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2024年中考数学一轮复习精讲精练
模块四 三角形
专题4 相似三角形
相似 比例线段 比例线段 在四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即a∶b＝c∶d，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．
比例的基本性质 ①如果a∶b＝c∶d，那么ad＝bc； ②如果ad＝bc(a，b，c，d都不等于0)，那么＝.
平行线分线段成比例和黄金分割 平行线分线段成比例 ①如图1，∵a∥b∥c，∴＝，或，或. ②推论：如图2，∵EF∥BC，∴＝，或.
黄金分割 如图，点C把线段AB分成两条线段AC和BC(AC＞BC)，如果＝，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比．其中＝≈0.618.
相似三角形 性质 (1)相似三角形的对应角相等，对应边的比等于相似比。 (2)相似三角形周长的比等于相似比。 (3)相似三角形面积的比等于相似比的平方。 (4)相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比。
判定 (1)平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。 (2)三边对应成比例，两三角形相似。 (3)两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。 (4)两角对应相等，两三角形相似。。
位似 定义 如果两个相似多边形任意一组对应顶点A，A′的连线都经过同一个点O，且有OA′＝kOA(k≠0)，那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心，k就是这两个相似多边形的相似比．
性质 ①位似多边形一定相似，位似多边形具有相似多边形的一切性质； ②位似多边形上任意一对对应点连线都经过位似中心，并且到位似中心的距离之比等于相似比.
找位似中心的方法 将两个图形的各组对应点连接起来，若它们的直线或延长线相交于一点，则该点即是位似中心．
相似 画位似图形的步骤 （1）确定位似中心； （2）确定原图形的关键点； （3）确定位似比，即要将图形放大或缩小的倍数； （4）作出原图形中各关键点的对应点； （5）按原图形的连接顺序连接所作的各个对应点．
相似模型 A字型 （1）如图1，公共角所对的边平行(DE∥BC)，则△ADE∽△ABC； （2）如图2，公共角的对边不平行，且有另一组角相等(∠AED＝∠ABC或∠ADE＝∠ACB)，则△AED∽△ABC.
8字型 （1）如图1，对顶角的对边平行(AB∥CD)，则△ABO∽△DCO； （2）如图2，对顶角的对边不平行，且有另一对角相等(∠B＝∠D或∠A＝∠C)，则△ABO∽△CDO.
母子型 已知：，结论：
一线三等角型（K型图） 已知：∠B=∠ACE=∠D，结论：△ABC∽△CDE
双垂型 已知：∠C=90°，CD为斜边AB上的高 结论：△ABC∽△ACD∽△CBD
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【题型一】比例线段
【例1.1】（2022 丽水）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段，则线段的长是（ ）
A． B．1 C． D．2
解：过点作五条平行横线的垂线，交第三、四条直线，分别于、，
根据题意得，
∵，
∴，
又∵，
∴
故选：C
【例1.2】（2023 安徽）如图，点在正方形的对角线上，于点，连接并延长，交边于点，交边的延长线于点．若，，则（ ）

A． B． C． D．
解：∵四边形是正方形，，，
∴，，，
∵，
∴
∴，，
∴，
则，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
在中，，
故选：B．
【题型二】相似三角形的性质与判定
【例2.1】（2023 重庆）若两个相似三角形周长的比为1：4，则这两个三角形对应边的比是（　　）
A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：16
解：∵两个相似三角形周长的比为1：4，
∴这两个三角形对应边的比为1：4，
故选：B．
【例2.2】（2023 重庆）如图，已知，，若的长度为6，则的长度为（ ）

A．4 B．9 C．12 D．
解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故选：B.
【例2.3】（2023 乐山）如图，在平行四边形中，E是线段上一点，连结交于点F．若，则__________．

解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴,
∵，
∴，
∴．
故答案为：
【例2.4】（2023 黄冈）如图，矩形中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧交于点P，作射线，过点C作的垂线分别交于点M，N，则的长为（ ）

