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第六章 图形的变化
第一节 尺规作图
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 基本尺规作图及相应判断 ☆☆ 吉林中考中，有关尺规作图部分，每年考查1道题左右,分值为3分左右，通常以选择题、填空题和解答题的形式考察。对于这部分的复习，需要熟练掌握基本尺规作图及相应判断和无刻度直尺作图等考点。
考点2 无刻度直尺作图 ☆
■考点一　基本尺规作图及相应判断
1.尺规作图的定义：
尺规作图是指用 。最基本,最常用的尺规作图,通常称 。（一些复杂的尺规作图都是由 组成的。）
2.尺规作图的基本步骤：
(1)写出 。
(2)写出 。
(3)写出 :作图时要保留 。
3.解题技巧：尺规作图为近几年的必考点，在解答题中也有涉及，设问方式主要为判断作法的正误及作图痕迹所代表的 ．涉及到的考查点有作线段的垂直平分线、作平行线、作矩形和正方形．
■考点二　无刻度直尺作图
作一条线段OA等于已知线段a
(1)作射线OP；(2)在OP上截取 ，OA即为所求线段
作∠AOB的平分线OP
(1)以O为圆心， 为半径作弧，分别交OA，OB于点M，N；
分别以点M，N为圆心，以 ，两弧相交于点P；
(3)过点O作射线OP，OP即为∠AOB的 。
3.作线段AB的垂直平分线MN
(1)分别以点A，B为圆心，以 ，在AB 作弧，分别交于点M和点N；
(2)过点M，N作直线MN，直线MN即为线段AB的 。
作一个角 ∠A′O′B′等于∠α
在∠α上以O为圆心，以 作弧，交∠α的两边于点P，Q；
作射线O′A′；
以O′为圆心， 为半径作弧，交O′A′于点M；
以点M为圆心， 作弧交所作的弧于点N；
5.作直线l的垂线
过直线l上一点O作直线l的垂线MN
(1)以点O为圆心， 向点O两侧作弧，分别交直线l于A，B两点；
(2)分别以点A，B为圆心，以 作弧，两弧分别交于点M，N，过点M，N作直线MN，则直线MN即为所求垂线
过直线l外一点P作直线l的垂线PN
(1)在直线另一侧取点M；
(2)以点P为圆心， 画弧，分别交直线l于A，B两点；
(3)分别以A，B为圆心，以 画弧，交M同侧于点N；
(4)过点P，N作直线PN，则直线PN即为所求 。
6.作圆的内接正方形
在⊙O中用直尺和圆规作两条 ，将⊙O ，从而作出正方形
作圆的内接正六边形
(1)画⊙O的任意一条直径AB
(2)以点A，B为圆心，以 为半径画弧，与⊙O相交于点C，D和E，F；
(3)顺次连接点A，C，E，B，F，D即可得到 ACEBFD
■易错提示
1.尺规作图的画图工具是没有刻度的直尺和圆规．
2.复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．
3.解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
■考点一　基本尺规作图及相应判断
◇典例1： （2023上·陕西西安·七年级西安建筑科技大学附属中学校考阶段练习）如图，已知平面中有、、三点，画直线，画射线，连接，下列选项中，画出的图正确的是（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1．（2023上·四川遂宁·八年级四川省遂宁市第二中学校校考阶段练习）下列尺规作图的语句正确的是（ ）
A．延长射线 到 B．以点 为圆心，任意长为半径画弧
C．作直线 D．延长线段 至 ，使
2．（2023上·贵州黔东南·七年级校考期中）下列关于作图的语句中叙述正确的是（ ）
A．画直线 B．画射线
C．已知，，三点，过这三点画一条直线 D．延长线段到点，使
■考点二　无刻度直尺作图
◇典例2：（2023上·山东聊城·七年级统考期中）下列语句准确规范的是（ ）
A．直线相交于一点
B．延长直线
C．延长线段到，使
D．反向延长射线（是端点）
◆变式训练
1．（2023上·江苏·七年级专题练习）用圆规比较两条线段和的长短（如图），下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．不确定
2．（2023下·浙江·九年级阶段练习）如图，四个图形中，线段是的高的图是（ ）
A． B．
C． D．
1．（2023·吉林松原·统考二模）如图，两地间修建弯河道与修建直的河道桥相比，增加了河道桥的长度，其中蕴含的数学道理是（ ）

A．两点之间，线段最短 B．平行于同一条直线的两条直线平行
C．垂线段最短 D．两点确定一条直线
2．（2021·吉林长春·统考二模）如图所示的五边形木架不具有稳定性，若要使该木架稳定，则要钉上的细木条的数量至少为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2023·吉林长春·统考一模）如图，利用内错角相等，两直线平行，我们可以用尺规作图的方法，过的边上一点作的平行线．有以下顺序错误的作图步骤：①作射线；②以O为圆心，以任意长为半径画圆弧，分别交、于点C、D；③以F为圆心，长为半径画圆弧，交前面的圆弧于点G；④在边上取一点E，以E为圆心，长为半径画圆弧，交于点F．这些作图步骤的正确顺序为（ ）
A．①②③④ B．③②④① C．②④③① D．④③①②
4．（2023·吉林长春·统考三模）如图，在中，，按下列方式作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点；②分别以点为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧交于点；③作射线交于点，若．则的面积为（ ）

