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第三章知识结构图
多维随机变量
联合
分布律
联合分布函数
函数 的分
布
联合概率密度
二维离散型
随机变量
联合分布函数
函数
的分
布
二维连续型
随机变量
定义
常用分布
定义
常用分布
第三章 多维随机变量及其分布
1.一维随机变量和分布
函数的概念
2.一维离散型随机变量
及其分布律
4. 随机变量函数的分布
第二章中
讨论的问题
本章将给出二维随机变量、联合分布率、联合概率密度和二维联合分布函数的概念
3.一维连续型随机变量
及其 概率密度
一. 二维随机变量及分布函数的概念
1. 定义1
是定义在 S上的随机变量,
由它们构成的向量
称为二维随机变量
或二维随机向量.
均要求定义在同一个样本空间S上.
第一节 二维随 机 变 量
▲
▲
的性质不仅与 X及 Y有关，
还依赖于这两个随机变量的相互关系.
设 是随机试验 E 的样本空间 ,
注
而且
的几何解释:
或:
e
给出
平面上的一个随机点(随机向量)
▲
定义2
(二维随机变量的分布函数)
称为二维随机变量 ( X, Y ) 的分布函数 ,
或称为( X, Y ) 的联合分布函数.
对于任意的实数
设 是二维
的联合分布函数的几何意义:
▲
若将
看成是平面上随机点的坐标
随机机变量，
二元函数
注
则 在 处的函数值 随机点
落在以 为顶点而位于该点左下方的无穷
矩形内的概率.
的概率为:
落在矩形区域:
▲
如图:
2. 二维随机变量分布函数 F(x,y) 的性质
性质1
F(x,y) 分别对 x 和 y 单调非减, 即:
对固定的y,
X是非减的
对固定的x,
y是非减的
性质2
F(x,y) 对每个自变量 x 或 y 是右连续的，
即:
性质3
随机点落在这三种情形所示的矩形内是不可能事件，故概率趋向于零
随机点落在这种情况所示的矩形内是必然事件，故概率趋于1
性质4
当
时，有：
性质4 说明：
不等式左边恰好是（X,Y）落在矩形ABCD内的概率，而概率具有非负性，故得此不式。
性质1～性质3 同一维随机变量分布函数的性质。性质4不同于一维随机变量的分布函数。
若性质1～性质3均满足，但性质4不满足，则不能称其为联合分布函数。
比如:
注
现找 4 个点如下：
这说明 F(x,y) 不是二维随机变量的联合分布函数，仅仅是一个二元函数.
比如：
对这二元函数来验证第4条性质。
即第 4 条性质不满足
二. 二维离散型随机变量及其分布
1. 二维离散型随机变量的定义
如果随机变量 X,Y 的取值 ( x, y )只能是有限
2. 二维离散型随机变量的分布律
设二维离散型随机变量(X,Y)的所有可能取的值为
为二维离散型随机变量(X,Y)的概率分布或分布律，或称为联合分布律.
则其相应的概率
则称(X,Y)为二维离散型随
对或可列无限对，
机变量.
同一维随机变量(离散型)类似，一般可用
X
Y
▲
下列表格形式表示：
注
例1.
求: (X,Y) 的分布律
当
不能被
整除时： 随机变量
当
能被
整除时： 随机变量
当
能被
整除时： 随机变量
从
数中任取一个数
(同一 维情形）二维离散型随
机变量的联合分布律具有两
条性质
▲
当
不能被
整除时：随机变量
0
X
=
1,5,7,11,13,17,19这7个数不能被2,3整除
3,9,15,21这4个数不能被2整除,但能被3整除
2,4,8,10,14,16,20这7个数不能被3整除,但能被2整除
6,12,18这3个数能被2整除,又能被3整除
不难验证:
由题意可 知：X取值为0, 1 ； Y的取值为 0, 1
解:
不能被2,3整除
不能被2整除,但能被3整除
不能被3整除,但能被2 整除
能被2整除,又能被3整除
故 得：
(X,Y) 的
联合分布
律为:
同一品种的五个产品中，有两个正品。每次从
中取一个检验质量，不放回地抽样，连续两次。
求: 的联合分布律.
例2.
表示第 k 次取到次品
( k =1, 2 )
X
Y
若记
表示第 k 次取到正品；
由题意 的取值为：0, 1 ；
解:
显然所求概率满足联合分布律的两条性质.
的取值为：0, 1
五个产品中，有两个正品。每次从中取一个检验质量，不放回地抽样，连续两次
0: 正; 1: 次
故
的联合分布律为:
3. 二维离散型随机变量的分布函数
若( X,Y )是离散型随机变量，
其中“和式”是对一切满足
则其联合分布
函数为：
三. 二维连续型随机变量及其分布
1. 二维连续型随机变量的定义
2. 二维连续型随机变量的(联合)概率密度与分布函数
(1) 定义
如果随机变量 (X, Y) 的取值 不能一 一列出，而是连续的, 则称 (X,Y) 为连续型随机变量.
若存在非负的二元函数 对任意的 有：
则称 (X,Y) 是连续型的二维随机变量，
为 (X,Y) 的联合
为
(X,Y)的联合概率密度；
联合分布函数.
性质1
性质2
性质3
性质4
设 G 是 XOY 平面上的一个区域，则点(x, y)落在G内的概率为:
非负性
规范性
分布函数与概率密度的关系
求区域
上的概率
(2) 的性质
若 在点 (x, y) 处连续，则：
一维连续型随机变量的几种常用分布可推广
到二维及多维随机变量
则称 (X,Y) 服从
均匀分布
注
则称 (X,Y) 服从参数为 的
则称 ( X,Y )服从 的
其中：
为5个常数
指数分布.
正态分布.
例3.
设
求: (1) 分布函数
解:
当
时
落在G内的概率
其中 G: 及 x 轴、y 轴所围区域
时
当
当
时
当
时
从而得分布函数为：
(2) 画出G域图：
G:
以上关于离散型或连续型随机变量的
讨论均可推广到 n 维( n > 2)随机变量
0
1
1
从而得：
n 维 随
机变量
n 维联合
分布函数
为 n 维随机变量 的联合分布 函数.
注意到(X,Y)是一个整体，它具有分布函数 F(x,y)。而 X,Y 分别也是随机变量，它们分别具有分布函数为：
那么它们分别各自又有什么特征呢
问题：
为 n 维随机向量或 n 维随机
是定义在S上的随机
变量, 由它们构成的一个 n 维向量：
变量

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