A． B． C． D．4
解：如图，设与交于点O，与交于点R，作于点Q，

矩形中，，
，
．
由作图过程可知，平分，
四边形是矩形，
，
又，
，
在和中，
，
，
，
，
设，则，
在中，由勾股定理得，
即，
解得，
．
．
，
．
，，
，
，即，
解得．
故选：A．
【例2.5】（2023 赤峰）如图，把一个边长为5的菱形沿着直线折叠，使点C与延长线上的点Q重合．交于点F，交延长线于点E．交于点P，于点M，，则下列结论，①，②，③，④．正确的是（ ）

A．①②③ B．②④ C．①③④ D．①②③④
解：由折叠性质可知：，
∵，
∴．
∴．
∴．
故正确；
∵，，
∴．
∵，
∴．
故正确；
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
故正确；
∵，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴与不相似．
∴．
∴与不平行．
故错误；
故选：A．
【例2.6】（2023 湖南）在中，是斜边上的高．

(1)证明：；
(2)若，求的长．
（1）证明：∵是斜边上的高．
∴，
∴，
∴
又∵
∴，
（2）∵
∴，
又
∴．
【例2.7】（2023 湖南）如图，，点是线段上的一点，且．已知．

(1)证明：．
(2)求线段的长．
（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
解得：．
【例2.8】（2023 眉山）如图，中，点E是的中点，连接并延长交的延长线于点F．

(1)求证：；
(2)点G是线段上一点，满足，交于点H，若，求的长．
（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
是的中点，
，
，
，
∴，
；
（2）解：四边形是平行四边形，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
设,则，
可得方程，
解得，
即的长为．
【例2.9】（2023 内蒙古）已知正方形ABCD，E是对角线AC上一点．
（1）如图1，连接BE，DE．求证：△ABE≌△ADE；
（2）如图2，F是DE延长线上一点，DF交AB于点G，BF⊥BE．判断△FBG的形状并说明理由；
（3）在第（2）题的条件下，BE＝BF＝2．求的值．
（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝CB＝CD，∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴∠BAC＝∠BCA＝∠DAC＝∠DCA＝45°，
在△ABE和△ADE中，
，
∴△ABE≌△ADE（SAS）．
（2）解：△FBG是等腰三角形，理由如下：
∵△ABE≌△ADE，
∴∠ABE＝∠ADE，
∴∠ABC﹣∠ABE＝∠ADC﹣∠ADE，
∴∠EBC＝∠EDC，
∵AB∥CD，
∴∠FGB＝∠EDC，
∴∠FGB＝∠EBC，
∵BF⊥BE，
∴∠FBE＝90°，
∴∠FBG＝∠EBC＝90°﹣∠ABE，
∴∠FGB＝∠FBG，
∴BF＝GF，
∴△FBG是等腰三角形．
（3）解：∵BE＝BF＝2，∠FBE＝90°，
∴∠F＝∠BEF＝45°，
∴∠BAC＝∠F，
∴∠AEG＝∠AGF﹣∠BAC＝∠AGF﹣∠F＝∠FBG，
∵∠AGE＝∠FGB，且∠FGB＝∠FBG，
∴∠AGE＝∠AEG，
∴AE＝AG，
∵EF＝＝＝2，BF＝GF＝2，
∴GE＝EF﹣GF＝2﹣2，
∵△ABE≌△ADE，
∴BE＝DE＝2，
∵AG∥CD，
∴△AGE∽△CDE，
∴＝＝＝﹣1，
∴＝﹣1，
∴的值为﹣1．
【例2.10】（2023 苏州）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，AC＝，BC＝2，点F在AB上，连接CF并延长，交⊙O于点D，连接BD，作BE⊥CD，垂足为E．
（1）求证：△DBE∽△ABC；
（2）若AF＝2，求ED的长．
（1）证明：∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∵BE⊥CD，
∴∠BED＝90°，
∵ 所对的圆周角为∠BDE和∠BAC，
∴∠BDE＝∠BAC，
∴△DBE∽△ABC；
（2）解：如图，过点C作CG⊥AB，垂足为G，
∵∠ACB＝90°，AC＝，BC＝2，
∴AB＝＝5，
∵CG⊥AB，
∴AG＝ACcosA＝×＝1，
∵AF＝2，
∴FG＝AG＝1，
∴AC＝FC，
∴∠CAF＝∠CFA＝∠BFD＝∠BDF，
∴BD＝BF＝AB﹣AF＝5﹣2＝3，
∵△DBE∽△ABC，
∴＝，
∴＝，
∴ED＝．
【题型三】相似三角形的应用
【例3.1】（2023 南充）如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小菲的眼睛离地面高度为，同时量得小菲与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为，则旗杆高度为（ ）