A．7 B．8 C．14 D．16
5．（2023·吉林长春·统考一模）某旅游景区内有一块三角形绿地，现要在道路边上建一个休息点M，使它到和两边的距离相等，下列作法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022·吉林长春·统考模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点B为圆心，适当长度为半径画弧，分别交AB、BC于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP交边AC于点D．若，AB＝12，则△ABD的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·吉林长春·统考中考真题）如图，在中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2022·吉林长春·统考一模）如图，在中，，．用无刻度的直尺和圆规在AB边上找一点D，使，则符合要求的作图是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2021·吉林长春·统考二模）如图，在锐角三角形中，，按以下步骤作图：①以点为圆心，长为半径作圆弧，交于点；②分别以点A、为圆心，大于长为半径作圆弧，计两弧交于点；③作射线，交于点，若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
10．（2021·吉林长春·统考一模）如图，在中，按以下步骤作图：分别以点和为圆心，大于的边长为半径作圆弧，两弧相交于点和；作直线交于点，连结．若，则的长可能是（ ）
A． B． C． D．
11．（2023·吉林·统考中考真题）如图，在中，，分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两孤交于点D，作直线交于点E．若，则的大小为 度．

12．（2023·吉林松原·校联考三模）如图，在的两边、上分别截取、，使；再分别以点M、N为圆心，以大于的长为半径作圆弧，两弧交于点E，过点E作于点C，若，则点E到直线的距离是 ．

13．（2021·吉林·统考中考真题）如图，已知线段，其垂直平分线的作法如下：①分别以点和点为圆心，长为半径画弧，两弧相交于，两点；②作直线．上述作法中满足的条作为 1.（填“”，“”或“”）
14.（21-22八年级上吉林松原期末）下面是小明同学设计的“作一个角等于已知角”的尺规作图过程 :
已知:∠C.
求作:一个角，使它等于∠C.
作法:如图:
①在∠C的两边上分别任取一点A、B;
②以点A为圆心，AC为半径画弧;以点B为圆心, BC为半径画弧;两弧交于点D ;
③连结AD、BD.
所以∠D即为所求作的角.
请根据小明设计的尺规作图过程，
(1)使用直尺和圆规，补全图形; (保留作图痕迹)
(2)完成下列证明.
证明:连结4B,
∵D4=AC , DB= ,
AB= 。
∴ΔDAB≌ΔCAB ( ) ( 填推理依据) .
∴∠C=2D.
1．（2023上·新疆阿勒泰·八年级校考阶段练习）用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图，则能说明 的依据是( )
A．SSS B．ASA C．SAS D．角平分线上的点到角两边距离相等
2．（2023上·宁夏吴忠·八年级校考期中）如图，在中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023上·江苏宿迁·八年级统考期中）在如图的方格纸上画有2条线段，再画1条线段，使图中的3条线段组成一个轴对称图形，这样线段的添法有（ ）
A．5种 B．4种 C．3种 D．2种
4．（2024下·全国·七年级假期作业）如图，用一张边长为的正方形纸片剪成七巧板，并将七巧板拼成了一柄宝剑，其中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023上·四川达州·七年级校考期中）用一个平面去截一个正方体，截面不可能是（ ）
A．三角形 B．正方形 C．七边形 D．梯形
6．（2022·河北邢台·校考三模）如图，已知，，三点，画直线，画射线，连接，按照上述语句画图，下列正确的是（ ）

A． B．
C． D．
7．（2023上·山东潍坊·七年级校考阶段练习）如图所示，已知线段，，（），求作线段AB，使．下面利用尺规作图正确的是（ ）

A． B．
C． D．
8．（2023上·江苏·七年级专题练习）过点作的垂线，下列选项中，三角板的放法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第一一三中学校校考阶段练习）下列选项中，过点画直线的垂线，三角尺的摆放方式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2023下·山东德州·七年级校考阶段练习） 下列说法错误的是（　　）
A．对顶角相等 B．两点之间所有连线中，线段最短
C．等角的补角相等 D．过任意一点P，都能画一条直线与已知直线平行
11．（2023下·河北邯郸·七年级统考期中）如图，已知一点A和直线l，现过点A作直线l的平行线，则可作平行线（ ）
A．1条 B．2条 C．0或1条 D．无数条
12．（2023下·北京密云·七年级统考期末）如图，三角形的边在直线上，且．将三角形沿直线向右平移得到三角形，其中点的对应点为点．若平移的距离为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
13．（2023下·山东济南·八年级统考期末）泉城济南，泉甲天下，将如图所示的泉城图标平移后可以得到（ ）

A． B． C． D．
14．（2023上·新疆阿勒泰·八年级校考阶段练习）下面四个图形中，线段是的高的图是（ ）
A． B．
C． D．
15．（2022下·贵州贵阳·七年级统考期中）下面四个图是小明用尺规过点作边的平行线所留下的作图痕迹，其中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
16．（2023上·河北承德·八年级校考期末）已知线段a，c，，求作：，使，，．
以下是排乱的作图步骤：
正确作图步骤的顺序是（ ）
A．①②③④ B．①③②④ C．①③④② D．①②④③
17．（2023上·山东淄博·九年级期末）已知，用尺规作图的方法在上取一点P，使，下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
18．（2023上·山东日照·八年级校考阶段练习）如图，直线与直线相交，，点在内（不在、上）．小明用下面的方法作的对称点：先以为对称轴作点关于的对称点，再以为对称轴作关于的对称点，然后再以为对称轴作关于的对称点，以为对称轴作关于的对称点，……如此继续，得到一系列、、……与P重合，则的值可能是（ ）
A． B． C． D．
19．（2023上·河北唐山·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，若与关于点成中心对称，则对称中心点的坐标是（）

