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第一章知识结构图
基本概念与运算
( 随机试验,事件,样本空间 )
频率与概率
统计定义
古典定义
公理化定义
条件概率
全概率公式与贝叶斯公式
独立性
一．条 件 概 率
某一非典疫情地区有一万人，某一阶段发现有100人为疑似病人,有10人为非典病人, 其中 5人为由疑似病人转为非典病人。
第四节 条 件 概 率
引例．
解:
设 事件A:
事件B:
则此时
显然：
这是没有附加条件的概率
（千分之一）
(1) 若求 P(A),
求: 该地区由疑似病人转为非典病人的概率.
{非典病人}，
{疑似病人}
（无条件概率）
（2）该地区由疑似病人转为非典病人的概率为：
这是求附加了条件“疑似病人”后的概率，
则此时不妨设 S ={1,2,…..,100}，
由题意可得：
这是附加了条件 B 的概率
此题的结论：
该地区由疑似病人转为非典病人的概率为5%，要比没有附加条件“疑似病人”时的概率大50倍。
（有条件概率）
某一非典疫情地区有一万人，某一阶段发现有
100人为疑似病人,有10人为非典病人, 其中 5人
为由疑似病人转为非典病人。
A: 非典病人 B: 疑似病人
提出三个问题：
对于一般具有附加条件的概率问题是否也一定具有引例中的表达形式 ？
由条件概率的概念是否可以得出两个事件乘积的概率？
无条件概率 P(A)、条件概率 与乘积概率 P(AB)的区别是什么？
设A, B是两个事件，
条件概率符合概率定义中的三条公理：
★ 对每个事件B,有:
★
▲ 类似可以定义:
非负性
规范性
可列可加性
1.定义：
注
其中
则称
B 发生的条件下事件 A 发生的
条件概率 .
▲
★ 设
是两两互不相容的事件,
则有
为在事件
记为
2．性质
在第三节中概率的性质1至性质5对条件概率都成立
3. 条件概率的计算
（1) 用定义计算:
P(B)>0
常用的有：
（2) 在缩减的样本空间中计算:
掷骰子
A={掷出2点}，
B={掷出偶数点}
则:
B发生后的缩减
样本空间所含样
本点总数
在缩减
样本空
间中A
所含样
本点个
数
例如
求：
------36种
------ 3种
依题意,
------ 15种
掷两颗骰子,观察出现的点数,
分别表示第一颗,第二颗骰子的点数,
例1．
解：
设
且设:
样本空间为：
在样本空间S中计算P(B),P(AB)
然后依 公式计算
从而:
方法1:
掷两颗骰子，观察出现的点数，设 分别表示第
一颗、第二颗骰子的点数，且设：
样本空间S有36
个基本事件;
A中有3个基本
事件; B中有15
个基本事件
方法2: 在缩减的样本空间
和 中计算
由条件概率的定义：
二. 乘法原理
若已知 P(B),P(A|B)时,可以反求P(AB).
设 P(B)> 0 或 P(A)> 0，则:
乘法原理可推广到多个事件的积事件的情形：
其中: P(AB) > 0
即有：
定理1：
注
设某种动物由出生算起活到20年以上的概率
为0.8，活到25年以上的概率为0.4.
设 A={能活20年以上}，
依题意:
则所求为 P(B|A) .
活到
20年
以上
活到
25年
以上
B
A
例2
解：
现年20岁的这种动物，它能活到25岁以上
的概率是多少？
问：
P(A) = 0.8, P(B) = 0.4
B={能活25年以上}
无条件概率 P(A)、条件概率 P(A|B)
及 P(AB) 的区别
归 纳
　每一个随机试验都是在一定条件下进行的，
若设其样本空间为 S
★
一个罐子中包含b个白球和 r 个
红球. 随机地抽取一个球观看颜色后放回罐中，并且再加进 c 个与所抽出的球具有相同颜色的球. 这种手续进行四次。
波里亚罐子模型
b个白球, r 个红球
随机取一个球，观
看颜色后放回罐中，
并且再加进C 个与
所抽出的球具有相
同颜色的球.
