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1.6 贝努里试验概型
贝努里
Jacob Bernoulli
1654-1705
瑞士数学家
概率论的奠基人
贝努里(Jacob Bernoulli )简介
贝努里家簇祖孙三代出过十多位
数学家. 这在世界数学史上绝无仅有.
1694年,首次给出直角坐标和极坐
标下的曲率半径公式,同年关于双纽线
性质的论文,使伯努利双纽线应此得名.
贝努里幼年遵从父亲意见学神学,
当读了笛卡尔的书后,顿受启发,兴
趣转向数学.
此外对对数螺线深有研究, 发现
对数螺线经过各种变换后, 结果还是
对数螺线,在惊叹此曲线的奇妙之余,
遗言把对数螺线刻在自己的墓碑上,
并附以颂词:
纵使变化,依然故我
1695年提出著名的贝努里方程
1713年出版的巨著《推测术》,是
组合数学及概率史的一件大事.书中给
出的贝努里数、贝努里方程、贝努里
分布等, 有很多应用, 还有贝努里定理,
这是大数定律的最早形式.
n重Bernoulli试验中事件
A 出现 k 次的概率 记为
且
每次试验的结果与其他次试验无关——
称为这 n 次试验是相互独立的
试验可重复 n 次
每次试验只有两个可能的结果：
n 重贝努里(Bernoulli) 试验概型：
贝努里概型
n次,每次一只,求其中恰有k个白球的概率.
解 古典概型
设 B 表示n个球中恰有k个白球
例1 袋中有a个白球,b个黑球,有放回地取球
试验中，事件A发生的概率为p,则事件A发生k次的概率为
例2八门炮同时独立地向一目标各射击一
发炮弹,若有不少于2发炮弹命中目标时,目
标就被击毁.如果每门炮命中目标的概率为
0.6, 求目标被击毁的概率.
定理1（Bernoulli定理）
在n重的贝努里
解 设 i 门炮击中目标为事件Ai, i=2~8,
设目标被击毁为事件B,各炮命中概率 p = 0.6, 则
试验中，每次试验可能发生的结果为
，则在n次独立重复试验中
且
事件 发生的次数分别为
的概率为
这里
定理2（Bernoulli定理）
在n重的独立重复性
三人分别为A,B,AB型的概率等于多少
例3 人类血型分为O,A,B,AB型,假定某地区居民中
有这四种血型的百分比分别为0.4,0.3,0.25,0.05; 从
该地区随机挑选5人, 问这五人中有两人为O型,其它
为1，求经过2n次移动后回到出发点的概率？
例4(平面上的随机游动)一质点从平面上的一点出
发,等可能地上、下、左、右移动，每次移动的距离
解：这是典型的贝努里试验
n=10，p=0.8，k=8
则
例5 某射手命中率为0.8，该选手对同一目标独立
射击10次，则恰为8次击中目标的Pr
例6 某工厂产品废品率为0.02，今独立产生了10件
产品，问其中至少有8件合格品的Pr等于多少？
解：n=10，p=0.98，k=8,9,10
P=b(8;10,0.98)+b(9;10,0.98)+ b(10;10,0.98)=0.9991
解
根据题意，前k-1次试验中事件A均不发生，第k次试验中A发生
记 Ai表示第i次试验中事件A发生,i=1,2,…,k
则 研究的事件为：
根据几何概型可以解决很多实际问题，如一个人要开门，他共有n把钥匙，其中仅有一把是能开门的，他随机地选取一把钥匙开门，问第S次试开时打开门的概率。
例7(几何概型)在n重贝努里试验中，事件A在第k次
试验中才发生的概率等于多少？
解
根据题意：k≥r，且r=1时即为例7的几何模型。
用B表示“在前k-1次试验中，事件A发生r-1次，第k次试验A发生”
则
例8(巴斯卡Pascal模型)在n重的贝努里实验中，r
为固定的正整数，求第r次事件A发生在第k次试验
的概率。
注意到
即
总 结
随机事件及其运算
概率的统计定义
概率的公理化定义与性质
条件概率与事件的独立性
全概率公式与Bayes公式
Bernoulli概型
第一章 复习题
1 什么是确定性现象？什么是随机现象？
在一定的条件下, 发生结果只有一个的现象,
称为确定性现象。
在一定的条件下, 或发生这样的结果,或发生
那样的结果,即发生的结果有多种可能性，称为随机现象。
2 简单随机试验是满足哪三个条件的试验？
一、简述题
（1）可在相同的条件下重复进行；
（2） 试验的可能结果不止一个,　但事先能明确所有可能发生的结果；
（3） 试验前不能预知出现哪种结果;
3 什么是随机事件？
随机试验的结果，是由若干个样本点组成集合。
4 什么是样本点和样本空间？样本空间如何分类？
试验的每一个可能发生的结果称为一个样本点,记为 .
随机试验的所有可能结果所组成的集合称为样本空间，记为 。（样本点的集合）
在一组恒定不变的条件下，将某试验重复进行n次,事件A发生的频率fn(A), 随着n 增大，总在某一固定常数p 左右摆动，则称 p 为事件A的概率, 记作 P(A).
5. 概率的统计定义是什么？
样本空间
有限样本空间
无限样本空间
可数样本空间
不可数样本空间
6.概率的公理化定义是什么？具有哪些性质？
7.条件概率的定义是什么？具有哪些性质？
8.两事件的独立性定义是什么？具有哪些性质？
9.什么是Bernoulli试验 几何概型是什么？
10. 写出全概率公式, 并说明全概率公式是解决
什么问题的？
二、证明：若P（A）>0,有
三、证明：A，B 独立
独立
(2)若消费者买到一只次品灯泡,问它是哪个
四、某商店从三个厂购买了一批灯泡,甲厂占25%,
乙厂占35%,丙厂占40%,各厂的次品率分别为5%,
4%,2%,求
(1)消费者买到一只次品灯泡的概率
厂家生产的可能性最大。
五、甲乙两人轮流掷一颗骰子，甲先掷，每当某人掷出1点时则交给对方掷，否则此人继续掷下去，试求第n次由甲掷的概率。
六、空战中甲机向乙机开火，击落乙机的
概率为0.2, 若乙机未被击落就进行还击，
击落甲机的概率为0.3, 若甲机未被击落就再攻击，如此反复，求甲、乙获胜的概率.

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