A． B． C． D．
20．（2023·贵州遵义·统考三模）四边形是平行四边形，下列尺规作图不能得到等腰三角形的是（ ）
A． B． C． D．
21．（2023上·辽宁锦州·七年级统考期末）如图，已知线段，，射线．如果按如下步骤进行尺规作图：①在射线上顺次截取；②在射线上截取，那么的长为 ．

22．（2021下·安徽马鞍山·七年级统考期末）如图，将长为，宽为的长方形先向右平移，再向下平移，得到长方形，则阴影部分的面积为 ．

23．（2023上·湖南长沙·八年级校考阶段练习）用直尺和圆规作一个角等于已知角痕迹如图所示，则作图的依据是 ．

24．（2023上·山东东营·八年级校考阶段练习）在平面直角坐标系中的位置如图所示，将其绕点P顺时针旋转得到，则点P的坐标是 ．
25．（2022上·江苏泰州·九年级统考期末）已知，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将在第一象限内按相似比2：1放大后得，若点的坐标为（2，3），则点的坐标为 ．
26．（2024上·甘肃白银·七年级统考期末）请利用尺规按下列要求作图：如图，已知线段，，直线和射线相交于点（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）．
①在线段上作线段，在线段上作线段；
②在线段上作线段；
③连接．
27．（2023上·吉林长春·七年级统考期末）如图所示的正方形网格，小正方形的顶点称为格点，点A、、均在格点上，只用无刻度的直尺在给定的网格中按要求画图，不要求写作法．
(1)画射线．
(2)过点画的平行线，点在格点上．
(3)在射线上取一点，画线段，使其长度表示点到的距离．
28．（2023上·江苏南京·八年级校考阶段练习）（1）已知：如图1，和相交于点．证明：．
（2）由第（1）题，你能想到不同于图2中用直尺和圆规作角平分线的方法吗？试在图3中，用直尺和圆规作出的平分线．（不写作法，保留作图痕迹）
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第六章 图形的变化
第一节 尺规作图
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 基本尺规作图及相应判断 ☆☆ 吉林中考中，有关尺规作图部分，每年考查1道题左右,分值为3分左右，通常以选择题、填空题和解答题的形式考察。对于这部分的复习，需要熟练掌握基本尺规作图及相应判断和无刻度直尺作图等考点。
考点2 无刻度直尺作图 ☆
■考点一　基本尺规作图及相应判断
1.尺规作图的定义：
尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。最基本,最常用的尺规作图,通常称基本作图。（一些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的。）
2.尺规作图的基本步骤：
(1)写出已知
(2)写出求作
(3)写出作法并作图:作图时要保留作图痕迹。
3.解题技巧：尺规作图为近几年的必考点，在解答题中也有涉及，设问方式主要为判断作法的正误及作图痕迹所代表的作图步骤．涉及到的考查点有作线段的垂直平分线、作平行线、作矩形和正方形．
■考点二　无刻度直尺作图
作一条线段OA等于已知线段a
(1)作射线OP；(2)在OP上截取OA＝a，OA即为所求线段
作∠AOB的平分线OP
(1)以O为圆心，任意长为半径作弧，分别交OA，OB于点M，N；
分别以点M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点P；
(3)过点O作射线OP，OP即为∠AOB的平分线
3.作线段AB的垂直平分线MN
(1)分别以点A，B为圆心，以大于AB长为半径，在AB两侧作弧，分别交于点M和点N；
(2)过点M，N作直线MN，直线MN即为线段AB的垂直平分线
作一个角 ∠A′O′B′等于∠α
在∠α上以O为圆心，以任意长为半径作弧，交∠α的两边于点P，Q；
作射线O′A′；
以O′为圆心，OP长为半径作弧，交O′A′于点M；
以点M为圆心，PQ长为半径作弧交所作的弧于点N；
5.作直线l的垂线
过直线l上一点O作直线l的垂线MN
(1)以点O为圆心，任意长为半径向点O两侧作弧，分别交直线l于A，B两点；
(2)分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径向直线两侧作弧，两弧分别交于点M，N，过点M，N作直线MN，则直线MN即为所求垂线
过直线l外一点P作直线l的垂线PN
(1)在直线另一侧取点M；
(2)以点P为圆心，PM为半径画弧，分别交直线l于A，B两点；
(3)分别以A，B为圆心，以大于AB的长为半径画弧，交M同侧于点N；
(4)过点P，N作直线PN，则直线PN即为所求垂线
6.作圆的内接正方形
在⊙O中用直尺和圆规作两条互相垂直的直径，将⊙O四等分，从而作出正方形
作圆的内接正六边形
(1)画⊙O的任意一条直径AB
(2)以点A，B为圆心，以⊙O的半径R为半径画弧，与⊙O相交于点C，D和E，F；
(3)顺次连接点A，C，E，B，F，D即可得到正六边形ACEBFD
■易错提示
1.尺规作图的画图工具是没有刻度的直尺和圆规．
2.复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．
3.解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
■考点一　基本尺规作图及相应判断
◇典例1： （2023上·陕西西安·七年级西安建筑科技大学附属中学校考阶段练习）如图，已知平面中有、、三点，画直线，画射线，连接，下列选项中，画出的图正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了线段、射线、直线的定义，有两个端点为线段；有一个端点，另一边无限延长，为射线；两边无限延长为直线，据此即可作答．
【详解】解：依题意，平面中有、、三点，画直线，画射线，连接
所以画出的图正确的是
故选：A
◆变式训练
1．（2023上·四川遂宁·八年级四川省遂宁市第二中学校校考阶段练习）下列尺规作图的语句正确的是（ ）
A．延长射线 到 B．以点 为圆心，任意长为半径画弧
C．作直线 D．延长线段 至 ，使
【答案】B
【分析】本题主要考查了尺规作图的定义的运用，解题时注意：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图，只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题．根据线段、射线以及直线的概念，利用尺规作图的方法进行判断即可得出正确的结论．
【详解】A、射线只能反向延长，故不正确；
B、以点 为圆心，任意长为半径画弧，正确；
C、直线没有长度，故不正确；
D、延长线段 至 ，不能使 ．
故选：B
2．（2023上·贵州黔东南·七年级校考期中）下列关于作图的语句中叙述正确的是（ ）
A．画直线 B．画射线
C．已知，，三点，过这三点画一条直线 D．延长线段到点，使
【答案】D
【分析】本题主要考查几何初步中相关几何图形概念的描述是否正确的问题，直接根据定义或语句就可选出正确答案．
【详解】对于选项，画直线，直线是不可度量的，故选项不符合题意；
对于选项，画射线，射线也是不可度量的，故选项不符合题意；
对于选项，已知，，三点，过这三点画一条直线，如果这三点不在一条直线上，过这三点是画不出来直线的，故选项不符合题意；
对于选项，延长线段到点，使，这个描述是正确的，可以做到，故正确；
故选：．
■考点二　无刻度直尺作图
◇典例2：（2023上·山东聊城·七年级统考期中）下列语句准确规范的是（ ）
A．直线相交于一点
B．延长直线
C．延长线段到，使
D．反向延长射线（是端点）
【答案】C
【分析】本题主要考查几何语言的规范性．根据几何语言的规范对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：A、交点应该用大写字母，原说法错误，故本选项不符合题意；
B、直线是向两方无限延伸的，不能延长，原说法错误，故本选项不符合题意；
C、延长线段到，使，原说法正确，故本选项符合题意；
D、反向延长射线，端点是应该点，原说法错误，故本选项不符合题意；
故选：C．
◆变式训练
1．（2023上·江苏·七年级专题练习）用圆规比较两条线段和的长短（如图），下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．不确定
【答案】A
【分析】本题考查了线段的大小比较，熟练掌握尺规法比较大小的基本原理是解题的关键．根据尺规法比较线段的大小的原理，确定线段的长短即可．
【详解】解：∵点A与重合时，点在点B的右端，
∴，
故选：A．
2．（2023下·浙江·九年级阶段练习）如图，四个图形中，线段是的高的图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了三角形高线的定义，熟练掌握从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足间的线段叫做三角形的高是解题的关键．利用三角形高的定义即可求解．
【详解】解：根据三角形高的定义，可得D选项中，线段是的高,
故选：D
1．（2023·吉林松原·统考二模）如图，两地间修建弯河道与修建直的河道桥相比，增加了河道桥的长度，其中蕴含的数学道理是（ ）