设 Wi ={第 i 次取出是白球}, 　　
Rj ={第 j 次取出是红球}，
第一、二次取到白球且
第三、四次取到红球的概率
且
解:
例3
试求：
i = 1, 2, 3, 4
j = 1, 2, 3, 4
用乘法公式容易求出：
= P(W1)P(W2|W1)P(R3|W1W2)P(R4|W1W2 R3)
P(W1W2 R3 R4 )
W1W2 R3 R4 表示事件：
于是：
连续取四个球,第一、第二个
是白球，第三、四个是红球.
b个白球, r 个红球
按照模型的要求，当每一次抽取后，这时与
取出的球有相同颜色的球的数目得到增加，而
与取出的球的颜色不同的球的数目保持不变。
从效果上看，每一次取出的球是什么颜色就
会增加了下一次也取到这种颜色球的概率。
波里亚罐子模型的意义：
因此，从中得到了一个如同传染病现象的粗
糙的数学模型。其中，每一次传染后都会增加了再被传染的概率。
一场精彩的足球赛将要举行，5个球迷好不容
易才搞到一张入场券。大家都想去，只好用抽
签的方法来解决。　　　
入场
券
5张同样的卡片只有一张上写有“入场券”，其余的什么也没写。现将它们放在一起洗匀,让5个人依次抽取
例4.
问：后抽的人一定比先抽的人吃亏吗
到底谁说的对呢？请用已学的条件概率、乘法定理来计算一下,每个人抽到“入场券”的概率到底有多大
“大家不必争先恐后，你们一个
一个按次序来，谁抽到 ‘入场券’
的机会都一样大”。
“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大”
设：Ai 表示“第 i 个人抽到入场券”，i＝1,2,3,4,5
第1个人抽到入场券的概率是 1/5
由此得出：
“第 i 个人未抽到入场券”
因为若第2个人
抽到了入场券，
则第1个人肯定
没抽到。
由于：
所以由乘法公式 ：
计算得:
第2个人抽到入场券的概率也是1/5.
即：
则：
表示
显然：
有关抽签顺序问题的正确解答：
第3个人要抽到“入场券”，必须
第1、第2个人都没有抽到.
继续做下去就会发现, 每个人抽
到“入场券” 的概率都是 1/5
抽签不必争先恐后.
由乘法
公式
同理，
因此：
箱子中装有10瓶形状相同的名酒,其中部优
名酒7瓶,国优名酒3瓶,今有三个人从箱子中
随机地取出一些酒来,每人只拿2瓶．
恰好第一个人拿到两瓶部优名酒，同时第二
个人拿到部优、国优名酒各一瓶，第三个人
拿到两瓶国优名酒的可能性有多大
设
例5．
解：
{ 第一个拿到两瓶部优名酒 }
{ 第二个拿到部优、国优名酒各一瓶}
{ 第三个拿到两瓶国优名酒 }
问：
显然, 所求事件的概率为：
故得：
而：
10瓶名酒，其中
部优7瓶，国优3
瓶，第一人拿到
两瓶优名酒同时
第二人拿到部优、
国优名酒各一瓶，
第三个拿到两瓶
国优名酒。
设某光学仪器厂制造的透镜,第一次落下时打破的概率为 ，若第一次落下时未打破，第二次落下破的概率为 ,若前两次落下未打破，第三次打破的概率为
试求：透镜落下三次未打破的概率。
解法1.
因为：
所以有：
例6．
解：
设
“透镜第 i 次落下打破”,
“透镜落下三次而未打破”.
解法2.
及
与
而
是两两互斥的事件，
故有：
全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较复杂事件的概率,它们实质上是加法公式和乘法公式的综合运用.
综合运用
乘法公式
P(AB)= P(A)P(B|A)
P(A)>0
三. 全概率公式和贝叶斯公式
加法公式
P(A+B)= P(A)+P(B)
A、B互斥
　　　
有三个箱子分别编号为1,2,3，1号箱装有1个红
球4个白球，2号箱装有2红3白球，3号箱装有3红
球.某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球
记 Ai={球取自i号箱},
i =1,2,3
B={取得红球}
且: A1B、A2B、A3B 两两互斥
B发生总是伴随着A1, A2, A3 之一同时发生
运用加法公式
1
2
3
引例
注意到：
求: 取得红球的概率.
