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动态数列分析
第七章
第七章 动态数列分析
第一节 动态数列的编制
第二节 动态数列水平分析
第三节 动态数列速度分析
第四节 动态数列因素分析
第一节 动态数列的编制
一、动态数列的概念
将社会经济现象在不同时问上发展变化所达到的水平值，按时间先后顺序排列所形成的数列，称为动态数列、时间数列或时间序列。
指标 2010年 2011年 2012年 2013年 2014年 2015年
就业人员(万人) 76105 76420 76704 76977 77253 77451
因而，动态数列都有两个构成要素：一个是时间要素，说明社会经济现象发展变化的时期或时点；另一个是统计指标值，说明社会经济现象在各个发展时间所达到的规模或水平。
第一节 动态数列的编制
二、动态数列的类型
动态数列
平均数数列
绝对数数列
相对数数列
时期数列
时点数列
第一节 动态数列的编制
二、动态数列的类型
根据组成动态数列的统计指标性质的不同，可以将动态数列分为绝对数动态数列、相对数动态数列和平均数动态数列。
（一）绝对数动态数列
将一系列同类的总量指标值按时间的先后顺序排列所形成的动态数列称为绝对数动态数列。它反映社会经济现象在各时期发展所达到的绝对水平及不同时期发展变化的状况。
总量指标按所反映的社会经济现象的时间状态不同，可分为时期指标和时点指标两种，所以，绝对数动态数列又分为时期数列和时点数列。
第一节 动态数列的编制
二、动态数列的类型
1.时期数列
在绝对数动态数列中，如果每项统计指标都是同类性质的时期指标，这种绝对数动态数列就称为时期数列。
时期数列主要有下列三个特点：
数列中各项指标值具有可加性。
数列中各项指标值的大小与所届的时期长短有必然的联系。
数列中的各项指标值是通过连续不断的登记而获得的，经济中各个基本单位每天实现的增加值连续记录汇总而成的。
第一节 动态数列的编制
二、动态数列的类型
2.时点数列
在绝对数动态数列中，如果每一项统计指标都是同类性质的时点指标，这种绝对数动态数列就称为时点数列。时点数列有如下三个特点。
数列中各项指标值不具有可加性。
数列中各项指标值的大小与其时间间隔长短没有直接关系。
数列中每个指标的数字是通过一次性登记而取得的。
第一节 动态数列的编制
二、动态数列的类型
课堂讨论
以下数列中哪些属于时点数列？
某校历年毕业生人数
某校历年末在校生人数
某商店各月末商品库存额
某单位历年职工工资总额
某养猪场历年年末生猪存栏头数
某厂历年设备台数
第一节 动态数列的编制
二、动态数列的类型
（二）相对数动态数列
将一系列同类的相对指标值按时间先后顺序排列起来而形成的动态数列，称为相对数动态数列。它可以反映相互联系的现象之间发展变化的过程，说明社会经济现象的比例关系、结构、速度、效益等的发展变化的过程。
指标 2010年 2011年 2012年 2013年 2014年 2015年
人口出生率(‰) 11.9 11.93 12.1 12.08 12.37 12.07
人口死亡率(‰) 7.11 7.14 7.15 7.16 7.16 7.11
人口自然增长率(‰) 4.79 4.79 4.95 4.92 5.21 4.96
第一节 动态数列的编制
二、动态数列的类型
（三）平均数动态数列
将一系列同类的平均指标值按时间先后顺序排列所形成的动态数列称为平均数动态数列。它反映社会经济现象一般水平的发展趋势。如某企业产品的平均成本组成的动态数列，某高校学生的平均成绩组成的动态数列等都是平均数动态数列。
指标 2010年 2015年
平均预期寿命(岁) 74.83 76.34
男性平均预期寿命(岁) 72.38 73.64
女性平均预期寿命(岁) 77.37 79.43
第一节 动态数列的编制
三、动态数列的编制