A．两点之间，线段最短 B．平行于同一条直线的两条直线平行
C．垂线段最短 D．两点确定一条直线
【答案】A
【分析】把A，B两地看作两个点，再利用线段公理作答即可．
【详解】解：A，B两地间修建弯河道与修建直的河道桥相比，增加了河道桥的长度，其中蕴含的数学道理是：两点之间，线段最短．
故选：A．
【点睛】本题是线段公理的实际应用，正确理解题意、熟知两点之间，线段最短是解题关键．
2．（2021·吉林长春·统考二模）如图所示的五边形木架不具有稳定性，若要使该木架稳定，则要钉上的细木条的数量至少为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据三角形的稳定性及多边形对角线的条数即可得答案．
【详解】∵三角形具有稳定性，
∴要使五边形不变形需把它分成三角形，即过五边形的一个顶点作对角线，
∵过五边形的一个顶点可作对角线的条数为5-3=2（条），
∴要使该木架稳定，则要钉上的细木条的数量至少为2条，
故选：B．
【点睛】本题考查三角形的稳定性及多边形的对角线，熟记三角形具有稳定性是解题的关键．
3．（2023·吉林长春·统考一模）如图，利用内错角相等，两直线平行，我们可以用尺规作图的方法，过的边上一点作的平行线．有以下顺序错误的作图步骤：①作射线；②以O为圆心，以任意长为半径画圆弧，分别交、于点C、D；③以F为圆心，长为半径画圆弧，交前面的圆弧于点G；④在边上取一点E，以E为圆心，长为半径画圆弧，交于点F．这些作图步骤的正确顺序为（ ）
A．①②③④ B．③②④① C．②④③① D．④③①②
【答案】C
【分析】利用作一个角等于已知角的方法即可整理出作图步骤的顺序．
【详解】用尺规作图作一个角等于已知角的方法如下：
以O为圆心，以任意长为半径画圆弧，分别交、于点C、D；在边上取一点E，以E为圆心，长为半径画圆弧，交于点F，以F为圆心，长为半径画圆弧，交前面的圆弧于点G；作射线；则正确的作图步骤是②④③①．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的相关作图，熟练掌握作一个角等于已知角的方法是解此题的关键．
4．（2023·吉林长春·统考三模）如图，在中，，按下列方式作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点；②分别以点为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧交于点；③作射线交于点，若．则的面积为（ ）

