图形展开成平面图形，构造直角三角形，根据两点之间，线段最短，计算求解即可．
将长方体展开，然后连接，利用勾股定理求的长即可．
【详解】解：如图，长方体的展开图如下：
∴，，
由勾股定理得，，
∴最短的路径长为厘米，
故选：D．
2．（2023上·河南驻马店·八年级校考阶段练习）如图，一圆柱体的底面周长为，高为，是直径，一只蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点的最短路程是（　　）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查勾股定理解决最短距离问题，根据展开图是矩形，找到点点，连接，根据勾股定理求解即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，圆柱侧面展开图如图所示，连接，
，，

∴，
故选：B．
1．（2023·吉林长春·统考中考真题）如图，用直尺和圆规作的角平分线，根据作图痕迹，下列结论不一定正确的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据作图可得，进而逐项分析判断即可求解．
【详解】解：根据作图可得，故A，C正确；
∴在的垂直平分线上，
∴，故D选项正确，
而不一定成立，故B选项错误，
故选：B．
【点睛】本题考查了作角平分线，垂直平分线的判定，熟练掌握基本作图是解题的关键．
2．（2022·吉林长春·统考中考真题）如图，在中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据尺规作图痕迹，可得DF垂直平分AB，BE是的角平分线，根据垂直平分线的性质和角平分线的定义，直角三角形两锐角互余，等边对等角的性质进行判断即可．
【详解】根据尺规作图痕迹，可得DF垂直平分AB，BE是的角平分线，
，
，
，
综上，正确的是A、C、D选项，
故选：B．
【点睛】本题考查了垂直平分线和角平分线的作图，垂直平分线的性质，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余，等边对等角的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
3．（2023·吉林长春·长春市第八十七中学校考三模）如图，在中，根据图中圆规作图的痕迹，可用无刻度直尺画一条直线将的周长分成相等两部分的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据三角形内角和定理求得，则，根据三线合一即可求解．
【详解】解：∵在中，
∴，
∴，
∴，
则作图为的角平分线，将的周长分成相等两部分，
A选项作图为的角平分线，B选项为的角平分线，不合题意，
C选项为的角平分线，符合题意，
D选项为的垂直平分线，不合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查了作角平分线，垂直平分线，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握等腰三角形的性质与判定是解题的关键．
4．（2023·吉林长春·统考二模）如图，在中，，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点和，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，以下结论错误的是( )

A．是的平分线 B．
C．点在线段的垂直平分线上 D．
【答案】D
【分析】A根据作图的过程可以判定是的角平分线；B利用角平分线的定义可以推知，则由直角三角形的性质来求的度数；C利用等角对等边可以证得，由线段垂直平分线的判定可以证明点在的垂直平分线上；D利用角所对的直角边是斜边的一半求出，进而可得，则．
【详解】解：根据作图方法可得是的平分线，故A正确，不符合题意；
∵，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，故B正确，不符合题意；
∵，
∴，
∴点在的垂直平分线上，故C正确，不符合题意；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
则，故D错误，符合题意，
故选：D．
【点睛】本题主要考查角平分线的尺规作图，角平分线的定义，等角对等边，线段垂直平分线的判定，含直角三角形的性质等知识，能够熟练通过尺规作图的痕迹得出是角平分线是解题关键．
5．（2023·吉林松原·统考二模）把图中的图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度至少为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据图形旋转对称性，用除以计算即可得解．
【详解】解：，
旋转的角度是的整数倍，
旋转的角度至少是．
故选：B．
【点睛】本题考查了旋转对称图形，仔细观察图形求出旋转角是的整数倍是解题的关键．
6．（2023·吉林长春·校考三模）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】解：A、既是中心对称图形又是轴对称图形，故此选项符合题意；
B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
7．（2023-吉林长春一模）如图,在一块长为10米,宽为S米的矩形土地中间铺一条弯曲的石子路 ,石子路的左边线向右平移x米就是它的右边线,其余部分种草,则草地面积为 平方米，(用含x的式子表示)
[知识点]用代数式表示式，利用平移的性质求解
[答案] (50- 5x)
[分析]根据平移可知，绿地部分拼成的图形长为(10-x)米,宽为5米,然后进行计算即可.
