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§1.4 条件概率与事件的独立性
A发生的概率，记为P(A|B).
在概率论中，有时不仅需要研究事件A发生的概
率P(A)，还需要考察另一个事件B发生条件下事件
为了定义条件概率，首先研究重复试验，设随
机试验T的样本空间为 ,A, B为T的事件. 在n次重
复试验中,事件B、AB发生的频数分别为 (B), (AB),
一、条件概率
其中 (AB)也是在事件B发生条件下A发生的频数.
因此,在B发生的条件下, A发生的频率为
由此引入条件概率的定义:
另一方面,几何概率角度出发,
注1. 如果B＝ , 则条件概率即为前面所定义的概率. 如果B≠ ,则条件概率相当于将样本空间缩小为B.
注2.
事件 A 发生的条件下事件
B 发生的条件概率.
设A、B为两事件, P ( B ) > 0 , 则
定义
称 为事件 B 发生的条件下事
件 A 发生的条件概率，记为
（1） 古 典 概 型: 可用缩减样本空间法;
（2） 其 它 概 型: 用定义与有关公式;
注3.条件概率的计算方法
条件概率也是概率, 故具有概率的性质：
非负性
规范性
可列可加性
上述三条性质对应于概率的公理化定义的三条性质,除此以外有下列性质:
有限可加性
可减性
是连续的.
例1 考虑有两个小孩的家庭,问其中至少有一个女
孩的家庭中, 另一小孩也是女孩的概率有多大
(假设生男,生女是等可能的)
单调性
加法公式
半可加性
B={至少有一个女孩家庭}
={(男,女)(女,男)(女,女)}
于是所求概率为
AB={至少有一个为女孩家庭中,
另一个小孩也是女孩} ={(女,女)}
解：根据题意样本空间为
Ω={(男,男)(男,女)(女,男)(女,女)}
例2 一类动物由出生起活到20或20岁以上的,
概率为0.8,活到25岁以上的概率为0.4,现假设此
类动物中有一动物为20岁,问其活到25岁以上的
解：设B:活到20或20岁以上; A:活到25岁以上
概率是多少
求P(A|B)
A B
利用条件概率求积事件的概率即乘法公式
推广
二、乘法公式
例3 一批产品共10件，其中3件为次品，每次从中任取一件不放回，问第三次才取到正品的概率等于多少？
解 A1表示第一次取得次品; A2 表示第二次取得次品
A3表示第三次取得正品，则
P(A3| A1 A2)＝7/8；
根据乘法公式有
P(A1 A2 A3)=P(A1)P(A2| A1)P(A3| A1 A2)＝0.0583.
P(A1)=3/10;
P(A2|A1)=2/9;
例4(Polya’s Model)一罐中有b只黑球, r只红球, 每次从中任取球放回，并放入同色球c只,共取了n
次球,问前面n1次摸到黑球,后面n2=n-n1次摸到红球的概率等于多少
A1表示第一次取得黑球;… An1 表示第n1次取得黑球;
解
An 表示第n次取得红球;
An1+1表示第n1+1次取得红球;…
这个模型曾被Polya作为传染病的数学模型，特别地，c=0表示有放回的摸球； c=-1表示不放回的摸球。
例5 已知袋中有3只红球, 2只白球.从袋中有放回地
B表示“第二次取得红球”,求P(B), P(B|A).
解
三、事件的独立性
取球两次, 每次取1球, 用A表示“第一次取得红球”;
事件 A 发生与否对 B 发生的概率没有影
定 义
设 A , B 为两事件，若
则称事件A与事件B 相互独立
响可视为事件A 与B相互独立.
注1. 两事件 A 与 B 相互独立是相互对称的
若
注2.若
则“事件 A 与 事件 B 相互独立”和
“事件 A 与 事件 B 互斥(互不相容)”
不能同时成立 (自行证明)
注3.若
两事件相互独立的性质
试证其一
事实上
性质1. A, B独立
独立
独立
独立.
性质2 . A、B两个事件独立，则
三事件 A, B, C 相互独立,是指下面
的关系式同时成立：
(1)
(2)
定义
注2)仅满足(1)式时,称 A, B, C 两两独立,也称 A, B, C 为两两独立的事件组.
注1)三事件A, B, C 相互独立,要求满足(1)(2)式, 也称 A, B, C 为相互独立的事件组.
注3) 关系式(1) (2)不能互相推出.
A, B, C 相互独立
A, B, C 两两独立
白、黑色，第四面涂有红、白、黑三种颜色
例6 有一均匀的正四面体, 三面分别涂有红、
将四面体向上抛掷一次, 观察向下一面出现的颜色。
设事件
A 红色
B 白色
C 黑色
则
本例说明 不能由 A, B, C 两两独立
A, B, C 相互独立
n 个事件 A1, A2, …, An 相互独立
是指下面的关系式同时成立
定义
两两独立的事件组未必是独立的事件组。
独立的性质
性质1. 若 n 个事件
A1, A2, …, An 相互独立
相互独立,其中
为

性质2.若 A1, A2, …, An 相互独立, 则
例7 已知事件 A, B, C 相互独立,证明事件
与
也相互独立
证
总结: 若 n 个事件 A1, A2, …, An 相互独立,将这n 个事件任意分成 k 组, 同一个事件不能同时属于两个不同的组, 则对每组的事件进行求和、积、差、对立等运算所得到的 k 个事件也相互独立.
概率是多少？(这三种品质相互独立).
解 分别用A、B、C表示具有上述品质的姑娘
则所求概率为
根据题意有
即十亿分之一。
例8 有一个单身汉，他梦想的姑娘有一笔直的鼻
梁，金色的头发，并有充分的概率统计知识，假
设对应的概率分别为0.01, 0.01, 0.00001, 那么他遇
到第一位姑娘(或随机挑一位)具有前三种品质的
例9 设每个人的血清中含肝炎病毒的概率
为0.4%, 求来自不同地区的100个人的
血清混合液中含有肝炎病毒的概率
解 设这100 个人的血清混合液中含有肝炎
病毒为事件 A, 第 i 个人的血清中含有
肝炎病毒为事件 Ai i =1,2,…,100
则
若Bn 表示 n 个人的血清混合液中含有肝
炎病毒，则
—— 不能忽视小概率事件,
小概率事件迟早要发生
一个元件(或系统)能正常工作的概率称为
元件(或系统)的可靠性
系统由元件组成,常见的元件连接方式：
串联
并联
1
2
2
1
系统的可靠性问题
例10
设 两系统都是由 4 个元件组成,每个元件
正常工作的概率为 p , 每个元件是否正常工
作相互独立.两系统的连接方式如下图所示，
比较两系统的可靠性.
A1
A2
B2
B1
S1:
A1
A2
B2
B1
S2:
注 利用导数可证, 当 时, 恒有
总结
一、条件概率
二、乘法公式
三、事件的独立性

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