A．7 B．8 C．14 D．16
【答案】A
【分析】过点E作于H，由图可知是的平分线，利用角平分线的性质得，再由三角形面积公式求解即可．
【详解】解：过点E作于H，如图，

由题中作图可知：是的平分线，
又∵，
∴，
∵
∴
∴
故选：A．
【点睛】本题考查尺规作角平分线，角平分线的性质，三角形面积公式．熟练掌握尺规作角平分线和角平分线的性质是解题的关键．
5．（2023·吉林长春·统考一模）某旅游景区内有一块三角形绿地，现要在道路边上建一个休息点M，使它到和两边的距离相等，下列作法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据题意可得点M在的角平分线上，即可求解．
【详解】解：∵休息点M，到和两边的距离相等，
∴点M在的角平分线上，
只有B选项符合．
故选：B
【点睛】本题主要考查了角平分线的判定，尺规作图——作已知角的平分线，根据题意得到点M在的角平分线上是解题的关键．
6．（2022·吉林长春·统考模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点B为圆心，适当长度为半径画弧，分别交AB、BC于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP交边AC于点D．若，AB＝12，则△ABD的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，根据作图得出BD平分∠ABC，由角平分线的性质得出DE=DC，即可求出△ABD的面积．
【详解】解：过点D作DE⊥AB于点E，如图所示：
根据作图可知，BD平分∠ABC，
∵∠C=90°，
∴AC⊥BC，
∵DE⊥AB，
∴DE=DC，
，
∴，
∴，
故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，解题的关键是作出辅助线，求出DE的长度．
7．（2022·吉林长春·统考中考真题）如图，在中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据尺规作图痕迹，可得DF垂直平分AB，BE是的角平分线，根据垂直平分线的性质和角平分线的定义，直角三角形两锐角互余，等边对等角的性质进行判断即可．
【详解】根据尺规作图痕迹，可得DF垂直平分AB，BE是的角平分线，
，
，
，
综上，正确的是A、C、D选项，
故选：B．
【点睛】本题考查了垂直平分线和角平分线的作图，垂直平分线的性质，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余，等边对等角的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
8．（2022·吉林长春·统考一模）如图，在中，，．用无刻度的直尺和圆规在AB边上找一点D，使，则符合要求的作图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】过点D作AB的垂线，利用同角的余角相等证明即可．
【详解】根据题意，A作图是构造等腰三角形，
不符合题意；
B是作的角的平分线，
故不符合题意；
C是过点D作AB的垂线，
∴∠A=90°-∠B，∠BCD=90°-∠B，
∴，
故C符合题意；
D作的是线段AC的垂直平分线，
故不符合题意，
故选C．
【点睛】本题考查了垂线的基本作图，余角的性质，熟练掌握作图，灵活运用互余性质是解题的关键．
9．（2021·吉林长春·统考二模）如图，在锐角三角形中，，按以下步骤作图：①以点为圆心，长为半径作圆弧，交于点；②分别以点A、为圆心，大于长为半径作圆弧，计两弧交于点；③作射线，交于点，若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据作图步骤可知BP⊥AC，根据直角三角形两锐角互余的性质即可得答案．
【详解】由作图步骤可知：BP⊥AC，
∴∠BPA=90°，
∵，
∴=90°-∠A=30°，
故选：C．
【点睛】本题考查尺规作图——作垂线，熟练掌握各基本作图的步骤是解题关键．
10．（2021·吉林长春·统考一模）如图，在中，按以下步骤作图：分别以点和为圆心，大于的边长为半径作圆弧，两弧相交于点和；作直线交于点，连结．若，则的长可能是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由基本作图得到MN垂直平分AC，则DA=DC，根据三角形三边的关系得到BC＜CD+DB，然后对各选项进行判断．
【详解】解：由作法得MN垂直平分AC，
∴DA=DC，
∴CD+BD=DA+DB=AB=5，
∵BC＜CD+DB，
∴BC＜5．
故选：D．
【点睛】本题考查了作图-基本作图－作已知线段的垂直平分线．也考查了线段垂直平分线的性质．
11．（2023·吉林·统考中考真题）如图，在中，，分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两孤交于点D，作直线交于点E．若，则的大小为 度．

【答案】55
【分析】首先根据题意得到是的角平分线，进而得到．
【详解】∵由作图可得，是的角平分线
∴．
故答案为：55．
【点睛】此题考查了作角平分线，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
12．（2023·吉林松原·校联考三模）如图，在的两边、上分别截取、，使；再分别以点M、N为圆心，以大于的长为半径作圆弧，两弧交于点E，过点E作于点C，若，则点E到直线的距离是 ．