动态数列反映社会经济现象发展变动的规律和趋势，要使编制成的动态数列能够揭示现象发展的客观实际，就要保证数列中各项指标值具有可比性，这是编制动态数列的基本要求。
具体而言，有以下四方面的编制原则。
第一，时期长短要一致。
第二，总体范围要一致。
第三，计算方法要统一。
第四，经济内容要一致。
第二节 动态数列水平指标
一、发展水平
在动态数列中每个指标数值叫做发展水平或动态数列水平，它反映社会经济现象在不同时间状态下所达到的规模或水平，且它是计算其他动态分析指标的基础。
发展水平按其在动态数列中所处位置的不同可分为：最初水平、中间水平、最末水平。动态数列中第一个指标数值叫最初水平，最后一个指标数值叫最末水平，其余各个指标数值叫中间水平。如果用符号a0，a1，a2，……，an表示发展水平，那么a0为最初水平，an为最末水平，其余为中间水平。
发展水平按其在动态分析中所起的作用不同可分为：基期水平和报告期水平。基期水平是指作为比较基础时期的发展水平；报告期水平是指所要分析研究的那个时期的发展水平。
第二节 动态数列水平指标
二、平均发展水平
平均发展水平又叫平均发展水平或动态平均数，是将不同时期的发展水平加以平均而得的平均数。
（一）根据绝对数动态数列计算平均发展水平
绝对数动态数列分为时期数列和时点数列，由于两者资料特点不同，计算平均发展水平的方法也不相同。
第二节 动态数列水平指标
二、平均发展水平
时期数列的平均发展水平
时点数列
连续时点数列
间断时点数列
间隔相等
间隔不等
间隔不等
间隔相等
绝对数动态数列的序时平均数
第二节 动态数列水平指标
二、平均发展水平
（二）根据相对数动态数列计算平均发展水平
其基本公式为：
1.分子、分母均为由时期数列的指标比对形成的相对数动态数列，其平均发展水平的计算公式为：
第二节 动态数列水平指标
二、平均发展水平
（二）根据相对数动态数列计算平均发展水平
2.分子、分母均为由时点数列的指标比对形成的相对数动态数列，其平均发展水平的计算公式为：
第二节 动态数列水平指标
二、平均发展水平
（二）根据相对数动态数列计算平均发展水平
3.分子、分母为由一个时期数列和一个时点数列中的指标比对形成的相对数动态数列，其平均发展水平的计算公式为：
第二节 动态数列水平指标
二、平均发展水平
（三）根据平均数动态数列计算平均发展水平
（1） 由静态平均数组成的平均数动态数列的序时平均数。
（2） 由动态平均数组成的平均数动态数列的序时平均数。
0.69
0.65
0.63
0.58
0.61
0.55
c 每一工人平均产值(万元)
70
72
70
68
65
60
b 平均工人数(人)
48.3
46.8
44.1
39.44
39.65
33
a 工业增加值(万元)
6
5
4
3
2
1
月份
季 度 一 二 三 四
平均每月产值(万元) 14 17 21 29
第二节 动态数列水平指标
二、平均发展水平
（三）根据平均数动态数列计算平均发展水平
（1） 由静态平均数组成的平均数动态数列的序时平均数。
第二节 动态数列水平指标
二、平均发展水平
（三）根据平均数动态数列计算平均发展水平
（2） 由动态平均数组成的平均数动态数列的序时平均数。
当时期相等时，可直接采用简单算术平均法计算。
若时期或间隔不等时，则要采用加权算术平均法计算。
第二节 动态数列水平指标
三、增长量和平均增长量
（一）增长量
增长量是说明社会经济现象在一定时期内所增长的绝对数量，它是报告期水平与基期水平之差，反映报告期比基期增长的水平。其计算公式为：
增长量=报告期水平-基期水平
由于采用的基期不同，增长量可以分为逐期增长量和累计增长量。
逐期增长量：a1-a0，a2-a1，……，an-an-1
累计增长量：a1-a0，a2-a0，……，an-a0
逐期增长量与累计增长量的关系是：逐期增长量之和等于累计增长量，即
an-a0=（a1-a0）+（a2-a1）+……+( an-an-1)
第二节 动态数列水平指标