A． B． C． D．
解：如图所示，

由图可知，，，
.
根据镜面的反射性质，
∴，
∴，
，
，
.
小菲的眼睛离地面高度为，同时量得小菲与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为，
，，.
.
.
故选：B.
【例3.2】（2023 攀枝花）拜寺口双塔，分为东西两塔，位于宁夏回族自治区银川市贺兰县拜寺口内，是保存最为完整的西夏佛塔，已有近1000年历史，是中国佛塔建筑史上不可多得的艺术珍品．某数学兴趣小组决定采用我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的原理，来测量东塔的高度．东塔的高度为AB，选取与塔底B在同一水平地面上的E、G两点，分别垂直地面竖立两根高为1.5m的标杆EF和GH，两标杆间隔EG为46m，并且东塔AB、标杆EF和GH在同一竖直平面内．从标杆EF后退2m到D处（即ED＝2m），从D处观察A点，A、F、D在一直线上；从标杆GH后退4m到C处（即CG＝4m），从C处观察A点，A、H、C三点也在一直线上，且B、E、D、G、C在同一直线上，请你根据以上测量数据，帮助兴趣小组求出东塔AB的高度．
解：设BD＝x m，则BC＝BD+DG+CG＝x+46﹣2+4＝（x+48）m，
∵AB⊥BC，EF⊥BC，
∴AB∥EF，
∴△ABD∽△FED，
∴，即，
同理可证△ABC∽△HGC，
∴，即，
∴，
解得x＝48，
经检验，x＝48是原方程的解，
∴＝，
∴AB＝36m，
∴该古建筑AB的高度为36m．
【题型四】位似变换
【例4.1】（2023 遂宁）在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点成位似关系，则位似中心的坐标为（ ）

A． B． C． D．
解：由图得：，
设直线的解析式为：，将点代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为：，
所在直线与BE所在直线x轴的交点坐标即为位似中心，
∴当时，，
∴位似中心的坐标为，
故选：A．
【例4.2】（2023 嘉兴）如图，在直角坐标系中，的三个顶点分别为，现以原点O为位似中心，在第一象限内作与的位似比为2的位似图形，则顶点的坐标是（　　）

A． B． C． D．
解：∵的位似比为2的位似图形是，且，
，即，
故选：C．
【例4.3】（2023 盘锦）如图，△ABO的顶点坐标是A（2，6），B（3，1），O（0，0），以点O为位似中心，将△ABO缩小为原来的，得到△A′B′O，则点A′的坐标为 　 　．
解：∵以原点O为位似中心，把△ABC缩小为原来的，可以得到△A'B'O，点A的坐标为（2，6），
∴点A'的坐标是（2×，6×）或（2×（﹣），6×（﹣）），即（，2）或（﹣，﹣2）．
故答案为：（，2）或（﹣，﹣2）．
1．（2022 哈尔滨）如图，相交于点E，，则的长为（ ）
A． B．4 C． D．6
解：∵ ∴ ∴
∵，∴
∵ ∴ 故选：C．
2．（2023 朝阳）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，2），B（4，1），以原点O为位似中心，相似比为2，把△OAB放大，则点A的对应点A′的坐标是（　　）
A．（1，1） B．（4，4）或（8，2）
C．（4，4） D．（4，4）或（﹣4，﹣4）
解：∵以原点O为位似中心，相似比为2，把△OAB放大，点A的坐标为（2，2），
∴点A的对应点A′的坐标为（2×2，2×2）或（2×（﹣2），2×（﹣2）），即（4，4）或（﹣4，﹣4），
故选：D．
3．（2023 内江）如图，在中，点D、E为边的三等分点，点F、G在边上，，点H为与的交点．若，则的长为（　　）

