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§1.5 全概率公式与Bayes 公式
全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较复杂事件的概率, 它们实质上是加法公式和乘法公式的综合运用。
综合运用
加法公式
P(A B)=P(A)+P(B)
A、B互斥
乘法公式
P(AB)= P(A)P(B|A)
P(A)>0
问题：由简单事件的概率推出复杂事件的概率.
方法：复杂未知事件分解成两两互不相容事件之和.
定理1 设B为随机试验 T 中的一复杂事件，
上述公式称为全概率公式
一、全概率公式
事件A1 ，A2 ，… ，An构成一完备事件组, 则
A1
An
BA1
BA2
BAn
全概率公式
B
A2
应用乘法公式
称 P(Ai)为先验概率，它是由以往的经验
得到的， Ai是事件B的原因
　事件 B视为结果。
例1 甲乙两个口袋中各有3只白球,2只黑球,从甲袋
中任取一球放入乙袋中,求再从乙袋中取出一球
为白球的概率.
解
A2表示“甲袋中取出一黑球放入乙袋”
则
P(B|A1)=4/6, P(B|A2)=3/6
根据全概率公式有
P(A1)=3/5, P(A2)=2/5
设B表示“最后从乙袋中取出一球为白球”事件,
A1表示“从甲袋中取一白球放入乙袋”,
50颗以上麦粒的概率。
解 以B表示“这批种子任选一颗所结的穗含有50颗以上麦粒”事件。从这批种子中任取一颗为一，二，三，四等种子的事件分别记为A1，A2，A3, A4,则
例2 播种用的一等小麦种子中混有2%的二等种子，
1.5%的三等种子，1%的四等种子。用一，二，三、
四等种子结出的穗含有50颗以上麦粒的概率分别为
0.5，0.15，0.1，0.05，求这批种子所结的穗含有
=0.4825
P(A1)=95.5%, P(A2)=2%,
P(A3)=1.5%, P(A4)=1%,
P(B|A1)=0.5, P(B|A2)=0.15
P(B|A3)=0.1, P(B|A4)=0.05，
所以
例3 甲、乙、丙三人向同一飞机进行射击，击中飞
机的概率分别为0.4、0.5、0.7. 如果一人击中飞机,
飞机被击落的概率为0.2；两人击中飞机，飞机被
击落的概率为0.6；三人击中飞机，飞机必被击落；
求飞机被击落的概率.
解 以B表示事件“飞机被击落”，A0 表示事件“三人均
未击中飞机”，A1表示“三人中仅有一人击中飞机”，
A2表示事件“三人中有两人击中飞机”， A3表示事
件“三人同时击中飞机”，则根据题意有
P(A0) =(1－0.4)×(1－0.5) ×(1－0.7)=0.09,
P(A1)=0.4×(1－0.5)×(1－0.7)+
0.5×(1－0.4) ×(1－0.7)+0.7×(1－0.4)×(1－0.5)
=0.36,
P(A2)=0.4×0.5×(1－0.7)+0.5×0.7×(1－0.4)+
0.4×0.7×(1－0.5)=0.41,
P(A3)=0.4×0.5×0.7=0.14
P(B|A0)=0, P(B|A1)=0.2, P(B|A2)=0.6, P(B|A3)=1,
根据全概率公式有
从上述几个例子可以看出：将结果视为B，
然后找出原因Ai, 再利用全概率公式。
二、Bayes公式
贝叶斯 Thomas Bayes，英国人.1702年
出生于伦敦，做过神甫.1742年成为英
国皇家学会会员.1763年4月7日逝世.
贝叶斯在数学方面主要研究概率论.他
首先将归纳推理法用于概率论基础理论，并创立了贝叶斯
统计理论，对于统计决策函数、统计推断、统计的估算
等做出了贡献.1763年发表了这方面的论著对于现代概率
论和数理统计都有很重要的作用.贝叶斯的另一著作《机
被沿用至今. 贝叶斯公式是他在1763年提出来的.
会的学说概论》发表于1758年.贝叶斯所采用的许多术语
底患了A1，A2，…,An中的哪一种病,以便对症下药.
例4（专家系统）医疗诊断中，为了诊断病人到
对病人进行观察检查，症状记为事件B
P(Ai)，表示生Ai病的概率
P(B|Ai)，表示生Ai病有症状B的概率
P(Ai|B)，表示症状B由Ai引起的概率
若P(Ai|B), i=1,2,…,n中,最大的一个是P(A1|B),
我们便认为A1是生病的主要原因,下面的关键是:
Bayes公式
Remark:
后验概率
计算 P(Ai|B), i=1,2,…,n
上述公式称为Bayes公式.
定理1－2设B为一事件且P(B)>0,事件A1, A2, …,
An构成一完备事件组，且P(Ai )>0, i=1,2,…n，
则有
解 以B表示消费者买到一只次灯泡,A1,A2,A3分别表示买到的灯泡是甲、乙、丙厂生产的灯泡，根据题意得：
P(A1)=25%, P(A2)=35%, P(A3)=40%,
P(B|A1)=5%, P(B|A2)=4%, P(B|A3)=2%
(2)若消费者买到一只次品灯泡,问它是哪个
例5 某商店从三个厂购买了一批灯泡,甲厂占25%,
乙厂占35%,丙厂占40%,各厂的次品率分别为5%,
4%,2%,求
(1)消费者买到一只次品灯泡的概率
厂家生产的可能性最大。
所以买到乙厂产品的可能性最大。
ABCA，问传输的是信号AAAA的概率等于多少？
A3表示事件“传输的字符为CCCC”，则根据题意有
例6 通信渠道中可传输的字符为AAAA, BBBB,
CCCC三者之一，传输三者的概率分别为0.3、0.4、
0.3. 由于通道噪声的干扰，正确地收到被传输字母
的概率为0.6，收到其它字母的概率为0.2，假定字
母前后是否被歪曲互不影响，若收到的信号为
解 以B表示事件“收到ABCA”，A1表示“传输的字符
为AAAA”， A2表示事件“传输的字符为BBBB”，
P(A1)= 0.3, P(A2)=0.4, P(A3)=0.3,
P(B|A1)=0.6×0.2×0.2×0.6=0.0144,
P(B|A2)=0.2×0.6×0.2×0.2=0.0048,
P(B|A3)= 0.2×0.2×0.6×0.2=0.0048,
根据Bayes公式有
总结
全概率公式
Bayes公式

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