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第三章知识结构图
多维随机变量
联合
分布律
联合分布函数
函数 的分
布
联合概率密度
二维离散型
随机变量
联合分布函数
函数
的分
布
二维连续型
随机变量
定义
常用分布
定义
常用分布
第二节 边缘分布
边缘分布概念的引出
注意到:
积出的是变量 t 的函数
内层为广义积分
分布函数的定义
分布函数的连续性
一. 边缘分布的定义
则
分别称为二维随机变量 (X,Y)关于 X 和
二. 当 (X,Y) 为离散型随机变量
则 X 边缘分布函数
边缘分布律
设 为 X,Y 的联合分布函数，
已知
为
的联合分布律
关于 Y 的边缘分布函数.
边缘分布律
三. 当 (X,Y) 为连续型随机变量
边缘分布函数
则 Y
表示是由 关于 求和得到的；
已知连续型随机变量(X,Y)的联合概率密度
及联合分布函数
注
表示是由 关于 求和得到的；
则 X 的
边缘分布函数:
边缘概率密度:
则 Y 的
边缘分布函数：
边缘概率密度:
把一枚均匀硬币抛掷三次，设 X 为三次抛掷中正面出现的次数，Y为正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值.
　求：(X,Y)的联合分布律.
（ X, Y）可取值：
P(X=0, Y=3）
P(X=1, Y=1）
P(X=2, Y=1)
P(X=3, Y=3)
列表如下:
例1
解：
(0,3), (1,1), (2,1), (3,3).
二维联合分布律全面地反映了二维随机变量
(X,Y)的取值及其概率规律. 而单个随机变量
X,Y也具有自己的概率分布. 那么此例中二者
之间的关系怎么体现呢？
从表中不难求得:
P(X=0)=1/8,
P(X=1)=3/8
P(X=2)=3/8,
P(X=3)=1/8,
P(X=1, Y=1)+P(X=2, Y=1）
P(X=0, Y=3)+P(X=3, Y=3）
注意这两个分布正好是
表中的行和与列和.
问题：
=3/8+3/8=6/8,
P(Y=1)=
=1/8+1/8=2/8.
P(Y=3)=
如下表所示:
习惯上常将边缘分布律写在联合分布律表格的边 缘上，由此得出边缘分布这个名词.
注意：
2. 由联合分布律可以确定边缘分布律，但由边缘分
布律一般不能确定联合分布律.
设随机变量 X 在 1, 2, 3, 4 四个整数中等可能
地取值；另一随机变量 Y 在 1 ~ X 中等可能
地取一整数.
解:
由边缘分布律的定义可知，
例2.
求: 二维随机变量 (X,Y) 的边缘分布律
与
对X来说它取到“1”的可能性是 ;但当 x =1 时，y 只有 一个值与之对应，故对 y 来说是必然 事件，其概率为 1, 故有
先得求出 (X,Y)的联合分布律.
X=1时, y 的值取不到2, 故对y 来说是不可能事件，其概率为 0
X
Y
的联合分布律为：
设(X,Y) 均匀分布在由直线 ，x 轴
和y 轴所围成的区域 D 上.
求: (X,Y) 的联合概率密度与边缘概率密度.
解:
例3.
所以其概率密度为：
因为
服从均匀分布
(1).
边缘分布律
由题意可知 D 域图为:
1
x
y
0
2
D
(2). 因为边缘概率密度为:
则得:
同理可得:
或
时
时
例4.
设二维随机变量(X, Y)的概率密度为：
求: 二维正态随机变量(X, Y)的边缘概率密度
解:
由于:
于是:
令：
则有：
同理有：
由 X 和 Y 的边缘分布一般是不能
确定 X 和 Y 的联合分布的.
结论
二维正态分布的两个边缘分布均是一维正态分布，并且都不依赖于参数 ，亦即对于给定的 ，不同的 对应不同的二维正态分布，但它们的边缘分布却都是一样的
从而可得出：

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