[详解]解:依题意草地部分拼成的图形长为(10-x)米,宽为5米，
:草地面积为5x (10-x)= (50- 5x)平方米. ,
故答案为: (50- 5x).
[点睛]本题考查了列代数式，平移的性质， 熟练掌握平移的性质是解题的关键.
8.（2023-吉林长春模拟预测）如图,在△ABC中,通过尺规作图,得到直线DE和射线AF ,仔细观察作图痕迹,若∠B=42°， ∠C=50° ,则∠EAF= 。
[知识点]三角形内角和定理的应用，作角平分线(尺规作图），线段垂直平分线的性质，作垂线(尺规作图)
[答案] 23
[分析]根据基本作图得到DE垂直平分AB. AF平分∠EAC,则根据线段垂直平分线的性质得到EA= EB,所以∠EAB=∠B-42°,再利用三角形内角和定理计算出∠BAC= 88°,则∠EAC=46°，然后利用角平分线的定义求解.
[详解]解:由作图得DE垂直平分AB, AF平分∠EAC,
∴EA=EB， ∠EAF= ∠CCAF,
∴∠EAB=∠B=42°,
∵∠CBAC=180°-∠B-∠C=180°-42°-50°=88°,
∴∠EAC=∠BAC-∠E4B=88°-42° =46°，
∴∠EAF=239.
故答案为: 23°.
[点睛]本题考查了作图-基本作图:熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键.也考查了三角形内角和定理、线段垂直平分线的性质及角平分线的定义.
9.（2021-吉林中考真题）如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(0, 3) ,点B的坐标为(4.0) ,连接AB ,若将ΔABO绕点B顺时针旋转90° , 得到△A'BO',则点A的坐标为 。
[知识点]求绕某点 (非原点)旋转90度的点的坐标
[答案] (7,4)
[分析]根据旋转的性质可求得0A和O'B的长度,进而可求得点A’的坐标.
[详解]解:作AC⊥x轴于点C.
由旋转可得∠0'=90°，O'B⊥x轴,
∴四边形O'BCA'为矩形，
∴BC= AO'=0A=3. A'C= O'B=OB=4,
∴点A坐标为(7,4).
故答案为: (7,4).
[点睛]此题考查了旋转的性质，解题的关键是根据旋转找到题目中线段之间的关系.
10.（2023-吉林长春一模）图①、图②、图③均是2x 2的正方形网格,每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D、E、F、G、H、0均在格点上,只用无刻度的直尺，在给定的网格中,分别按下列要求画图,保留作图痕迹.
(1)在图①中,画出△ABC的对称轴;
(2)在图②中,点是线段DE上的一点,画出点关于直线的对称点Q ;
(3)在图③中,点M是线段0G上一点,在线段0H上确定一点N , 使得OM=ON .
[知识点]画轴对称图形,画对称轴
[答案] (1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
[分析] (1) 根据网格的特点与轴对称的性质画出对称轴即可求解;
(2)根据轴对称的性质，过PF与的交点，作射线EQ交DF于点Q,则点Q即为所求;
(3)根据网格的特点作大正方形的对角线，连接MH.过MH与对角线的交点，作射线GN,交网格于点N,OM=ON,点N即为所求.
[详解] (1)解:如图所示,
(2)解:如图所示，点Q即为所求;
(3)解:如图所示，点N即为所求.
[点睛]本题考查了画轴对称，画轴对称图形，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键.
11.（2023-吉林长春二模）在下面的正方形网格中按要求作图.
(1)在图①中将△ABC平移,使点A与点C重合,得到△CPQ;
(2)在图②中将△ABC绕点C逆时针旋转90° , 得到△MNC ;
(3)在图③中作△FGH ,使其与△ABC关于线段DE对称.