解：
即：
将此引例中所用的方法推广到一般的情形
就得到在概率计算中常用的 全概率公式.
对求和中的每一项
运用乘法公式得
代入数据计算得：
S 的一个划分一要互斥，
二要充满整个样本空间.
1．样本空间的划分
设 S 为试验 E 的样本空间，
为 E 的一组事件, 若：
则称 是样本空间 S 的一个划分,
定义：
注
或称 是一个互斥事件完备组。
E的一组事件
是 S 的一个划分或 构成了互斥事件完备组
E的另一组事件
就不是 S 的一个划分，或 构不成一个互斥事件完备组。
对“掷一颗骰子观察其点数”这一试验，其：
比如：
则：
为S的一个划分，且
称为全概率公式
2. 全概率公式
定理2
设试验E的样本空间为S, A为E的事件，
证明：
图示
化整为零
各个击破
全概率公式关键抓住寻找 S 的一个划分或
注
▲
出现只能与 中之一同时出现。
这里事件
寻找一个互斥事件完备组。
是导致事件A发生的一组原因，
全概率公式一般用于“用条件概率求非条件概
率”的问题。
▲
而事件 A 的
▲
全概率公式：
从另一个角度去理解
某一事件A的发生有各种可能的原因，
则A 发生的概率是：
如果A由
原因
引起，
即 P(A)不易求, 但却很容易找到
S 的一个划分时用全概率公式比较方便。
每一原因都可能导致 A 发生，故 A
发生的概率是各原因引起 A发生概率
的总和，即为 全概率公式.
设甲袋中有3个白球,5个红球,乙袋中有4个
白球,6个红球,现从甲袋中任取一个球放入
乙袋中,再从乙袋中任取一球。
求：从乙袋中取得白球的概率。
设 A：从乙袋中取得白球
取球只有两种情况，要么白球要么红球
所以设：
例7．
甲:
乙:
解：
因为:
从甲袋中任取一球是白球
从甲袋中任取一球是红球
显然：
且四条流水线生产产品的次品率
求：从出厂的这种产品中任取一件恰是次品的概率
甲:
构成一个互斥事件完备组
乙:
例8.
某工厂有四条流水线生产同一种产品, 四条流
0.01, 0.02, 0.03, 0.025,
水线的产量分别占该产品总产量的
分别是:
因为抽出的产品只能出自这四条流水线，
从而：
解：
取出的一件是次品
取出的一件次品恰出自第
条流水线
显然:
四条流水线产量(率): 15%, 20%, 25%, 40%
四条流水线次品(率): 0.01, 0.02, 0.03, 0.025
故设：
甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击, 三人击
中的概率分别为0.4、0.5、0.7. 飞 机被一人
击中而击落的概率为0.2,被两人击中而击落的
概率为0.6, 若三人都击中, 飞机必定被击落。
设 B ={飞机被击落}
Ai={飞机被i人击中},
解:
为求P(Ai ),
例9.
设 Hi={飞机被第i人击中}, i=1,2,3
由全概率公式：
求:飞机被击落的概率.
则
i=0,1,2,3
依题意，
P(B|A1)=0.2, P(B|A2)=0.6,
P(B|A3)=1
可求得:
= 0.458
= 0.36×0.2 +0.41×0.6 +0.14×1
飞机被击落的概率为0.458
将数据代入计算得:
于是：
该球取自哪号箱
的可能性最大
实际中还有下面一类问题：
这一类问题在实际中更为常见，它所求的
是条件概率，是已知某结果发生条件下，
求各原因发生可能性大小.
某人从任一箱中任意摸
出一球，发现是红球。
1
2
3
1红4白
或者问:
“已知结果求原因”
求：该球是取自1号箱的概率
引例
有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装有1个红球4个白球，2号箱装有2个红球3个白球，3号箱装有3个红球. 某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，发现是红球。
1
2
3
1红4白

求：该球是取自1号箱的概率
引例
某人从任一箱中任意摸出
一球，发现是红球，求该
球是取自1号箱的概率.