A．1 B． C．2 D．3
解：、为边的三等分点，，
，，，
，是的中位线，
，
，
，
，即，
解得：，
，
故选：C．
4．（2023 江西）《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度如图，点，，在同一水平线上，和均为直角，与相交于点．测得，则树高______m．

解：∵和均为直角
∴，
∴，
∴
∵，
∴,
故答案为：．
5．（2023 长春）如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上．若，则和的周长之比为__________．

解：，
，
设周长为，设周长为，
和是以点为位似中心的位似图形，
．
．
和的周长之比为．
故答案为：．
6．（2023 成都）如图，在中，是边上一点，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，；②以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；③以点为圆心，以长为半径作弧，在内部交前面的弧于点：④过点作射线交于点．若与四边形的面积比为，则的值为___________．

解：根据作图可得，
∴，
∴，
∵与四边形的面积比为，
∴
∴
∴，
故答案为：．
7．（2023 东营）如图，正方形的边长为4，点，分别在边，上，且，平分，连接，分别交，于点，，是线段上的一个动点，过点作垂足为，连接，有下列四个结论：①垂直平分；②的最小值为；③；④．其中正确的是（ ）

A．①② B．②③④ C．①③④ D．①③
解： 为正方形，
，，
，
，
.
,
,
，
，
.
平分，
.
，
.
，
，
垂直平分，
故①正确.
由①可知，，，
，
，
，
由①可知，
.
故③正确.
为正方形，且边长为4，
，
在中，.
由①可知，，
，
.
由图可知，和等高，设高为，
，
，
，
.
故④不正确.
由①可知，，
，
关于线段的对称点为，过点作，交于，交于，
最小即为，如图所示，

由④可知的高即为图中的，
.
故②不正确.
综上所述，正确的是①③.
故选：D.
8．（2023 凉山）如图，在ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠CAB=∠ACB，过点B作BE⊥AB交AC于点E．

(1)求证：；
(2)若，，求的长．
（1）证明：，
，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形，
．
（2）解：四边形是平行四边形，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
解得：．
9．（2023 扬州）如图，点E、F、G、H分别是各边的中点，连接相交于点M，连接相交于点N．

(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若的面积为4，求的面积．
（1）证明：∵，
∴，
∵点E、F、G、H分别是各边的中点，
∴，
∴四边形为平行四边形，
同理可得：四边形为平行四边形，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：连接，

∵为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理可得：
∴，
∴，
∵，
∴．
10．（2023 江西）课本再现
思考 我们知道，菱形的对角线互相垂直．反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？ 可以发现并证明菱形的一个判定定理； 对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
定理证明
（1）为了证明该定理，小明同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程．
已知：在 ABCD中，对角线BD⊥AC，垂足为O．
求证： ABCD是菱形．
知识应用
（2）如图2，在 ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AD＝5，AC＝8，BD＝6．
①求证： ABCD是菱形；
②延长BC至点E，连接OE交CD于点F，若∠E＝∠ACD，求的值．
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO＝DO，
又∵BD⊥AC，垂足为O，
∴AC是BD的垂直平分线，
∴AB＝AD，
∴ ABCD是菱形．
（2）①证明：∵ ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，
∴AO＝CO＝AC＝4，DO＝BD＝3，
又∵AD＝5，
∴在三角形AOD中，AD2＝AO2+DO2，
∴∠AOD＝90°，
即BD⊥AC，
∴ ABCD是菱形；
②解：如图，设CD的中点为G，连接OG，
∴OG是△ACD的中位线，
∴OG＝AD＝，
由①知：四边形ABCD是菱形，
∴∠ACD＝∠ACB，
又∵∠E＝∠ACD，
∴∠E＝∠ACB，
又∵∠ACB＝∠E+∠COE，
∴∠E＝∠COE，
∴CE＝CO＝4，
∵OG是△ACD的中位线，
∴OG∥AD∥BE，
∴△OGF∽△ECF，
∴，
又∵OG＝，CE＝4，
∴．
1．（2023 北京）如图，直线AD，BC交于点O，AB∥EF∥CD，若AO＝2，OF＝1，FD＝2，则的值为 　　．
解：∵AO＝2，OF＝1，
∴AF＝AO+OF＝2+1＝3，
∵AB∥EF∥CD，
∴，
故答案为：．
2．（2023 东营）如图，△ABC为等边三角形，点D，E分别在边BC，AB上，∠ADE＝60°．若BD＝4DC，DE＝2.4，则AD的长为（　　）
A．1.8 B．2.4 C．3 D．3.2
解：∵△ABC是等边三角形，
∴BC＝AC，∠B＝∠C＝60°，
∴∠CAD+∠ADC＝120°，
∵∠ADE＝60°．
∴∠BDE+∠ADC＝120°，
∴∠CAD＝∠BDE，
∴△ADC∽△DEB，
∴，
∵BD＝4DC，
∴设DC＝x，
则BD＝4x，
∴BC＝AC＝5x，
∴，
∴AD＝3，
故选：C．
3．（2023 鄂州）如图，在平面直角坐标系中，与位似，原点O是位似中心，且．若，则点的坐标是___________．