[知识点]平移(作图)，画轴对称图形，画旋转图形
[答案] (1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
[分析] (1) 将点A、B、C向右平移一个单位长度，再向下平移两个单位长度,最后依次连接各点即可;
(2)先分别作出点A、B、 C绕点C逆时针旋转90°的对应点，再依次连接即可;
(3)先分别作出点A、B、C关于线段DE的对称点，再依次连接即可;
[详解] (1)解:如图，△CPQ为所作;
(2) 解:如图，△MNC为所作;
(3)解:如图，△FGH为所作.
[点睛]本题主要考查了平移作图,旋转作图，轴对称作图，解题的关键是掌握旋转变换和平移变换以及轴对称的特征，画出原三角形各个顶点的对应点是解题的关键.
1．（2023上·福建宁德·七年级校考期中）在一个长为、宽为、高为的长方体上，居中截去一个长为、宽为、深为的长方体后，得到一个如图所示的几何体．一只蚂蚁要从该几何体的顶点处，沿着几何体的表面到几何体上和相对的顶点处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了长方体展成平面图形，熟练掌握两点之间线段最短，利用勾股定理求最短路径，是解答本题的关键．
根据两点之间线段最短即可确定蚂蚁爬行的最短路径为，利用勾股定理求出，由此得到答案．
【详解】解：如图，将图中的几何体上表面展开，连接，则蚂蚁需要爬行的最短路径为的长，
根据题意得：
，，
由勾股定理得：，
，
蚂蚁需要爬行的最短路径的长为，
故选．
2．（2023上·四川宜宾·八年级校考期中）在三 形中，到三个顶点距离相等的点是（ ）
A．三条高线所在直线的交点 B．三条中线的交点
C．三条 平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点
【答案】D
【分析】由题意直接根据垂直平分线的性质，进行分析即可得出答案．
本题考查的是垂直平分线的性质，熟练掌握垂直平分线到线段两个端点的距离相等是解题的关键．
【详解】解：到三个顶点距离相等的点是三边垂直平分线的交点，
故选：D．
3．（2022上·内蒙古赤峰·八年级统考期末）下面图形中，不是轴对称图形的是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，解题的关键是寻找对称轴，看图形对折后两部分是否完全重合．据此解答即可．
【详解】解：A．该图形是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B．该图形不是轴对称图形，故此选项符合题意；
C．该图形是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D．该图形是轴对称图形，故此选项不符合题意．
故选：B．
4．（2023上·河北廊坊·八年级校考期末）如图，在由小正三角形组成的网格中，已有6个小正三角形涂黑，还需涂黑n个小正三角形，使它们和原来涂黑的小正三角形组成的新图案恰有三条对称轴，则n的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．6
【答案】C
【分析】本题考查了利用轴对称设计图案，解题的关键是掌握常见图形的性质和轴对称图形的性质．由等边三角形有三条对称轴可得答案．
【详解】解：如图所示，n的最小值为3．
故选：C．
5．（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级统考期末）点关于轴对称的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了关于轴对称的点的坐标，根据关于轴对称的点的坐标规律：横坐标相同，纵坐标互为相反数，即可得出答案，熟练掌握关于轴对称的点的坐标规律是解此题的关键．
【详解】解：点关于轴对称的点的坐标为，
故选：A．
6．（2024下·全国·七年级假期作业）下列生活现象中，属于平移现象的是（ ）
A．急刹车时汽车在地面滑行 B．风车的转动
C．投影片的文字经投影转换到屏幕上 D．钟摆的摆动
【答案】A
【解析】略
7．（2023下·全国·八年级假期作业）如图，要将图①中的图形N平移后得到图②，则下列关于图形N的平移方法中，正确的是（ ）
A．向下平移1格 B．向上平移1格
C．向上平移2格 D．向下平移2格
【答案】D
【解析】略
8．（2023上·山东德州·九年级统考期中）中，，将绕点O顺时针旋转，点A的对应点记为C，点B的对应点记为D，顺次连接得到四边形．所得到的四边形为（ ）
A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
【答案】C
【分析】本题考查了菱形的判定、旋转的性质等知识点，由旋转知识可得，，可得，即可得四边形ABCD为菱形，熟练掌握旋转的性质是解题关键．
【详解】解：如图：是绕点O顺时针旋转180°所得，
由旋转可知，，，
∵，
∴，
∴四边形为菱形，
故选：．
9．（2023上·江苏无锡·八年级校联考期中）如图，在正方形中，，E为边上一点，点F在边上，且，将点E绕着点F顺时针旋转得到点G，连接，则的长的最小值为（ ）
A．3 B．2.5 C．4 D．
【答案】C
【分析】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
过点G作，垂足为H，可得，根据正方形的性质可得，根据旋转的性质可得，然后利用同角的余角相等可得，从而可证，进而可得，最后可得点G在与平行且与的距离为的直线上，从而可得当点G在边上时，的值最小，进行计算即可解答.