三、增长量和平均增长量
（二）平均增长量
平均增长量是说明社会经济现象在一定时期内平均每期增长的数量，从广义来说，它也是一种序时平均数，即是逐期增长量动态数列的序时平均数，反映现象平均增长水平。其计算公式为：
第三节 动态数列速度指标
一、发展速度
一、发展速度
发展速度是以相对数形式表示的动态指标，它是报告期水平与基期水平之比，用以说明报告期水平是基期水平的若干倍或百分之几，其计算公式为：
第三节 动态数列速度指标
一、发展速度
定基发展速度和环比发展速度之间的关系表现为以下两点：
（1）定基发展速度等于环比发展速度的连乘积，即
（2）两个相邻时期的定基发展速度之比，等于它们的环比发展速度，即
第三节 动态数列速度指标
二、增长速度
增长速度是表明社会经济现象增长程度的相对指标。它可以根据增长量与基期发展水平对比求得。通常用百分比或倍数表示。其计算公式为：
增长速度=发展速度-1（或100%）
增长速度和发展速度既有区别又有联系。两者的区别在于概念的不同：增长速度表示社会经济现象报告期比基期增长的程度，而发展速度则表示报告期与基期相比发展到了什么程度。两者的联系可用公式表示为：
第三节 动态数列速度指标
三、平均发展速度和平均增长速度
（一）平均发展速度
平均发展速度是各期环比发展速度的序时平均数。
1．几何平均法
计算平均发展速度时，因为总速度不等于各期环比发展速度的算术总和，而等于各期环比发展速度的连乘积，所以不能应用算术平均法，而要用几何平均法来计算。
如果用水平法制定长期计划，则要求用几何平均法计算其平均发展速度，按此平均发展速度发展，可以保证在最后一年达到规定的an水平，所以几何平均法也称“水平法”。
第三节 动态数列速度指标
三、平均发展速度和平均增长速度
平均发展速度的计算公式为：
第三节 动态数列速度指标
三、平均发展速度和平均增长速度
（二）平均增长速度
平均增长速度是各期环比增长速度的序时平均数，它表明现象在一定时期内远期平均增长变化的程度。
平均增长速度＝平均发展速度一1（或100％）
第三节 动态数列速度指标
三、平均发展速度和平均增长速度
（三）计算和运用平均发展速度时应注意的问题
1.根据统计研究目的选择计算方法。
2.要注意社会经济现象的特点。
3.应采取分段平均速度物来补充说明总平均速度。
4.平均速度指标要与其他指标结合应用。
第四节 动态数列因素分析
一、动态数列的影响因素
动态数列反映了现象随时间的发展变化，是许多复杂因素共同作用的结果。不同因素的作用不同，形成的结果也相应不同。影响现象发展变动的因素主要有4种类型。
（1）长期趋势（T）
长期趋势是影响现象发展变动的最基本因素，在现象发展变化的各个时期起普遍的、持续的、决定性的作用，是现象发展的内在因素，反映了现象在相当长的时期内所具有的发展变化的基本规律和特征。
第四节 动态数列因素分析
一、动态数列的影响因素
（2）季节变化（S）
地球上绝大多数地区，一年四季季节分明，任何现象都要随着一年四季的季节变动而发生有规律的变化，呈现出“旺季”和“淡季”的季节特征，使现象的发展呈现出有规律的季节性波动。
（3）循环变动（C）
历史事实已经证明，宏观经济具有周期性，宏观经济有发展变动的繁荣时期，也有发展变动的萧条时期。社会经济现象的发展受宏观经济环境的周期性变化影响而呈现出一定的周期性，现象发展变动的结果具有周期性的循环变化特征。
第四节 动态数列因素分析
一、动态数列的影响因素
（4）不规则变动（I）
不规则变化是指社会经济现象发展过程中所经历的非确定的偶然因素影响，这种变动通常是无法预知的，如政治选举、罢工、战争、政治动荡、自然灾害等。
动态数列的每一项指标值（Y）都是上述四种变动因素综合作用的结果，根据四种因素对y的影响方式的不同，动态数列的变动有两种形式的假设模型。
（1）乘法模型。
Y＝T×S×C×I
（2）加法模型。
Y＝T+S+C+I
第四节 动态数列因素分析
二、长期趋势分析