【答案】2
【分析】直接利用角平分线的作法得出点E在的平分线上，再利用角平分线的性质即可得出答案．
【详解】解：在的两边、上分别截取、，使；再分别以点M、N为圆心，以大于的长为半径作圆弧，两弧交于点E，
点E在的平分线上，
过点E作于点C，，
点E到直线的距离是2．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了基本作图及角平分线的性质，正确得出点E在的平分线上是解题关键．
13．（2021·吉林·统考中考真题）如图，已知线段，其垂直平分线的作法如下：①分别以点和点为圆心，长为半径画弧，两弧相交于，两点；②作直线．上述作法中满足的条作为 1.（填“”，“”或“”）
【答案】＞
【分析】作图方法为：以，为圆心，大于长度画弧交于，两点，由此得出答案．
【详解】解：∵，
∴半径长度，
即．
故答案为：．
【点睛】本题考查线段的垂直平分线尺规作图法，解题关键是掌握线段垂直平分线的作图方法．
14.（21-22八年级上吉林松原期末）下面是小明同学设计的“作一个角等于已知角”的尺规作图过程 :
已知:∠C.
求作:一个角，使它等于∠C.
作法:如图:
①在∠C的两边上分别任取一点A、B;
②以点A为圆心，AC为半径画弧;以点B为圆心, BC为半径画弧;两弧交于点D ;
③连结AD、BD.
所以∠D即为所求作的角.
请根据小明设计的尺规作图过程，
(1)使用直尺和圆规，补全图形; (保留作图痕迹)
(2)完成下列证明.
证明:连结4B,
∵D4=AC , DB= ,
AB= 。
∴ΔDAB≌ΔCAB ( ) ( 填推理依据) .
∴∠C=2D.
[知识点]用SSS直接证明三角形全等,尺规作一个角等 于已知角
[答案] (1)见解析
(2)BC, AB，SSS .
[分析] (1) 利用直尺和圆规，补全图形即可;
(2)根据全等三角形的判定与性质即可完成证明.
[详解] (1) 解:使用直尺和圆规，补全图形(下图) (保留作图痕迹) .
(2)证明:连结AB,
∵DA=AC, DB= BC, AB=AB,
∴ΔDAB≌ΔCAB (SSS).
∴∠C=∠D.
故答案为: BC. AB,SSS.
[点睛]本题考查了作图-复杂作图、全等三角形的判定与性质,解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质.
1．（2023上·新疆阿勒泰·八年级校考阶段练习）用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图，则能说明 的依据是( )
A．SSS B．ASA C．SAS D．角平分线上的点到角两边距离相等
【答案】A
【分析】本题考查了作角平分线，全等三角形的性质与判定；连接，，根据证，即可推出答案．
【详解】连接，，
在和中，，
（），
．
故选：A
2．（2023上·宁夏吴忠·八年级校考期中）如图，在中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了角平分线和线段垂直平分线的尺规作图及相关性质，熟记相关作图方法是解题关键．
【详解】解：根据尺规作图痕迹可知，是线段的垂直平分线，平分，
∴，，，
故A正确；
∵，
∴，
故C正确；
∵，
∴，
∴，
故D正确；
B不一定正确
故选：B
3．（2023上·江苏宿迁·八年级统考期中）在如图的方格纸上画有2条线段，再画1条线段，使图中的3条线段组成一个轴对称图形，这样线段的添法有（ ）
A．5种 B．4种 C．3种 D．2种
【答案】B
【分析】本题考查轴对称图形：轴对称图形是指图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合．根据定义即可求解．
【详解】解：如图所示：
故选：B
4．（2024下·全国·七年级假期作业）如图，用一张边长为的正方形纸片剪成七巧板，并将七巧板拼成了一柄宝剑，其中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】略
5．（2023上·四川达州·七年级校考期中）用一个平面去截一个正方体，截面不可能是（ ）
A．三角形 B．正方形 C．七边形 D．梯形
【答案】C
【分析】本题考查了截一个几何体，正方体有六个面，用一个平面去截一个正方体最多与六个面相交，是六边形，最少与三个面相交的三角形，可得答案．熟记正方体截面的情况是解题关键．
【详解】解：用一个平面去截一个正方体，截面可能是三角形，梯形，五边形，不可能为七边形，
故选：C．
6．（2022·河北邢台·校考三模）如图，已知，，三点，画直线，画射线，连接，按照上述语句画图，下列正确的是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据直线、射线、线段的定义逐项判断即可得到答案．
【详解】解：A、直线向两个方向无限延伸，射线以点为端点向一个方向无限延伸，线段有两个端点，故A正确，符合题意；
B、把射线画成了线段，故B错误，不符合题意；
C、把直线画成了射线，射线画成了射线，线段画成了直线，故C错误，不符合题意；
D、线段画成了射线，故C错误，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了直线、射线、线段的定义，直线是向两个方向无限延伸的，没有端点，射线是向一个方向无限延伸，有一个端点，线段有两个端点，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
7．（2023上·山东潍坊·七年级校考阶段练习）如图所示，已知线段，，（），求作线段AB，使．下面利用尺规作图正确的是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据图形观察分析得出.
【详解】、错误，图中；
、错误，图中；
、错误，图中；
、正确，
故选：
【点睛】本题主要考查了尺规作图的应用，解题的关键是明确作一条线段等于已知的线段的方法.
8．（2023上·江苏·七年级专题练习）过点作的垂线，下列选项中，三角板的放法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了垂线，根据垂线的定义，即可解答．
【详解】解：过点作的垂线，下列选项中，三角板的放法正确的是
故选：C
9．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第一一三中学校校考阶段练习）下列选项中，过点画直线的垂线，三角尺的摆放方式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据画垂线的方法进行判断即可．
