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第一章知识结构图
基本概念与运算
( 随机试验,事件,样本空间 )
频率与概率
统计定义
古典定义
公理化定义
条件概率
全概率公式与贝叶斯公式
独立性
一．古典型随机试验（等可能试验 )
一般, 如果随机试验 E 具有：
(1) 有限性：
则称随机试验 E为古典型随机试验，也称等可能试验.
(2) 等可能性：
的可能性相同.
第三节 古典概型（等可能概型）
它的样本空间的元素只有有限个.
在每次试验中, 每个基本事件发生
一个袋子中装有10个大小、形状完全相同的球. 将球编号为1－10 。把球搅匀，蒙上眼睛，从中任取一球.
因为抽取时这些球是完全平等的，
1
3
2
5
6
7
8
9
10
4
10个球中的任一个被取出的机会都是1/10
所以称这类概率模型为古典概型.
2
3
4
7
9
10
8
6
1
5
示例
即, 10个球中的任一个被
取出的机会是相等的，
故没有理由认为10个球中的某一
个会比另一个更容易取得 .
均为1/10.
在此示例中,
若记 A={ 摸到2号球 }
若记 B={ 摸到红球 }
2
2
3
4
7
9
10
8
6
1
5
1
3
2
4
5
6
P(A)= 1/10
显然：
则
P(B)=
P(B)= 6/10
显然：
P(A)=
则
这里实际上是从“比例”
转化为“概率”
静态
动态
当要求“摸到红球”的概率时，
实际上只要找出它在静态时
相应的比例.
二．古典概型中事件概率的计算公式
设 E 是古典随机试验，S 是它的样本空间，
若事件A包含 k 个基本事件
即
则称
为事件 A 的概率。
概率的古典定义
定义：
A包含的基本事件总数
S包含的基本事件总数
证明:
由已知，
在试验中每个基本事件发生的可能
性是相同的，
即有：
又由于基本事件是两两互不相容的，
于是：
而
又由已知，
在古典概型的计算中排列组合是必备的基础
注
则有：
A包含的基本事件总数
S包含的基本事件总数
▲
此公式是法国数学家 Laplace于1812年提出的.
▲
知识.
设有30件产品其中有 4 件是次品，现从中任取 3件.
解：
设 A：任取 3 件恰有两件是次品
恰有 2 件次品应从次品中取，剩下的另一件
正品应从 26 件正品中取到。
无论取出的是否是次品，它总是从 30 件
从而：
例 1．
求：(1) 恰有 2 件次品的概率;
(2) 至少有一件次品的概率.
(1)．
故它的样本空间总数是：
产品中取 3件，
故有：
设 B: 任取 3 件至少有一件次品
次品至少有一件指的是1件，2件，3件次品共三种情况，故有：
从而:
(2)
至少有一件
次品的概率.
30件产品
4 件次品
有 十个数字，现从中任取
求： 能排成一个六位数是 偶数 的概率.
由题意可知：它的样本空间元素是有限个，
并且每个基本事件发生的可能性也是相同的。
不论取出的 六个数是否能排成偶数，它总是从十个数中取出六个数，
设事件A： “排成的六位数是偶数”
解:
(排列数)
例2.
故样本空间的总数应是：
六个不同的数.
要排成 偶数
要成为 六位数，
(1)．若首位取 1, 3, 5, 7 , 9 则有:
(2)．若首位数 2, 4, 6, 8 则有:
综合(1),(2)可得:
从而:
要排成无重复数字的六位偶数，则首位与末位
有两种情况:
则第六位只能是 0, 2, 4, 6, 8；
第一位只能取 1, 3, 5, 7, 9 或 2, 4, 6, 8；
则第一位不能是 0，
设 A：电话号码由五个不同数字组成
= 0.3024
允许重复的排列
思考：
错在何处？
某公司的内部的电话号码由5个数字组成，每个
数字可能是从 0-9 这十个数字中的任一个。
计算样本空间样本点总数和所求
事件所含样本点数计数方法不同
从10个不同数字中
取5个的排列
则：
例3
求：电话号码由五个不同数字组成 的概率。
解：
？
盒中有 6 张面值相同的债券,其中有两张中奖债券，
现从中任取两次，每次取一张，考虑两种取法:
例 4.
(1). 有放回地取：
(2). 无放回地取：
第一次取出观察后放回盒中混
合均匀后再取第二次.
第一次取出后不放回盒中,
第
二次从剩余的债券中再取一张 .