解∶设
∵与位似，原点是位似中心，且．若，
∴位似比为，
∴，
解得，，
∴
故答案为：.
4．（2022 辽宁）如图，在正方形中，E为的中点，连接交于点F．若，则的面积为___________．
解：∵四边形是正方形，，
∴，，
∴，
∴，
∵E为的中点，
∴，
∴，，
∴，
∴；
故答案为3．
5．（2022 赤峰）如图，为了测量校园内旗杆AB的高度，九年级数学应用实践小组，根据光的反射定律，利用镜子、皮尺和测角仪等工具，按以下方式进行测量：把镜子放在点O处，然后观测者沿着水平直线BO后退到点D，这时恰好能在镜子里看到旗杆顶点A，此时测得观测者观看镜子的俯角α=60°，观测者眼睛与地面距离CD=1.7m，BD=11m，则旗杆AB的高度约为_________m．（结果取整数，）
解：由题意知∠COD=∠AOB=60°，∠CDE=∠ABE=90°，
∵CD=1.7m，
∴OD=≈1(m)，
∴OB=11-1=10(m)，
∴△COD∽△AOB．
∴，即，
∴AB=17(m)，
答：旗杆AB的高度约为17m．
故答案为：17．
6．（2023 黑龙江）如图，在正方形中，点分别是上的动点，且，垂足为，将沿翻折，得到交于点，对角线交于点，连接，下列结论正确的是：①；②；③若，则四边形是菱形；④当点运动到的中点，；⑤．（ ）

A．①②③④⑤ B．①②③⑤ C．①②③ D．①②⑤
解：四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
，故①正确，
将沿翻折，得到，
，
∵，
，故②正确，
当时，，
，
，即在同一直线上，
，
，
通过翻折的性质可得，，
∴，，
，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是菱形，故③正确，
当点运动到的中点，如图，

设正方形的边长为，则，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，，
，
在中，，故④错误，
，
，
，，
，
根据翻折的性质可得，
，
，
，故⑤正确；
综上分析可知，正确的是①②③⑤．
故选：B．
7．（2023 大连）如图，在正方形中，，延长至，使，连接，平分交于，连接，则的长为_______________．
解：如图，过作于，于，则四边形是矩形，，
∵平分，
∴，
∴，
∴四边形是正方形，
设，则，
∵，
∴，
∴，即，解得，
∴，
由勾股定理得，
故答案为：．
8．（2023 上海）如图，在梯形中，点F，E分别在线段，上，且，