所谓长期趋势是指社会经济现象在长时期内所具有的持续向上或向下发展的变动规律，长期趋势是现象发展的内在规律和基本特征的反映。
对现象长期趋势的测定可以实现以下目的：反映现象发展变动的基本趋势和规律；探求合适的趋势线，描述其发展规律；将这种发展规律用于经济预测和决策。
长期趋势的类型有二种：
直线趋势；
非直线趋势，即曲线趋势。
第四节 动态数列因素分析
二、长期趋势分析
（一）时距扩大法
时距扩大法是通过扩大动态数据各项指标所属的时间，对原始资料加以整理，消除因时间间隔短而使各指标值受偶然性因素影响所引起的波动，以反映现象发展变化的趋势。
月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
总产量 35 54 42 53 55 52 65 77 75 82 85 97
第四节 动态数列因素分析
二、长期趋势分析
（一）时距扩大法
月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
总产量 35 54 42 53 55 52 65 77 75 82 85 97
季度 一 二 三 四
总产量 131 160 217 264
第四节 动态数列因素分析
二、长期趋势分析
（二）移动平均法
移动平均法是通过逐期移动计算序时平均数，把原始动态数据的时距扩大，得出的序时平均数构成一个新的动态数列。
第四节 动态数列因素分析
二、长期趋势分析
月份 销售额
1 50.5
2 45.0
3 52.0
4 51.5
5 50.4
6 55.5
7 53.0
8 58.4
9 57.0
10 59.2
11 58.0
12 60.5
第四节 动态数列因素分析
二、长期趋势分析
月份 销售额 三项移动平均
1 50.5 —
2 45.0 49.2
3 52.0 49.5
4 51.5 51.3
5 50.4 52.5
6 55.5 53.0
7 53.0 55.6
8 58.4 56.1
9 57.0 58.2
10 59.2 58.1
11 58.0 59.2
12 60.5 —
趋势值项数（新） =
原数列项数 - 移动平均项数 + 1
此公式对奇数项移动平均和正位前的偶数项移动平均有效
第四节 动态数列因素分析
二、长期趋势分析
月份 销售额 三项移动平均 四项移动平均
四项移动平均 移正
1 50.5 — —
2 45.0 49.2 —
3 52.0 49.5 49.8
4 51.5 51.3 51.1
5 50.4 52.5 52.5
6 55.5 53.0 53.5
7 53.0 55.6 55.2
8 58.4 56.1 56.5
9 57.0 58.2 57.6
10 59.2 58.1 58.5
11 58.0 59.2 —
12 60.5 — —
第四节 动态数列因素分析
二、长期趋势分析
三项移动和四项移动的比较
第四节 动态数列因素分析
二、长期趋势分析
（三）最小二乘法
最小二乘法，也叫最小二乘法，是测定长期趋势的重要方法之一。
最小二乘法是根据最小二乘法的原理，即现象的实际值与趋势值的离差平方和为最小，以拟合优良的趋势模型，找出趋势线的近似数学方程式，从而测定长期趋势，并对未来的发展水平进行预测。用公式表示如下：
第四节 动态数列因素分析
二、长期趋势分析
（三）最小二乘法
1.直线趋势模型
如果现象的发展，其逐期增长量大体上相等，则可考虑配合直线趋势。直线方程的一般形式为
y=a+bt+ε
式中，a为截距；b为直线的斜率；t为时间；ε为随机误差项，是除去时间因素外，所有其他因素对y的影响结果。
第四节 动态数列因素分析
二、长期趋势分析
（三）最小二乘法
根据已知的动态数据资料和最小二乘法原理，可以求出待定系数a、b，进而得出直线趋势方程，用它描绘现象的发展趋势并进行预测。直线趋势方程如下：
第四节 动态数列因素分析
二、长期趋势分析
（三）最小二乘法