【详解】解：过点G作，垂足为H，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
由旋转得：，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∴点G在与平行且与的距离为1的直线上，
∴当点G在边上时，最小且，
∴的最小值为4，
故选：C．
10．（2023上·浙江温州·九年级校联考期中）如图，将绕点C顺时针旋转得到，连接，若于点H，，则旋转角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了旋转变换的性质、等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，应牢固掌握旋转变换的性质，由旋转变换的性质知，根据于点H，，可求出的度数，进而可求出旋转角的度数．
【详解】解：将绕点C顺时针旋转得到，
，
，
，
，
，
，
．
故选：C．
11．（2023上·辽宁大连·九年级统考期中）把图中的风车图案绕着中心顺时针旋转，旋转后的图案与原来的图案重合，旋转角的度数至少为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．图案可以被平分成四部分，因而每部分被分成的圆心角是，并且圆具有旋转不变性，因而旋转90度的整数倍，就可以与自身重合．
【详解】解：该图形被平分成四部分，旋转90度的整数倍，就可以与自身重合，旋转角至少为．
故选：C．
12．（2023上·河北石家庄·八年级校考阶段练习）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的概念，根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
、既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项符合题意；
、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选：．
13．（2023上·吉林长春·八年级吉林省实验校考期中）如图，长方体的底面是边长为的正方形，侧面都是长为的长方形．点是的中点，在长方体下底面的点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面点处的蜂蜜，则沿着表面需要爬行的最短路程是，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了平面展开,最短问题，勾股定理及两点之间线段最短，将棱柱展开，根据两点之间线段最短即可得到最短路径，利用勾股定理解答即可，将棱柱的侧面展开图正确画出来是解题的关键．
【详解】解：将棱柱展开如图所示，
∵棱柱的底面是边长为的正方形，侧面都是长为的长方形，点是的中点，
∴，
∴，
故选：．
14．（2024下·全国·八年级假期作业）如图，已知圆柱底面的周长为6cm，圆柱的高为3cm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的长度至少为（ ）
A． B． C． D．6cm
【答案】B
【解析】略
15．（2024下·全国·八年级假期作业）如图，正方体的棱长为2，E是的中点．已知一只蚂蚁沿正方体的表面从点A出发，到达点E，则它运动的最短路程为（ ）
A． B．4 C． D．5
【答案】C
【解析】略
16．（2022上·四川眉山·八年级统考期末）如图，在一个长为，宽为的长方形草地上，放着一根长方体木块，它较长的棱和草地的宽平行且棱长大于，木块从正面看是边长为的正方形，一只蚂蚁从点出发到达点处需要走的最短路程为（ ）

A．13 B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了勾股定理与最短路径问题，从不同的方向看几何体，将木块展开，然后根据两点之间线段最短利用勾股定理解答即可．
【详解】解：如图所示，将木块展开，
由题意得，展开后的长方形的长为，宽为，
∴一只蚂蚁从点出发到达点处需要走的最短路程为，
故选A．

17．（2023上·宁夏吴忠·八年级校考期末）如图，中，，，，沿过点B的直线折叠这个三角形使C点落在边上的E点处，折痕为，则的周长为 ．
【答案】5
【分析】本题考查了翻折变换的性质，熟记翻折前后两个图形能够完全重合得到相等的线段是解题的关键．根据翻折变换的性质可得，然后求出，再根据三角形的周长列式求解即可．
【详解】沿折叠点落在边上的点处，
的周长
故答案为5．
18．（2023上·河南安阳·八年级校考期末）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为 ．
