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第二章知识结构图
随机变量
分布律
分布
函数
函数的
分布
概率
密度
离散型随
机变量
分布
函数
函数的
分布
连续型随
机变量
定义
常用分布
定义
常用分布
一.离散型随机变量的分布律
引例
如图中所示，现从中任取 3 个球，取
到的白球数 X 是一个随机变量。
X 可能取的值是 0, 1, 2
且：
第二节 离散型随机变量的概率分布（分布律）
取每个值的概率为：
设离散型随机变量 X 所有可能取的值为
的概率为:
则 称
为离散型 随机变量
X 的 概率分布 或 分布律.
分布律可以列表给出:
1.定义:
其各个可能取值
即事件
注
2. 性 质
用这两条性质判
断一个函数是否
是概率函数
求分布律时需验证这两条性质。
若成立则称其为分布律，
否则不能表明所求的是分布律.
▲
具有离散型随机变量才具有分布律
▲
注
一般：
X 的可能取值: 0, 1, 2
X 的各种可能取值的概率如下:
解:
设在15只同类型的零件中有两只次品，现从中
抽取3只，以 X 表示取出3只中所含次品的个数.
求: X的分布律.
例1.
由题意，
( 显然每个
图形:
亦称其为
概率分布图
所以其分
布律为：
某篮球运动员投中篮圈概率是0.9，
求：他两次独立投篮投中次数 X 的概率分布.
X 可能取值为 0、1、2
P(X =0)=
P(X =1)=
P(X =2)=
且 P(X =0)+ P(X =1)+ P(X =2)=1
从中抽取3只，求次品数不大于1只的概率有多大？
思考题：
答案：
例2.
解：
则：
故得其分布律为：
(0.1) (0.1) = 0.01
2(0.9) (0.1) = 0.18
(0.9) (0.9) = 0.81
一汽车沿一街道行驶，需要通过三个均设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其它信号灯为红或绿相互独立，且红绿两种信号灯显示的时间相等. 以 X 表示该汽车首次停车时已通过的路口的个数。
依题意, X 取值为: 0, 1, 2, 3
例3.
解:
Ai = { 第 i 个路口遇红灯 }, i =1, 2, 3
设
路口3
路口2
路口1
则：P ( X=0 ) = P ( A1 ) =
求：X 的概率分布.
1/2
Ai ={ 第i个路口遇红灯 }, i = 1, 2, 3
设
Ai = { 第i个路口遇红灯 }, i =1, 2, 3
设
路口3
路口1
路口2
X 表示该汽
车首次停车
时已通过的
路口的个数
路口2
路口3
路口1
X 表示该汽车首次停车时已通过的路口的个数
Ai = { 第 i 个路口遇红灯 }, i =1, 2, 3
设
路口1
路口2
路口3
于是得其分布律为：
显 然：
某加油站为某汽车公司代营出租汽车业务，
每出租一辆汽车，可从出租公司得到 3元。
因代营业务，每天加油站要多付给职工服务
费 60元。 设每天出租汽车数 X 是一个随机
变量，它的概率分布如下：
求: 因代营业务得到的收入大于当天的额外
支出费用的概率.
例4.
因为加油站代营每出租一辆车，可得 3 元。
若设每天出租汽车数为 X ,
而每天加油站要多付给职工服务费 60(元)，
加油站因代营业务得到的收入大于当天的额
分析
则加油站因代营业务得到的收入为 3X (元)
所以
即当天的额外支出费用。
外支出费用的概率为：
由已知，
加油站因代营业务得到的收入大于当天的
所以得：
结论
故加油站的经营决策者应该考虑是否继续
代营此项业 务或应该考虑是否调整当天的
额外支出费用。
额外支出费用的概率为 0.6；
二. 几种常见的离散型随机变量的分布
1.(0 1)分布
若随机变量X只能取 0 与 1 两个值 ,
则称 X 服从 (0--1)分布，记为：
列表:
它的分布律为:
它只发一弹，要么打中，要么打不中，
分布律为：
( 0—1 )分布的应用很广，比如:
检查产品的质量(正品与次品)
有奖储蓄券是否中奖(中与不中)
对婴儿性别进行登记(男与女)
高射炮射击敌机是否击中等等.