求：分别就两种抽样方式求取到的两张都是中奖
债券的概率？
放回抽样
不放回抽样
显然，本题属古典概型。
(1). 有放回地抽取
第一次从盒中取，不论是否是中奖券，总是从 6 张中取一张，第二次再从盒中取，仍是有 6 张券可供抽取，故有：
中奖券有 2 张，第一次取有 2 张可供抽取,
第二次取仍有 2 张可供抽取，故有：
从而:
解：
设A：取到的两张都是中奖券
（2). 不放回地抽取
从而:
▲ 若在此例中若将取法改为 “一次抽取两张” ，
其它条件不变则有:
“不放回地抽取两次，每次取一张” 相当于
“一次抽取两张”。
注
▲
故在许多问题中如果不是有放回地抽样,就统称为“任意取出”多少个。
某接待站在某一周曾接待过 12 次来访，已知这12次接待都是在周二和周四进行的。
问：是否可以推断接待时间是有规定的 ？
假设接待站的接待时间没有规定，而各来
访者在一周的任一天去接待站是等可能的.
设 A：12 次接待来访者都在周二和周四
一周共有7天，
例5.
解：
故有：
12次来访者均可在七天中任
一天都可去接待站 ,
相当于从七天中要接
待 12 次且可以 重复日期，
从而：
由“实际推断原理”：
“假设接待站接待时间是没有规定”
这一说法是不正确的。
因为12次接待来访者只能放在周二和周四
接待站 的接待时间是有规定的，
而不是每天都接待的。
（千万分之三）
可推断到：
因为千万分之三的小概率事件竟然
在假设条件下发生了。
注
故得出：
概率很小的事件在一次试验
中实际上几乎是不发生的。
两天之中，故有：
有 r 个人，设每个人的生日是 365 天的任何
一天是等可能的。
为求 P( A )， 先求
解：
A = { 至少有两人同生日 }
={ r 个人的生日都不同}
则
则有:
例6
试求：事件 “至少有两人同生日” 的概率。
由题意：
令
用上面 例6 的公式可以计算此事出现的概率为：
美国数学家伯格米尼曾经做过一个别开生面的实验，在一个盛况空前、人山人海的世界杯足球赛赛场上，他随机地在某号看台上召唤了22个球迷，请他们分别写下自己的生日，结果竟发现其中有两人同生日。
22个球迷中至少有两人
同生日的概率为0.476.
这个概率不算小，但它的出现不值得奇怪. 计算后发现，这个概率随着球迷人数的增加而迅速地增加，如下页表所示：
所有这些概率都是在假定一个人的生日在 365天的任何一天是等可能的前提下计算出来的。
据不完全统计,有关的实际概率比表中给出的还要大 。
一般当人数超过23时，可以说至少有两人同生日是可靠的。
统计表
人数 至少有两人同
生日的概率
20 0.411
21 0.444
22 0.476
23 0.507
24 0.538
30 0.706
40 0.891
50 0.970
60 0.994
设 Ai = { 第 i 封信装入第 i 个信封 }
i =1, 2, 3
A = { 没有一封信装对地址 }
某人将三封写好的信随机装入三个
写好地址的信封中。
直接计算P(A)不易, 则可先来计算
例7
配
对
问
题
则：
= { 至少有一封信装对地址 }
解：
因为：
问：没有一封信装对地址的概率是多少？
代入计算 的公式中：
应用加法公式
{ 第 i 封信装入
第 i 个信封 }
于是得：
推广到 n 封信，用类似的方法
可得:
把 n 封信随机地装入 n 个写好地
址的信封中, 没有一封信配对的
概率为:
“等可能性”是一种假设，在实际应用中, 应该根据实际情况去判断是否可以认为各基本事件或样本点
是等可能的。
1、在应用古典概型时必须注意“等可能性”的条件.
归 纳
在许多场合，由对称性和均衡性，一般就可以认为基本事件是等可能的，并在此基础上计算事件的概率。
2、在用排列组合公式计算古典概率时，必须注意
不要重复计数，也不要遗漏.
例如：从 5 双不同的鞋子中任取 4 只，这 4 只鞋子
中“至少有两只配成一双”（事件A）的概
率是多少？
下面的算法错在哪里？
错在同样的“ 4 只配
成两双”算了两次.
9
7
3
2
1
4
5
6
8
10
从 5 双中取 1 双，从剩
下的 8 只中取 2 只
例如： 从 5 双不同的鞋子中任取 4 只，这 4 只鞋
中“至少有两只配成一双”（事件A）的
概率是多少？
正确的答案是：
请思考：
还有其它解法吗？

3、许多表面上提法不同的问题实质上属于同一类型
（1）有 n 个人，每个人都以相同的概率 1/N (N≥n)
被分在 N 间房的每一间中.
求: 指定的 n 间房中各有一人的概率.
人
房
（2）有 n 个人，设每个人的生日是任一天的概率为
为 1/365。
求: 这 n ( n ≤365 )个人的生日互不相同的概率
人
任一天
（3）某城市每周发生 7 次车祸，假设每天发生车祸
的概率相同。
求: 每天恰好发生一次车祸的概率.
车祸
天
你还可以举出其它例子，留作课下练习.

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