【详解】解：∵三角板有一个角是直角，
∴三角板的一条直角边与直线重合，
∵过点P作直线的垂线，
∴三角板的另一条直角边过点P，
∴符合上述条件的图形只有选项C．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了用三角板画垂线，解题的关键是熟练掌握用三角板画垂线的方法．
10．（2023下·山东德州·七年级校考阶段练习） 下列说法错误的是（　　）
A．对顶角相等 B．两点之间所有连线中，线段最短
C．等角的补角相等 D．过任意一点P，都能画一条直线与已知直线平行
【答案】D
【分析】根据对顶角的含义可判断A，根据两点之间，线段最短可判断B，根据等角的补角的性质可得C，根据过直线外一点画已知直线的平行线可判断D，从而可得答案．
【详解】解：A、对顶角相等，正确；
B、两点之间所有连线中，线段最短，正确；
C、等角的补角相等，正确；
D、过直线外一点P，都能画一条直线与已知直线平行，错误；
故选：D．
【点睛】本题考查的是对顶角的性质，两点之间，线段虽短，等角的补角的性质，过直线外一点画已知直线的平行线，熟记基本概念与性质是解本题的关键．
11．（2023下·河北邯郸·七年级统考期中）如图，已知一点A和直线l，现过点A作直线l的平行线，则可作平行线（ ）
A．1条 B．2条 C．0或1条 D．无数条
【答案】C
【分析】分两种情况讨论：当A在直线上时，过A不能作直线的平行线，所以为0条，当A在直线外时，根据同一平面内过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行进行求解即可．
【详解】解：当A在直线上时，过A不能作直线的平行线，所以为0条，
当A在直线外时，
同一平面内过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，
故选：C．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记同一平面内过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．
12．（2023下·北京密云·七年级统考期末）如图，三角形的边在直线上，且．将三角形沿直线向右平移得到三角形，其中点的对应点为点．若平移的距离为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据平移的性质即可求解．
【详解】解：根据题意，作图如下，
∵，向右平移距离为，点的对应点为点，
∴，
∴，
故选：．
【点睛】本题主要考查图形的变换，掌握平移的性质是解题的关键．
13．（2023下·山东济南·八年级统考期末）泉城济南，泉甲天下，将如图所示的泉城图标平移后可以得到（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据平移的概念，平移的性质即可求解．
【详解】解：由平移的概念和平移的性质可得，
、平移得到，符合题意；
、旋转得到，不符合题意；
、旋转得到，不符合题意；
、旋转得到，不符合题意；
故选：．
【点睛】本题主要考查图形的变换，掌握平移的概念，再利用图形结合平移的特点进行分析和判断是解题的关键．
14．（2023上·新疆阿勒泰·八年级校考阶段练习）下面四个图形中，线段是的高的图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据三角形的高的定义，过顶点向对边作垂线，顶点与垂足之间的线段为三角形的高，观察各选项直接选择答案即可．
【详解】解：根据三角形高线的定义，只有C选项符合．
故选C．
15．（2022下·贵州贵阳·七年级统考期中）下面四个图是小明用尺规过点作边的平行线所留下的作图痕迹，其中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据平行线的判定，结合尺规作图方法即可判断．
【详解】解：若要过点C作AB的平行线，
则应过点C作一个角等于已知角，
由作图可知，选项A符合题意，
故选A．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行线的判定．
16．（2023上·河北承德·八年级校考期末）已知线段a，c，，求作：，使，，．
以下是排乱的作图步骤：
正确作图步骤的顺序是（ ）
A．①②③④ B．①③②④ C．①③④② D．①②④③
【答案】B
【分析】本题考查了三角形的基本作图，熟练掌握作图的基本步骤是解题的关键．根据基本作图，先作射线并在射线上截取，再作，接着在上截取，最后连接即可．
【详解】解：由作图步骤：先作射线并在射线上截取，再作，接着在上截取，最后连接，
则正确作图步骤的顺序是①③②④，
故选：B．
17．（2023上·山东淄博·九年级期末）已知，用尺规作图的方法在上取一点P，使，下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线的性质等知识，利用线段的垂直平分线的性质证明即可．
【详解】解：选项B正确．理由：
连接．
由作图可知点P在的垂直平分线上，
，
．
故选：B．
18．（2023上·山东日照·八年级校考阶段练习）如图，直线与直线相交，，点在内（不在、上）．小明用下面的方法作的对称点：先以为对称轴作点关于的对称点，再以为对称轴作关于的对称点，然后再以为对称轴作关于的对称点，以为对称轴作关于的对称点，……如此继续，得到一系列、、……与P重合，则的值可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查轴对称，根据题意画出图形进而得出每对称次回到点，进而得出符合题意的答案．根据题意得出点的变化规律是解题关键．
【详解】解：如图所示：、、……，每对称次回到点，
又∵与P重合，则能被整除，
A．，故此选项符合题意；
B．，故此选项不符合题意；
C．，故此选项不符合题意；
D．，故此选项不符合题意；
故选：A．
19．（2023上·河北唐山·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，若与关于点成中心对称，则对称中心点的坐标是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了中心对称；坐标与图形性质；连接对应点、，根据对应点的连线经过对称中心，则交点就是对称中心点，在坐标系内确定出其坐标．
【详解】解：连接、，则交点就是对称中心点．