记 Ai={球取自i 号箱},
i=1,2,3;
B ={取得红球}
求: P(A1|B)
运用全概率公式
计算P(B)
将这里得到的公式一般化，就得到：
贝叶斯公式
1
2
3
1红4白

3．贝叶斯公式
设试验E的样本空间为S, A为E的事件,
称为贝叶斯( Bayes )公式
证明：略.
贝叶斯公式与全概率公式一样都是加法公式和乘法公式的综合运用, 值得一提的是，后来的学者依据 贝叶斯公式的思想发展了一整套统计推断的方法，称作为：“贝叶斯统计”
定理3．
则:
是S的一个划分,且
( 逆概公式 )
▲ 贝叶斯公式
在贝叶斯公式中，P( Ai ) 和 P(Ai |B)分别称为原因的先验概率和后验概率.
P ( Ai ) 是在没有进一步信息（不知道事件B是否发生）的情况下，人们对诸事件发生可能性大小的认识。
贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化
▲ 贝叶斯公式适用于“用条件概率求条件概率”
当有了新的信息（知道B发生）,人们对诸事件.
发生可能性大小 P( Ai | B)有了新的估计.
注
在例8中已知任取一件产品是次品
问：此次品出自哪条的流水线的可能性大
解：
出自第四条流水线可能性大
例10．
例8. 某工厂有四条流水线生产同一种产品, 四条流
水线的产量分别占该产品总产量的
且四条流水线生产
产品的次品率分别是 0.01, 0.02, 0.03, 0.025,
求：从出厂的这种产品中任取一件恰是次品的概率
15%, 20%, 25%, 40%
四条流水线产量(率): 15%, 20%, 25%, 40%
四条流水线次品(率): 0.01, 0.02, 0.03, 0.025
某一地区患有癌症的人占0.005，患者对一种
试验反应为阳性的概率为0.95，正常人对这种
试验反应为阳性的概率为0.04，现随机的抽查了一个人，试验反应是阳性。
则 表示“抽查的人不患有癌症”
已知: P( C )=0.005，P ( ) =0.995,
P( A|C )=0.95，P (A | ) =0.04
解:
设 C = { 抽查的人患有癌症 }，
A = { 试验结果是阳性 }，
此例即为求 P(C|A)
例11.
问：此人是癌症患者的概率有多大
提出两个问题：
由贝叶斯公式，可得:
P ( C｜A ) = 0.1066
2.检出阳性是否一定患有癌症
1.这种试验对于诊断一个人是
否患有癌症 有无意义？
代入数据计算得：
如果不做试验，随机抽查一人,他是患者的概率：
患者阳性反应的概率是 0.95，若试验后得阳性反应，则根据试验得来的信息，此人是患者的概率为:
这说明：这种试验对于诊断一个人
是否患有癌症是有意义的
★ 从0.005 增加到0.1066，将近增加约 21 倍。
这种试验对于诊断一个人是否患有
癌症有无意义？
P(C｜A) = 0.1066
P( C ) = 0.005
分析问题1.
检出阳性是否一定患有癌症
试验结果为阳性,此人确患癌症的概率为:
可见: 即使一个人检验出阳性，尚可不必过早下
结论此人确患有癌症，因为这种可能性只
有 10.66% (平均来说,1000个人中大约只
有107人确患癌症 ),此时医生常要通过再
试验来确认。
分析问题2.
P ( C｜A ) = 0.1066
波里亚（1887.12.13—1985.9.7)
匈牙利—美国数学家。生于匈牙利，1940年入美国籍，自1946年起任斯坦福大学教授。
波里亚在许多数学领域都有很精深的研究，特别是在概率论、
复变函数论、组合数学等方面。他对概率论最重要的贡献是
在1921年发表的有关随机游动的论文，首创了“随机游动”这
一术语，证明了一个引人注目的定理。
此外，波里亚在等周问题、几何学与数论等方面也都有所建
树。他还是数学方法论专家和优秀的教育家，他始终把高深
的数学研究与数学的普及教育结合起来。
波里亚共发表了200多种研究论文和专著，其中最著名的有
<分析的原理与习题>，<数学与猜想>，<数学的发现> 等.
他的许多著作被译成世界上多种文字。

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