某次射击，已知某射手的命中率为0.8.
求：射击一次命中目标次数 X 的分布律.
例5.
解:
注
分别记为 1 与 0
2. 二项分布
(1).贝努利概型
重复进行 n 次试验，若各次试验的结果互不影
把在相同的条件下重复进行 n 次独立试验的
n 次相互独立试验:
说明:
概率模型, 称为 n 次独立试验模型.
则 称 这 n 次试验是相互
响,
即每次试验结果出现的概率都不受其它各
次试验结果的影响。
独立的。
设随机试验 E 只有两种可能的结果
则称这样的 n 次重复独立试验概型 为：n 重贝努利概型.
若设生男孩的概率为 p，生女孩的概率为 q = 1- p，令 X 表示随机抽查出生的4个婴儿中“男孩”的个数.
求： X 的概率分布.
贝努利概型:
例6.
且在每次试验中 出现的概率为：
与
与
解：
显然，它属于贝努利概型.
X 表示随机抽查的 4个婴儿中男孩的个数，
男
女
X=0
X =1
X =2
X =3
X =4
X 的概率函数是：
X 的取值为：0, 1, 2, 3, 4.
现设生男孩的概率为 p.
现若将一枚均匀骰子抛掷 3 次，
令: X 表示 3 次中出现“4”点的次数
求: X 的概率函数
X 的概率函数为：
例7.
解:
从而，
X 的取值为：0, 1, 2, 3
显然，它属于贝努利概型.
设一次试验中事件A发生的概率为
则在 n 次贝努利试验中事件A 恰发生 k 次概率为:
按独立事件的概率计算公式可知：
定 理（贝努利定理）
证明:
n 次试验中事件A 在某 k 次 ( 例如前 k 次)
发生而其余 次不发生的概率应为:
而且它们是相互独立的，
概率 就等于二项式
的展开式中 的系数，这也是二项分布的名称的由来.
由于现在只考虑事件A 在n 次试验中发生 k 次而不论
显然它满足：
▲
所以它应有 种不同的发生方式.
在哪 k 次发生，
次的概率为:
故在 n 次试验中 A 发生 k
( 依概率的加法定理)
注
设某炮手射击的命中率为 0.8，为炸毁某个目标， 经预测只要命中两发就够炸毁.
问：希望发射5发炮弹就能炸毁目标的可能性有多大
设 A : 发射 5 发炮弹就炸毁了目标
例8.
解:
（恰好中两发）
=
（至少中两发）
（恰好中三发）
+
（恰好中四发）
+
（恰好中五发）
+
则：
(2). 二项分布
若用 X 表示 n 重贝努利概型中事件 A 发生的次数，它的分布 律为：
则称 X 服从参数为 n, p (0列表:
记为:
对于固定n 及 p，当 k
增加时 ，概率 P( X= k )
先是随之增加直至达
到最大值，随后单调
减少.
n =10, p = 0.7
n
Pk
特别当 n=1时，二项分布即为 ( 0---1 ) 分布
▲
二项分布 的图形特点：
X ~ B( n , p )
▲
注
已知100个产品中有5个次品，现从中有放回
地取3次，每次任取1个。
因为，这是有放回地取 3 次，
依题意，每次试验取到次品的概率为 0.05
设 X ：为所取的 3个中的次品数，
于是，所求概率为：
则
X ~ B (3, 0.05)
例9.
解:
求: 在所取的 3个产品中恰有 2个次品的概率.
所以，这3 次试验的条件完全相同且独立。
因此，它是贝努利试验.