当动态数列为奇数项时，时间t的取值为…，一3，一2，一1，0，1，2，3…，当动态数列为偶数项时，时间t的取值为…，一5，一3，一1，1，3，5…，使∑t=0，这时上面的方程组可简化为：
第四节 动态数列因素分析
二、长期趋势分析
（三）最小二乘法
2.曲线趋势模型
现实经济生活中，多数经济现象的发展趋势是非线形的，而是曲线形的，因此，研究长期趋势变动的曲线类型是十分重要的。
（1）二次曲线趋势
如果现象发展的逐期增长量的逐期增长量(即各期的二级增长量)大致相同，则可用二次曲线(抛物线)描绘其发展趋势，曲线方程为：
y=a+bt+ct2+ε
式中，a、b、c为待定系数；t为时间；ε为随机误差项。
第四节 动态数列因素分析
二、长期趋势分析
（三）最小二乘法
2.曲线趋势模型
由最小二乘法原理可得：
为了计算的方便，同样可以使t的取值满足∑t=0，此时，上述方程组变为
第四节 动态数列因素分析
二、长期趋势分析
（三）最小二乘法
（2）指数曲线趋势
当现象发展的各期环比发展速度大致相同时，现象具有指数曲线型的发展趋势，曲线方程为：
y=abt+ε
式中，a、b为待定系数；t为时间；ε为随机误差项。
Y=A+Bt
第四节 动态数列因素分析
三、季节变动分析
季节波动是指某些社会现象由于受到社会因素和自然因素的影响，在一年之内随着季节的更替而呈现的有规律性的周期性波动。
（一）月（季）平均法
月（季）平均法是测定季节变动的基本方法，它不考虑现象长期趋势本身的影响，用各月份的平均水平值除以各月的平均总水平值，表示季节比率，也叫季节指数。
为了较准确地观察季节变动的情况，需要有连续3年以上的按月资料。
第四节 动态数列因素分析
三、季节变动分析
（一）月（季）平均法
其计算步骤与方法如下：
分别就每年各月的数字加总后，求各该年的月平均数；?
各年同月数字加总，求若干年内同月的平均数；?
若干年内每个月的数字总计，求总的月平均数；?
将若干年内同月的平均数与总的平均数相比，即得季节指数。
季节指数的计算公式为：
第四节 动态数列因素分析
三、季节变动分析
（二）趋势剔除法
移动平均趋势剔除法是利用移动平均法将原始数据资料进行修勾，以消除长期趋势的影响，然后再利用按月平均法计算各月份的季节比率。假定动态数列的发展水平是各因素的连乘积，即发展水平符合乘法模型。
第四节 动态数列因素分析
三、季节变动分析
（二）趋势剔除法
移动平均趋势剔除法的基本步骤如下所述：
用移动平均法计算出长期趋势值（T）。
用原始数列的各项指标值除以同期的趋势值（y／T），以剔除长期趋势。
计算各月份的季节比率。若各月份的季节指数之和不等于400%或1200％，需要计算校正系数。
计算校正系数，其计算公式为：
将校正系数乘以各月份的季节指数，即得调整后的季节指数。
季节指数调整值=调整前的季节指数×调整系数
第四节 动态数列因素分析
四、循环变动分析
循环变动是指变动周期大于一年的有一定规律性的重复变动。循环变动不同于长期趋势，它所表现的不是胡着某一个方向持续上升或下降，而是从低到高，又从高到低的周而复始的近乎规律性的变动。
从统计分析的角度来看，循环变动的测定方法有多种，其中常用的是剩余法。
剩余法基本思想是：对各期时间序列用长期趋势和季节比率消除趋势变动和季节变动，从而得出反映循环变动与不规则变动的数列，然后再采用移动平均法消除不规则变动，便可得出反映循环变动程度的各期循环变动系数。
第四节 动态数列因素分析
五、随机变动分析
随机变动指数是由偶然因素引起的，无周期、无规律。分析测定随机变动指数，可以正确评价经济现象发展过程中人们的主观努力和客观环境条件的不同影响，以便进一步分析深层次的原因，更科学地组织未来的生产经营活动。
测定随机变动，仍然可以采用上述的剩余法剔除季节变动、长期趋势和循环变动的影响，求得随机变动，即：

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