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第三章知识结构图
多维随机变量
联合
分布律
联合分布函数
函数 的分
布
联合概率密度
二维离散型
随机变量
联合分布函数
函数
的分
布
二维连续型
随机变量
定义
常用分布
定义
常用分布
一般，先讨论两个随机变量的函数的分布问题，然后将其
推广到多个随机变量的情形。
在多维随机变量中需讨论：已知随机变
量X1, X2, …,Xn 及其联合分布，如何求
出它们的函数：
Yi =gi (X1, X2, …,Xn ), i = 1, 2,…, m
的联合分布。
第五节 两个随机变量的函数的分布
研究的问题
在一维随机变量中讨论了：已知随机变量 X 及它的分布，如何求其函数
的分布。
一. Z=X+Y 的分布(和的分布)
设 ( X, Y )的概率密度为 f ( x, y ).
固定 z 和 x ,
对内层积分作变量替换 y = u – x
累
次
积
分
是直线x+y =z
左下方
的半平
面
交换
积分
次序
则 Z= X + Y 的分布函数为:
得 Z=X+Y 的概率密度为:
当 X, Y 相互独立时，则由
或
称为卷积公式
记为：
由 X 和 Y 的对称性， fZ (z)又可写为：
有:
注
例1.
设 X 和 Y相互独立的随机变量，且
求：Z = X + Y 的概率密度
解:
利用卷积公式：
结论:
推广到 n 个相互独立正态随机变量之和，即：
若随机变量 X 和 Y 相互独立，且
▲
则它们的和仍服从正态分布，
即：
▲
且它们相互独
立，
▲
更一般的有：
则它们的和仍服从正态分布。即有：
有限个相互独立的正态
随机变量的的线性组合
仍然服从正态分布。
例2.
且 X, Y 的概率密度分别为:
求: Z = X + Y 的分布
解:
令：
从
当 时，
当 时，
Beta 函数定义： B(m,n) =
且 B 函数与 函数之间有关系式：
从而得：
结论:
从而得：
▲
若 相互独立，且服从参数为
的 分
则它们的和仍服从参数为
的 分布
▲
推广：
服从参数为
则其和
布，
此时则称 X 服从自由度为 n 的开平方分布，
▲
特别当 时，
的密度函数为：
▲
若 相互独立，并均服从
, 则
正态分布的和仍服从正态分布；而正态分布的平方和和却服从 分布
记为：
例3.
求: Z = X + Y 的分布
解:
(服从泊松分布)，
且 X, Y 相互独立。
设
与 的取值均为：
的取值也为非负的整数
因为 X
与Y 相
互独立
结论:
服从参数为 的泊松分布，且
若
X, Y 相互独立 ,
则它们的和服从参数为
泊松分布，即：
例4.
若X 和 Y 相互独立，具有相同的概率密度：
求：Z = X +Y 的概率密度
为确定积分限，先找出使被积函数不为零的区域
由卷积公式：
即
解:
由已知：
于是得：
如图示:
区域
被积函数不为 0 的区域
例1 ~ 例3说明：
归纳
求解例1 ~ 例3过程中知：
▲
▲
用已知的分布求出 Z = g( X, Y ) 的分布。
的函数 Z = g( X, Y ) 的分布时，
关键是设法将其
转化为( X, Y )在一定范围内取值的形式，
从而利
随机变量，
不论是连续型随机变量还是离散型
如果它们服从正态分布, 分布或泊松
分布，
那么它们的和也仍然服从正态,
分布或泊
松分布，
并且参数是单个参数之相加,
具有这种性
质的随机变量也称其为满足或具有可加性的随机变量。
在求随机向量( X, Y )
二. 的分布 (商的分布)
设 ( X, Y ) 的概率密度为 f ( x, y )
则 的分布函数为:
对于
固定 z, y 令:
同样有:
故有:
对 求导得 概率密度函数为:
当 X, Y 相互独立时, 则有:
例5.
设 X, Y 的概率密度分别为:
并且 X, Y 相互独立。
求： 的概率密度函数
注
解:
因为 X, Y 的取值范围分为大于零与小于等于零
当 时：
当 时：
所以 Z 的取值范围也分为：
两段，
三、M = max ( X, Y ) 及 N = min( X, Y ) 的分布
最大值和最小值分布
设X，Y 是两个相互独立的随机变量，它们的分布
函数分别为FX ( x ) 和FY ( y ) .
所以得：
求：M = max ( X, Y ) 及 N = min ( X, Y ) 的分布函数.
1. M = max ( X, Y ) 的分布
解：
因为：
2. N = min ( X, Y ) 分布
所以
从而得：
因为：
由独立性
分布函数定义
所以得：
▲
与
由
通过对其求导得相应的
概率密度函数
▲
推广：
是 个相互独立的随机变
量，它们的分布函数分别为
则：
的分布函数分别为:
注
▲
特别，当
相互独立且具有相同的
设随机变量 X1, X2 相互独立，并且有相同的
几何分布，即:
例6.
求： 的分布
解：
解法一
因为：P( Y = n ) = P( max( X1, X2) = n )
分布函数 F( ) 时（即独立同分布），则有：
记:1 – p = q
n = 0, 1 , 2, …
而：
P( Y = n ) = P( max(X1, X2) = n )
解法二
= P(X1= n, X2≤n ) + P( X2 = n, X1 < n )
因为：
= P( max( X1, X2 ) ≤ n ) - P( max( X1, X2 ) ≤ n – 1 )
= P( X1≤ n, X2≤n ) - P( X1 ≤ n – 1, X2 ≤ n – 1 )
n = 0, 1, 2,…
而
例7. 系统 L 的
工作情况
( 教材 P103页 例6）

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