(1)求证：
(2)若，求证：
（1）证明：，
，
在和中，，
，
．
（2）证明：，
，
，即，
在和中，，
，
，
由（1）已证：，
，
．
9．（2023 菏泽）（1）如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE⊥DF，垂足为点G．求证：△ADE∽△DCF．
【问题解决】
（2）如图2，在正方形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF，延长BC到点H，使CH＝DE，连接DH．求证：∠ADF＝∠H．
【类比迁移】
（3）如图3，在菱形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF＝11，DE＝8，∠AED＝60°，求CF的长．
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝∠ADE＝90°，
∴∠CDF+∠DFC＝90°，
∵AE⊥DF，
∴∠DGE＝90°，
∴∠CDF+∠AED＝90°，
∴∠AED＝∠DFC，
∴△ADE∽△DCF；
（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，AD∥BC，∠ADE＝∠DCF＝90°，
∵AE＝DF，
∴Rt△ADE≌Rt△DCF（HL），
∴DE＝CF，
∵CH＝DE，
∴CF＝CH，
∵点H在BC的延长线上，
∴∠DCH＝∠DCF＝90°，
又∵DC＝DC，
∴△DCF≌△DCH（SAS），
∴∠DFC＝∠H，
∵AD∥BC，
∴∠ADF＝∠DFC，
∴∠ADF＝∠H；
（3）解：如图3，延长BC至点G，使CG＝DE＝8，连接DG，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝DC，AD∥BC，
∴∠ADE＝∠DCG，
∴△ADE≌△DCG（SAS），
∴∠DGC＝∠AED＝60°，AE＝DG，
∵AE＝DF，
∴DG＝DF，
∴△DFG是等边三角形，
∴FG＝DF＝11，
∵CF+CG＝FG，
∴CF＝FG﹣CG＝11﹣8＝3，
即CF的长为3．2024年中考数学一轮复习精讲精练
模块四 三角形
专题4 相似三角形
相似 比例线段 比例线段 在四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即a∶b＝c∶d，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．
比例的基本性质 ①如果a∶b＝c∶d，那么ad＝bc； ②如果ad＝bc(a，b，c，d都不等于0)，那么＝.
平行线分线段成比例和黄金分割 平行线分线段成比例 ①如图1，∵a∥b∥c，∴＝，或，或. ②推论：如图2，∵EF∥BC，∴＝，或.
黄金分割 如图，点C把线段AB分成两条线段AC和BC(AC＞BC)，如果＝，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比．其中＝≈0.618.
相似三角形 性质 (1)相似三角形的对应角相等，对应边的比等于相似比。 (2)相似三角形周长的比等于相似比。 (3)相似三角形面积的比等于相似比的平方。 (4)相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比。
判定 (1)平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。 (2)三边对应成比例，两三角形相似。 (3)两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。 (4)两角对应相等，两三角形相似。。
位似 定义 如果两个相似多边形任意一组对应顶点A，A′的连线都经过同一个点O，且有OA′＝kOA(k≠0)，那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心，k就是这两个相似多边形的相似比．
性质 ①位似多边形一定相似，位似多边形具有相似多边形的一切性质； ②位似多边形上任意一对对应点连线都经过位似中心，并且到位似中心的距离之比等于相似比.
找位似中心的方法 将两个图形的各组对应点连接起来，若它们的直线或延长线相交于一点，则该点即是位似中心．
相似 画位似图形的步骤 （1）确定位似中心； （2）确定原图形的关键点； （3）确定位似比，即要将图形放大或缩小的倍数； （4）作出原图形中各关键点的对应点； （5）按原图形的连接顺序连接所作的各个对应点．
相似模型 A字型 （1）如图1，公共角所对的边平行(DE∥BC)，则△ADE∽△ABC； （2）如图2，公共角的对边不平行，且有另一组角相等(∠AED＝∠ABC或∠ADE＝∠ACB)，则△AED∽△ABC.
8字型 （1）如图1，对顶角的对边平行(AB∥CD)，则△ABO∽△DCO； （2）如图2，对顶角的对边不平行，且有另一对角相等(∠B＝∠D或∠A＝∠C)，则△ABO∽△CDO.
母子型 已知：，结论：
一线三等角型（K型图） 已知：∠B=∠ACE=∠D，结论：△ABC∽△CDE
双垂型 已知：∠C=90°，CD为斜边AB上的高 结论：△ABC∽△ACD∽△CBD
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【题型一】比例线段
【例1.1】（2022 丽水）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段，则线段的长是（ ）
A． B．1 C． D．2
【例1.2】（2023 安徽）如图，点在正方形的对角线上，于点，连接并延长，交边于点，交边的延长线于点．若，，则（ ）

