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(共22张PPT)
第一章知识结构图
基本概念与运算
( 随机试验,事件,样本空间 )
频率与概率
统计定义
古典定义
公理化定义
条件概率
全概率公式与贝叶斯公式
独立性
一 . 频 率
2. 频率的性质：
(非负性)
(规范性)
1．频率的定义：
第二节 随机事件的概率
在 n 次试验中，事件A 发生的次数 称为事
而比值 称为事件A发生的频率.
记作：
件A 的频数；
3．频率的稳定性
在不变的条件下,重复进行 n 次试验,事件A 发生的频率 稳定地在某一常数 p 附近摆动，
概率统计定义
（ 可加性 ）
则称常数 p 为事件A 在该条件下发生的概率
频率的稳定值为该事件的概率
是两两互不相容的事件，则：
记作：P(A)
并且 n 越大，摆动幅度越小。
试验
序号
1 2 3 4 5 6 7
2
3
1 5 1 2 4
22
25
21
25
24
18
27
251
249
256
247
251
262
258
0.4
0.6
0.2
1.0
0.2
0.4
0.8
0.44
0.50
0.42
0.48
0.36
0.54
0.502
0.498
0.512
0.494
0.524
0.516
0.50
0.502
实例1 将一枚硬币抛掷 5 次、50 次、500 次, 各 做
7 遍, 观察正面出现的次数及频率.
波动最小
随n的增大, 频率 f 呈现出稳定性
从上述数据可得:
(2) 抛硬币次数 n 较小时, 频率 f 的随机波动幅
度较大, 但随 n 的增大 , 频率 f 呈现出稳定性.
(1) 频率有随机波动性
即对于同样的 n, 所得的 f 不一定相同.
请看下列概率大师们所做的实验
即当 n 逐渐增大时频率 f 总是在 0.5 附近摆动, 且逐渐稳定于 0.5.
实验者
德 摩根
蒲 丰
2048
1061
0.5181
4040
2048
0.5069
12000
6019
0.5016
24000
12012
0.5005
频率当 n 较小时波动幅度比较大,当 n 逐渐增大时,
频率趋于稳定值，这个稳定值从本质上反映了事件在试验中出现可能性的大小．它就是事件的概率．
验证频率稳定性的著名实验
高尔顿(Galton)板试验.
试验模型如下所示:
　自上端放入一小球, 任其自由
下落, 在下落过程中当小球碰到
钉子时, 从左边落下与从右边落
下的机会相等. 碰到下一排钉子
时又是如此. 最后落入底板中的
某一格子. 因此, 任意放入一球,
则此球落入哪一个格子, 预先难以确定. 但是如果放入大量小球, 则其最后所呈现的曲线, 几乎总是一样的.
实例2
即: 通过规定概率应具备的基本
性质来定义概率.
下面介绍用公理给出的概率定义.
1933年，前苏联数学家柯尔莫哥洛夫给出了概率的公理化定义.
柯尔莫哥洛夫提出的公理为数很少且极为简
单，但在此基础上建立起了概率论的宏伟大厦.
二．概率
设 E是随机试验, S是它的样本空间,
若对于S 的每一个事件 A 都赋予一个实数 P (A),
(１) 对于每一事件A有:
( 2 )
( 3 ) 可列可加性：
公理化定义
则称 p (A) 为事件 A 发生的概率。
非负性
规范性
１. 概率的定义：
若 是两两互不相容的事件，则：
它满足以下三个条件：
２．概率的性质
必然事件 S 与不可能事件 是互不相容的
可 加 性
得：
若 是两两互不
相容事件, 则有:
[证]：
性质1
性质2 (有限可加性)
由概率定义中的可列可加性.
性质3 ：
(可减性)
(单调性)
[证]：
，则有：
令：
若 则有：
[证]：(1)
由性质 2 得：
(2) 由概率定义可知：
所以由(1)得:
A
B
A
即
即：
并且 是互不相容的
有限可加性
可减性
设 A, B为任意两个事件, 则有：
[证]:
并且:
所以由性质 2与性质 3 得：
性质4可推广到多个事件:
A
B
AB
性质4 (加法定理)
由图
注
有限可加性可减性
比如:
对任意事件 A 有：
[证]：
由性质2得：
又
性质5．
Ａ
Ａ
注：
性质5在概率的计算上很有用，如果正面计算事件A的概率不容易，而计算其对立事件的概率较易时，可以先计算 ，再计算 P(A).
将一颗骰子抛掷4次，问至少
出一次“6”点的概率是多少？
令 事件A={至少出一次“6”点}
则 A 发生
{出1次“6”点}
{出2次“6”点}
{出4次“6”点}
注意: 此时若直接计算A 的概率较麻烦,
则可先来计算 A 的对立事件：
示例:
解：
{出3次“6”点}
由于将一颗骰子抛掷 4 次，共有:
因此:
共 625 种
0.518
于是:
={ 4次抛掷中都未出“6”点 }的概率
={4 次抛掷中都未出“6”点 }的结果数共有:
而导致事件:
即共 1296 种等可能结果。
令 事件A={至少出一次“6”点}
某同学小李参加“智力大冲浪”游戏，他能答
出甲、乙二类问题的概率分别为0.7 和 0.2，
两类问题都能答出的概率为0.1.
设事件 A、B 分别表示“能答出甲,乙类问题”
(1)
答出甲类而答不出乙类问题的概率；
至少有一类问题能答出的概率；
两类问题都答不出的概率。
例1
试求小李：
解：
(2)
(3)
在例1中小李他能答出第一类问题的概率为0.7,
答出第二类问题的概率为0.2 , 两类问题都能
答出的概率为0.1. 为什么不是
若是的话, 则应有:
而现在题中并未给出这一条件.
例1的思考题
分析

在本章的第五节将给出上述等式成立的条件:
A、B两事件相互独立
例2
例2
设事件 满足
试问：在何条件下， 取得最大(小)值 ？
最大(小)值是多少 ？
解：
最小值
最小值在 时取得。
又
最大值
最大值在 时取得。
例2的思考题

在例2中若当 时，
则 还能取得最小值 ？
分析
这相当于问如下命题是否成立：
答：不成立 ！
柯尔莫哥洛夫
( A. H. Колмогоров1903--1987 )
俄国数学家，1939年任苏联科学院院士. 先后当选美,法,意,荷,英,德 等国的外籍院士 及皇家学会会员.
成为 20 世纪最有影响的俄国数学家.
柯尔莫哥洛夫为开创现代数学的一系列重要分支作
出重大贡献. 他建立了在测度论基础上的概率论公
理系统, 奠定了近代概率论的基础.
他又是随机过程论的奠基人之一,其主要工作包括 :
20年代关于强大数定律、重对数律的基本工作;
1933年在《概率论的基本概念》一文中提出的概率论公理体系(希尔伯特第6问题)。
40年代完成独立和的弱极限理论, 经验分布的柯尔
莫哥洛夫统计量等;在动力系统中开创了关于哈密
顿系统的微扰理论与K系统遍历理论;
30年代建立马尔可夫过程的两个基本方程; 用希尔
伯特空间的几何理论建立弱平稳序列的线性理论;
50年代中期开创了研究函数特征的信息论方法,他
的工作解决并深化了希尔伯特第13问题——用较少
变量的函数表示较多变量的函数;
60年代后又创立了信息算法理论;
1980年由于它在调和分析,概率论,遍历理论及动力系统方面出色的工作获沃尔夫奖;
他十分重视数学教育,在他的指引下,大批数学家在
不同的领域内取得重大成就.

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