【答案】(-2,3)
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同，据此可得答案．
【详解】解：在平面直角坐标系xOy中，点(2,3)关于轴对称的点的坐标为(-2,3)，
故答案为：(-2,3)．
19．（2023上·湖北武汉·七年级武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考期末）如图，将直角沿斜边的方向平移到的位置，交于点，，，则线段的长为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了平移，线段的和差，解决问题的关键是熟练掌握平移的性质，线段和差的计算．根据平移性质得到，结合，推出．
【详解】解：的是直角三角形沿着斜边的方向平移后得到的，
，
，
，
故答案为：．
20．（2023上·吉林白城·九年级统考期末）如图，将含有的直角三角板ABC绕点B按顺时针转动一个角度到A1BC1的位置，使得点A、B、在同一条直线上，那么转动的这个角度等于 。
【答案】
【分析】本题考查了旋转的性质，正确记忆三角板的角的度数，理解旋转角的概念，是解决本题的关键．
根据三角尺的度数以及旋转的性质可得为旋转角，，接下来，根据平角等于求出即可．
【详解】 ，，是旋转得到，
，
三角板中旋转角是，
，即旋转角为．
故答案为：．
21．（2023上·江苏淮安·八年级校考阶段练习）如图，长方体的底面是边长的正方形，高为． 如果从点开始经过4个侧面缠绕2圈到达，那么所用细线最短需要 ．
【答案】10
【分析】本题考查勾股定理得实际应用—最短路径问题，将长方体展开，利用勾股定理求出最短距离即可．
【详解】解：将长方体展开如图：
∵点开始经过4个侧面缠绕2圈到达，
∴展开后：，
由勾股定理得：；
故答案为：10．
22．（2023上·河南安阳·八年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，网格中每个小正方形的边长都是1个单位长度．
(1)画出关于轴对称的；
(2)在轴上找一点，使的周长最短（不写做法，只保留作痕迹）．
(3)求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，轴对称最短路径问题，求三角形面积：
（1）根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数找到A、B、C对应点的位置，然后顺次连接即可；
（2）如图所示，作点A关于y轴的对称点D，连接交y轴于P，点P即为所求；
（3）利用网格的特点结合三角形面积公式求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：如图所示，作点A关于y轴的对称点D，连接交y轴于P，点P即为所求；
（3）解：．
23．（2023上·四川达州·八年级校考期末）如图，一只小蚂蚁要从A点沿长方体木块表面爬到B点处吃蜜糖，已知长方体木块的长、宽、高分别为、、，试计算小蚂蚁爬行的最短距离．
【答案】
【分析】本题考查了平面展开最短路线问题，勾股定理的应用，根据题意画出不同数值的三种情况，根据勾股定理求出每种情况的，再比较即可．
【详解】解：展开后有三种不同的情况如图，
如图1，，
如图2，，
如图3，，
，
小蚂蚁爬行的最短路线为．
24．（2023上·河南驻马店·九年级林百欣中学校考期末）如图，在中，，，点在边上，以点为中心，将线段顺时针旋转得到线段，连接．
(1)求证：平分；
(2)连接交于点，过点作，交的延长线于点．补全图形，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明．
【答案】(1)见解析
(2)，证明见解析
【分析】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的判定等知识，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
（1）由旋转可得可得，然后“”可证，可得结论；
（2）在上截取，连接，在延长线时取点，使，连接，由“”证明，，可得，，，由平行线的性质及等量代换可得，，即可得结论．
【详解】（1）证明：，
，即，
在和中，
，
，
，
，
，
，
平分；
（2）解：，
证明：如图，在上截取，连接，在延长线时取点，使，连接，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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