A． B． C． D．
【题型二】相似三角形的性质与判定
【例2.1】（2023 重庆）若两个相似三角形周长的比为1：4，则这两个三角形对应边的比是（　　）
A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：16
【例2.2】（2023 重庆）如图，已知，，若的长度为6，则的长度为（ ）

A．4 B．9 C．12 D．
【例2.3】（2023 乐山）如图，在平行四边形中，E是线段上一点，连结交于点F．若，则__________．

【例2.4】（2023 黄冈）如图，矩形中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧交于点P，作射线，过点C作的垂线分别交于点M，N，则的长为（ ）

A． B． C． D．4
【例2.5】（2023 赤峰）如图，把一个边长为5的菱形沿着直线折叠，使点C与延长线上的点Q重合．交于点F，交延长线于点E．交于点P，于点M，，则下列结论，①，②，③，④．正确的是（ ）

A．①②③ B．②④ C．①③④ D．①②③④
【例2.6】（2023 湖南）在中，是斜边上的高．

(1)证明：；
(2)若，求的长．
【例2.7】（2023 湖南）如图，，点是线段上的一点，且．已知．

(1)证明：．
(2)求线段的长．
【例2.8】（2023 眉山）如图，中，点E是的中点，连接并延长交的延长线于点F．

(1)求证：；
(2)点G是线段上一点，满足，交于点H，若，求的长．
【例2.9】（2023 内蒙古）已知正方形ABCD，E是对角线AC上一点．
（1）如图1，连接BE，DE．求证：△ABE≌△ADE；
（2）如图2，F是DE延长线上一点，DF交AB于点G，BF⊥BE．判断△FBG的形状并说明理由；
（3）在第（2）题的条件下，BE＝BF＝2．求的值．
【例2.10】（2023 苏州）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，AC＝，BC＝2，点F在AB上，连接CF并延长，交⊙O于点D，连接BD，作BE⊥CD，垂足为E．
（1）求证：△DBE∽△ABC；
（2）若AF＝2，求ED的长．
【题型三】相似三角形的应用
【例3.1】（2023 南充）如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小菲的眼睛离地面高度为，同时量得小菲与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为，则旗杆高度为（ ）

A． B． C． D．
【例3.2】（2023 攀枝花）拜寺口双塔，分为东西两塔，位于宁夏回族自治区银川市贺兰县拜寺口内，是保存最为完整的西夏佛塔，已有近1000年历史，是中国佛塔建筑史上不可多得的艺术珍品．某数学兴趣小组决定采用我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的原理，来测量东塔的高度．东塔的高度为AB，选取与塔底B在同一水平地面上的E、G两点，分别垂直地面竖立两根高为1.5m的标杆EF和GH，两标杆间隔EG为46m，并且东塔AB、标杆EF和GH在同一竖直平面内．从标杆EF后退2m到D处（即ED＝2m），从D处观察A点，A、F、D在一直线上；从标杆GH后退4m到C处（即CG＝4m），从C处观察A点，A、H、C三点也在一直线上，且B、E、D、G、C在同一直线上，请你根据以上测量数据，帮助兴趣小组求出东塔AB的高度．
【题型四】位似变换
【例4.1】（2023 遂宁）在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点成位似关系，则位似中心的坐标为（ ）

A． B． C． D．
【例4.2】（2023 嘉兴）如图，在直角坐标系中，的三个顶点分别为，现以原点O为位似中心，在第一象限内作与的位似比为2的位似图形，则顶点的坐标是（　　）

A． B． C． D．
【例4.3】（2023 盘锦）如图，△ABO的顶点坐标是A（2，6），B（3，1），O（0，0），以点O为位似中心，将△ABO缩小为原来的，得到△A′B′O，则点A′的坐标为 　 　．
1．（2022 哈尔滨）如图，相交于点E，，则的长为（ ）
A． B．4 C． D．6
2．（2023 朝阳）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，2），B（4，1），以原点O为位似中心，相似比为2，把△OAB放大，则点A的对应点A′的坐标是（　　）
A．（1，1） B．（4，4）或（8，2）
C．（4，4） D．（4，4）或（﹣4，﹣4）
3．（2023 内江）如图，在中，点D、E为边的三等分点，点F、G在边上，，点H为与的交点．若，则的长为（　　）

