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柯尔莫哥洛夫
( A. H. Колмогоров1903-1987 )
1939年任苏联科学院院士.先后当选美,法,意,荷,英,德 等国的外籍院士 及皇家学会会员. 为 20 世纪最有影响的俄国数学家.
俄国数学家
概率的公理化理论由前苏联数学家柯尔莫哥洛夫1933年建立.
§1.3 概率的公理化定义及其性质
柯尔莫哥洛夫为开创现代数学的一
系列重要分支作出重大贡献.
他建立了在测度论基础上的概率论
公理系统, 奠定了近代概率论的基础.
他又是随机过程论的奠基人之一,
其主要工作包括:
20年代 关于强大数定律、重对数
律的基本工作;
1933年在《概率论的基本概念》
一文中提出的概率论公理体系(希尔伯
特第6问题)
30年代建立的马尔可夫过程的两
个基本方程;
用希尔伯特空间的几何理论建立
弱平稳序列的线性理论;
40年代完成独立和的弱极限理论,
经验分布的柯尔莫哥洛夫统计量等;
在动力系统中开创了关于哈密顿系
统的微扰理论与K系统遍历理论;
50年代中期开创了研究函数特征的
信息论方法, 他的工作及随后阿诺尔德
的工作解决并深化了希尔伯特第13问题
——用较少变量的函数表示较多变量的
函数 ;
60年代后又创立了信息算法理论;
1980年由于它在调和分析, 概率论,
遍历理论 及 动力系统方面 出色的工作
获沃尔夫奖;
他十分重视数学教育,在他的指引
下,大批数学家在不同的领域内取得重
大成就.其中包括и.M.盖尔范德,B.и.
阿诺尔德, Я.Г.西奈依等人.
他还非常重视基础教育, 亲自领导
了中学 数学教科书的编写工作.
一个实数P ( A )与之对应, 且P(A)满足
非负性：
规范性：
可列可加性：
P(A)称为事件 A 的概率。
一、定义
设 是随机试验T 的样本空间，若能找到
为两两互不相容事件，
其中
一个法则，使得对于T 的每一事件A ,总有
P(A)是事件A的函数，自变量为事件A，其
称( , ,Ｐ)为概率空间.
｝值域为［0,1］.
定义域为｛A｜A

二、概率的性质
性质1 P( )=0
性质2 (有限可加性) 设
两两互不
性质3
性质4 (可减性)
相容，则
(单调性)
性质5.(加法公式) 对任意两个事件A, B, 有
推广：
半可加性
加法公式
加法公式
一般：
半可加性
右端共有
项.
加法公式
例1 对任意两个事件A, B, 有
B
A
B=AB+(B – A)
P(B)=P(AB)+
P(B – AB)
B - AB
AB
应用性质2
例2 P(A)=1/4, P(B)=1/2, 就下列三种情况
解(1)
P(B－A)=P(B)=1/2
(2)
P(B－A)=P(B)－P(A)=
(3)
P(B－A)=P(B)－P(AB)=
(1)A与B互不相容； (2)
求P(B－A).
由于A与B不相容，即
(3) P(AB)=1/8
应用例1
例3 设A , B满足 P ( A ) = 0.6, P ( B ) = 0.7,
在什么条件下， P(AB) 取得最大(小)值？
最大(小)值是多少？
解
—— 最小值
—— 最大值
最大值在 时取得.
最小值在
时取得.
例4一只口袋中有45只白球，5只黑球，今从中任取3只球，求其中有黑球的概率.
这个问题也可用如下的方法：
解 以A表示“取出的3只球中有黑球”, A i分别表示“取出的3只球中有i只黑球”, i=1, 2, 3,
显然A＝A 1∪A 2∪A 3, 且A 1, A 2, A 3两两互不相容
球全为白球” ，则
表示“取出的三个
解:
例5(几何概型)一口袋中装有N-1只黑球及一只白
球,每次从中随机地摸出一球,并换入一只黑球,这
样继续下去,问第k次才摸到白球的Pr等于多少
性质6. (连续性) 对任意的单调事件组
有
称概率P是连续的。
则称m是下连续的。
定义 对事件域 上的非负集函数m，若对
的非降的事件组
，即
有
则称m是上连续的。
同理 对事件域 上的非负集函数m，若对
的非增的事件组
，即
m既是下连续的又是上连续的，则称m是连续的。
引理：m是 上非负、规范的集函数，则m具有
可列可加性的充要条件是：
（1）m具有有限可加性；
（2）m在 是下连续的。
证明：
（1）显然成立。
（2）
设
则
且
两两互不相容。
由m的可列可加性，得
由m的可列可加性，不难推出
(i)
(ii)
两两互不相容，上式两边取极限
m具有有限可加性，得
令
由m是下连续的，得
性质6. (连续性) 对任意的单调事件组
有
证明：由引理知P具有下连续性；另一方面，
设
由下连续性有
即P具有上连续性。
解:
例6某人一次写了n封信,又写了n个信封,如果他任意地将n封信装入n个信封内,问至少有一个封信和信封是一致的概率等于多少
这个例子是历史上有名的匹配问题。
例7 把标有 1,2,3,4 的 4 个球随机地放入
标有1,2,3,4 的 4 个盒子中，每盒放一球，
求至少有一个盒子的号码与放入的球的号
码一致的概率
解 设 A 为所求的事件
设 Ai 表示 i 号球入 i 号盒， i = 1,2,3,4
则
由广义加法公式
例8某市有甲,乙,丙三种报纸,订每种报纸的人数分别占全体市民人数的30%,其中有10%的人同时定甲,乙两种报纸. 没有人同时订甲丙或乙丙报纸.求从该市任选一人,他至少订有一种报纸的概率.
解:设A,B,C分别表示选到的人订了甲,乙,丙报
总结
一、概率的公理化定义
二、概率的性质
性质1
性质2 (有限可加性)
性质3
性质4 若
性质5.(加法公式)
性质6. (连续性)

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