若将例9中的“有放回”改为“无放回”，
贝努利概型与古典
概型有何区别 ？
贝努里概型对试验结果没有等可能的要求，但要求:
（1）每次试验条件相同，各次试验相互独立
（2）每次试验只考虑两个互逆结果A 或
且
注
那么
各次试验条件就不同了，
就不是贝努利概型，
此时，只能用古典概型求解。
若一年中参加人寿保险者里面每个人死亡的概率为0.005，现有10000个这类人参加人寿保险.
试求：在未来一年中在这些保险者里面:
(1).有10人死亡的概率
(2).死亡人数不超过10人的概率.
设 X: 在未来一年中这些保险者中的死亡人数.
(1). 有10人死亡的概率为：
例10.
解:
显然，这是贝努利概型.
则：
(2). 死亡人数不超过 10人的概率是:
这些计算是非常麻烦的，现给出一个当 n 很大，p 很小时的近似计算公式，即二项分布的 Possion 逼近.
泊松(Possion)
定理
设 是一常数，
且
则对任一固定的非负整数 k 有：
泊松定理中 的值有表可查
例11. 用泊松定理中的近似公式计算例 10
解：
一般的用 去近似二项分布的 当：
时近似效果颇佳
时近似效果更好
见浙大概率统计第二版的P 372的附表3
1万人参加
保险，每人
的死亡率为
0.005.
求：10人死
亡；小于10
人死亡的概
率。
注
这里 附表3 没有列入，n 确实很大时更进
一步的计算将在第五章介绍中心极限定理之后
再来解决比较方便.
若现将“ 每个人死亡的概率改为 0.0005 ”，则
从而：
注
设有80 台同类型设备，各工作是相互独立的，
发生故障的概率都是0.01，且一台设备的故障
能由一个人处理。现考虑两种配备维修工人的方法：其一是由4人维护，每人负责 20台；其
二是由 3人共同维护80台。
试比较：这两种方法在设备发生故障时不能及时维
修的概率大小.
（1）在第一种配备方法中
在 80 台中发生故障而不能及时维修的概率为：
解：
人维护的20台中发生故障不能及时维修
人维护的20台中同一时刻发生故障的台数
例12
则：
（2）在第二种配备方法中
则，在 80 台中发生故障而不能及时维修的概率为:
而：
即：
台中同一时刻发生故障的设备台数
设
而：
经比较，采用第二种配备方法虽然人员减少，
每个人的任务加重(每人平均维护 27台），
但质量不仅没降低，反而提高了，
3. 泊松分布
若随机变量 X 的所有可能取值为：
则 称 X 服从参数为 的 泊松分布,记为：
定义：
结论
而它的分布律 (它所取值的各个概率) 为：
其中
是常数
故应采用第二种配备方法。
泊松分布满足分布律的两个条件：
▲
▲
泊松分布 的图形特点：
注
在实际中，许多随机现象服从或近似 服从泊
松分布。
二项分布与泊松分布的关系
▲
（这是1837 年由法国数学家泊松引入的 ）
比如：
由泊松分布的定义及泊松定理可知：
当 泊松分布是二项分布的
近似。
▲
事件称作稀有事件。
常把在每次试验中出现概率很小的
由泊松定理，n 重贝努里试验中 稀有事件出现
的次数近似地服从泊松分布.
地震、火山爆发、特大洪水、
意外事故 等等
比如：
一家商店拟采用科学管理，由该商店过去的销
售记录知道，某种商品每月的销售数可以用参
数λ= 5 的泊松分布来描述，现为了以 95% 以
上的把握保证不脱销。
解:
设 X：该商品每月的销售数
由已知 X 服从参数λ= 5 的泊松分布：
又设商店在月底应进该种商品 m 件
求满足
P( X≤ m ) > 0.95
的最小的 m
进货数
销售数
例13.
问：商店在月底至少应进该种商品多少件？
则问题为
查泊松分布表得：
P( X > m ) ≤ 0.05
也即求：
于是得: m +1=10,
或
即：m = 9（件）
求满足
P( X≤ m ) > 0.95
的最小的 m

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