A．1 B． C．2 D．3
4．（2023 江西）《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度如图，点，，在同一水平线上，和均为直角，与相交于点．测得，则树高______m．

5．（2023 长春）如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上．若，则和的周长之比为__________．

6．（2023 成都）如图，在中，是边上一点，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，；②以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；③以点为圆心，以长为半径作弧，在内部交前面的弧于点：④过点作射线交于点．若与四边形的面积比为，则的值为___________．

7．（2023 东营）如图，正方形的边长为4，点，分别在边，上，且，平分，连接，分别交，于点，，是线段上的一个动点，过点作垂足为，连接，有下列四个结论：①垂直平分；②的最小值为；③；④．其中正确的是（ ）

A．①② B．②③④ C．①③④ D．①③
8．（2023 凉山）如图，在ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠CAB=∠ACB，过点B作BE⊥AB交AC于点E．

(1)求证：；
(2)若，，求的长．
9．（2023 扬州）如图，点E、F、G、H分别是平行四边形ABCD各边的中点，连接相交于点M，连接相交于点N．

(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若的面积为4，求平行四边形ABCD的面积．
10．（2023 江西）课本再现
思考 我们知道，菱形的对角线互相垂直．反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？ 可以发现并证明菱形的一个判定定理； 对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
定理证明
（1）为了证明该定理，小明同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程．
已知：在 ABCD中，对角线BD⊥AC，垂足为O．
求证： ABCD是菱形．
知识应用
（2）如图2，在 ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AD＝5，AC＝8，BD＝6．
①求证： ABCD是菱形；
②延长BC至点E，连接OE交CD于点F，若∠E＝∠ACD，求的值．
1．（2023 北京）如图，直线AD，BC交于点O，AB∥EF∥CD，若AO＝2，OF＝1，FD＝2，则的值为 　　．
2．（2023 东营）如图，△ABC为等边三角形，点D，E分别在边BC，AB上，∠ADE＝60°．若BD＝4DC，DE＝2.4，则AD的长为（　　）
A．1.8 B．2.4 C．3 D．3.2
3．（2023 鄂州）如图，在平面直角坐标系中，与位似，原点O是位似中心，且．若，则点的坐标是___________．

4．（2022 辽宁）如图，在正方形中，E为的中点，连接交于点F．若，则的面积为___________．
5．（2022 赤峰）如图，为了测量校园内旗杆AB的高度，九年级数学应用实践小组，根据光的反射定律，利用镜子、皮尺和测角仪等工具，按以下方式进行测量：把镜子放在点O处，然后观测者沿着水平直线BO后退到点D，这时恰好能在镜子里看到旗杆顶点A，此时测得观测者观看镜子的俯角α=60°，观测者眼睛与地面距离CD=1.7m，BD=11m，则旗杆AB的高度约为_________m．（结果取整数，）
6．（2023 黑龙江）如图，在正方形中，点分别是上的动点，且，垂足为，将沿翻折，得到交于点，对角线交于点，连接，下列结论正确的是：①；②；③若，则四边形是菱形；④当点运动到的中点，；⑤．（ ）

A．①②③④⑤ B．①②③⑤ C．①②③ D．①②⑤
7．（2023 大连）如图，在正方形中，，延长至，使，连接，平分交于，连接，则的长为_______________．
8．（2023 上海）如图，在梯形中，点F，E分别在线段，上，且，

(1)求证：
(2)若，求证：
9．（2023 菏泽）（1）如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE⊥DF，垂足为点G．求证：△ADE∽△DCF．
【问题解决】
（2）如图2，在正方形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF，延长BC到点H，使CH＝DE，连接DH．求证：∠ADF＝∠H．
【类比迁移】
（3）如图3，在菱形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF＝11，DE＝8，∠AED＝60°，求CF的长．

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