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第二章知识结构图
随机变量
分布律
分布
函数
函数的
分布
概率
密度
离散型随
机变量
分布
函数
函数的
分布
连续型随
机变量
定义
常用分布
定义
常用分布
问题的提出
在很多实际问题中，需要研究随机变量间存在的函数关系，也就是研究他们在概率分布上的关系.
已知圆轴截面直径 d 的分布，
求截面面积 A=
的分布.
第五节 随机变量函数的分布
例如：
已知 t = t0 时刻噪声电压 V 的分布
求功率 W=V2/R (R为电阻)的分布等.
研究问题:
已知随机变量 X 及它的分布，
要求
这个随机变量的分布.
随机变量 X 是基本事件的函数，那么随
机变量 X 的函数 Y 实际上是基本事件的
复合函数 .
又例如：
从函数角度看
一. 随机变量函数的定义
本节的任务:
根据X的分布求出Y的分布,
或由
的分布，
的分布.
这个问题无论在实践中还是在理论上都是重要的
定义:
设 是定义在随机变量 X 的一切可能取值
有另一个随机变量 的相应取值
值
则称
为 的函数，
如果对于 X 的每一个可能取
的集合上的函数，
记为
求出
二. 离散型随机变量的函数的分布
例1.
已知 X 的概率分布为:
分布律
的概率分布(分布律).
若 X 是离散型随机变量，
求:
则 也是一个
离散型随机变量，
且 g (X)的分布可由 X 的分布
直接求出.
解:
并且:
从而得 的分布律为:
例2.
已知 X 的概率分布为:
求: 的概率分布(分布律)
解:
并且
中有相等的概率，
所以得
分布律为：
但注意到
概率的加法定理可将其对应的概率相加：
则根据
如果 g( xk ) 中有一些是相同
时，则需将它们作适当并项
一般，若X 是离散型 随机变量，X 的概率函数为
归 纳
则
的概率函数为：
注意：
解:
(1) 为求 Y 的概率密度, 先求出 Y 的分布函数.
这是关键一步
三. 连续型随机变量的函数的分布
例3.
设 X 服从区间 ( 0, 2 ) 上的均匀分布.
求：
的概率密度
的取值在
内
的取值在
内
服从
上的均匀分布
方法一: 分布函数法
从而当
时有:
当
时有:
当
时有:
于是求得其分布函数为:
(2) 又因为密度函数是分布函数的导函数，
现若设连续型随机变量X的密度函数为
(3)
则
的分布函数为:
对
故将
求导即得
的概率密度为：
从上述例子中可以看到，
用 代替 { X 2 ≤ y }
这样做是为了利用已知的 X 的分布，从而求出相应的概
率。 这是求随机函数函数的分布的一种常用方法
例如：
将　　 对　　　　　　
求导数,
得
注
在求 P(Y≤y) 的过程
中关键的一步是:
设法从{ g(X) ≤ y }中解出X，
从而得到与 {g(X) ≤ y } 等价的 X 的不等式 .
分布函数法
定理:
设随机变量 X 具有概率密度
严格单调可微的函数
则 Y= g(X) 是连续型随机变量，
且有：
其中:
的反函数
又设函数 处处可导，
其概率密度为:
方法二: 公式法
[证]:
它的反函数
且在
严格单调递增，可导。
在
此时
严格单调
递增，
设
先求
的分布函数
当 时
时
则同理可得：
写出反函数
再求
的概率密度
将
关于
求导数即得
的概率密度为：
分布函数定义
综合以上两式得 的概率密度为：
▲
若在 X 的可能取值范围内， y=g(x) 是分段严格
则应用定理求出 y 在各单调区间上
的密度函数，
再把各个结果相加，就得到
注
单调的函数，
例如：
的严格单调区间为：
与
则可先由定理求出 y 在各单调区间上的密度函数各为:
与
然后将它们相加后即为所求的
的密度函数。
▲
若 在有限区间 以外的值等于零。
则定理的条件只需假设在
上恒有：
或
并且有：
若 y=g(x) 在 x 取值范围内不单调，则此定理不
如果分布函数在相邻区间的交界点上不可微，
，
▲
但对连续型随机变量而言，对积分区间是否
包含端点未作严格区分。
此时可通过先求 y=g(x) 的分布函数
能直接应用，
然后对分布函数求导数得 y=g(x) 的密度函数。
则求导得到的密度函数在交界点上没有意义，
此时相应的积分区间应为开区间。
例4.
设随机变量
求：Y= a+bX 的概率密度
解：
所以由定理可知 Y= a+bX 的概率密度为：
又
且
结论：正态分布的线性函数仍服从正态分布。
特别：
得到：
当
时
设随机变量 X 在 (0, 1)上服从均匀分布
解：
因为在区间 (0, 1)上，函数 lnx < 0
故:
于是 y 在区间 (0, 1)上单调下降，且有反函数
由前述定理得:
注意取
绝对值
例5.
求: 的概率密度.
已知 X 在 (0,1)上服从均匀分布，所以有：
代入 的表达式中：
得：
即Y 服从参数为
1/2的指数分布.
设随机变量X的概率密度为：
求：Y = sinX 的概率密度.
当
时
故：
注意到：
例6.
解：
当
时有：
时有：
当
时,
当
而：
对 求导得Y = sinX 的概率密度为:
已知随机变量 X 的分布函数 F(x) 是严格单调递增的连续函数。
又由于 X 的分布函数 F(x)是严格递增的连续函数,
设 Y 的分布函数为 G ( y )
于是：
当 y > 1 时 G (y) = 1;
当 y < 0 时 G (y) = 0;
由于：
例7.
证明：Y = F (X) 服从 [0, 1] 上的均匀分布
证明:
其反函数 存在且严格递增.
所以：
当 0≤y≤1 时,
G(y)=P(Y≤ y)
=P(F(x) ≤ y)
=P(X ≤ (y))
=F( (y))= y
即Y 的分布函数是：
可见, Y 服从[ 0，1 ]上的均匀分布.
本例的结论在计算机模拟中有重要的应用.
对 求导得 Y 的密度函数为:
注

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