观察图形知，．
故选：C．
20．（2023·贵州遵义·统考三模）四边形是平行四边形，下列尺规作图不能得到等腰三角形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分析每个选项的尺规作图，进一步判断是否又等腰三角形即可．
【详解】A．根据作图痕迹可知，为的角平分线，故，根据平行线的性质可得，，即，故为等腰三角形，A不符合题意；
B．根据作图痕迹可知，点，在以为圆心，的长为半径的圆上，故，即为等腰三角形，B不符合题意；
C．根据作图痕迹可知，令的角平分线与交于点，如图，则，根据平行线的性质可得，，即，故为等腰三角形；根据作图痕迹可知，以点为圆心，画弧，与边交于两点，分别以该两点为圆心，画弧交于一点，连接该点与点，延长交于点，故为的角平分线，故，根据平行线的性质可得，，即，故为等腰三角形，C不符合题意；

D．作图痕迹没有依据，D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查尺规作图——角平分线，等腰三角形的性质等，解题的关键是根据做图痕迹进行判断．
21．（2023上·辽宁锦州·七年级统考期末）如图，已知线段，，射线．如果按如下步骤进行尺规作图：①在射线上顺次截取；②在射线上截取，那么的长为 ．

【答案】或
【分析】根据题意画出几何图形，然后利用两点之间的距离得到．
【详解】解：如图，当点在点的左侧，
；

当点在点的右侧，
；

综上所述，的长为或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查作图—基本作图：作一条线段等于已知线段，线段的和差，两点间的距离．根据题意画出图形是解题的关键．
22．（2021下·安徽马鞍山·七年级统考期末）如图，将长为，宽为的长方形先向右平移，再向下平移，得到长方形，则阴影部分的面积为 ．

【答案】
【分析】根据图形移动可求出，的长，根据几何图形面积的计算方法即可求解，本题主要考查图形的平移，掌握图形平移求线段长度的方法是解题的关键．
【详解】解：由题意可得，阴影部分是矩形，长，宽，
∴阴影部分的面积，
故答案为：．
23．（2023上·湖南长沙·八年级校考阶段练习）用直尺和圆规作一个角等于已知角痕迹如图所示，则作图的依据是 ．

【答案】/边边边
【分析】本题考查了全等三角形的判定定理和基本作图，熟练掌握全等三角形判定定理是解此题的关键．
从作图可知，，根据全等三角形的判定定理推出，根据全等三角形的对应角相等推出即可．
【详解】解：从作图可知，，
在和中
，
，
，
故答案为：．
24．（2023上·山东东营·八年级校考阶段练习）在平面直角坐标系中的位置如图所示，将其绕点P顺时针旋转得到，则点P的坐标是 ．
【答案】
【分析】本题考查了旋转；根据旋转的性质，对应点的连线的垂直平分线的交点即为旋转中心，据此可求解．
【详解】解：点P位置如图所示，则点P的坐标是，
故答案为：．
25．（2022上·江苏泰州·九年级统考期末）已知，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将在第一象限内按相似比2：1放大后得，若点的坐标为（2，3），则点的坐标为 ．
【答案】（4，6）
【分析】根据以原点为位似中心，将在第一象限内按相似比2：1放大后得，即可得出对应点的坐标应乘以2，即可得出点的坐标．
【详解】解：根据以原点为位似中心，将在第一象限内按相似比2：1放大后得，
∴对应点的坐标应乘以2，
∵点的坐标为（2，3），
∴点的坐标为，即（4，6）
故答案为（4，6）．
【点睛】本题主要考查了关于原点对称的位似图形的性质，得出对应点的坐标乘以k或-k是解答本题的关键．
26．（2024上·甘肃白银·七年级统考期末）请利用尺规按下列要求作图：如图，已知线段，，直线和射线相交于点（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）．
①在线段上作线段，在线段上作线段；
②在线段上作线段；
③连接．
【答案】见解析
【分析】本题考查尺规作图：
①用圆规取线段，以为圆心，线段为半径作弧，交于点，线段即为所作线段，继续用圆规取线段，以为圆心，线段为半径作弧，交于一点，以这一点为圆心，线段为半径作弧，交于，线段即为所作线段．
②用圆规取线段，以为圆心，线段为半径作弧，交于一点，以这一点为圆心，线段为半径作弧，交于，线段即为所作线段．
③按题目要求作图即可．
【详解】解：作出的图形如图所示，
27．（2023上·吉林长春·七年级统考期末）如图所示的正方形网格，小正方形的顶点称为格点，点A、、均在格点上，只用无刻度的直尺在给定的网格中按要求画图，不要求写作法．
(1)画射线．
(2)过点画的平行线，点在格点上．
(3)在射线上取一点，画线段，使其长度表示点到的距离．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题主要考查了射线、直线、线段作图，作平行线，点到直线的距离，解题的关键是熟练掌握线段、射线、直线的定义，点到直线的距离．
（1）根据线段的定义作图即可；
（2）根据格点特点画平行线即可；
（3）根据格点特点，过点B作的垂线即可．
【详解】（1）解：如图，射线即为所求；
（2）解：如图，直线即为所求；
（3）解：如图，线段即为所求．
28．（2023上·江苏南京·八年级校考阶段练习）（1）已知：如图1，和相交于点．证明：．
（2）由第（1）题，你能想到不同于图2中用直尺和圆规作角平分线的方法吗？试在图3中，用直尺和圆规作出的平分线．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析
【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，尺规作角平分线，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，，，，，．
（1）证明，得出，证明，得出；
（2）以点O为圆心，任意长为半径画弧，交、于点A、B，再以不同于的长为半径画弧，交、于点C、D，连接、，交于点P，连接即可．
【详解】（1）证明：在和中，
，
，
，
，
即，
在和中
，
，
；
（2）解：如图所示，即为所求．
根据解析（1）可知，，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴平分．
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