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§2.2离散型随机变量
定义
可列个, 则称 X 为离散型随机变量.
X
P
或
若
一、离散随机变量的概念
若随机变量 X 的可能取值是有限个或
X ~
或
分布律的特征性质
非负性
规范性
用这两条性质判断
一个函数是否是
概率分布
称上述公式为r.v. X 的概率分布或分布律.
X 0 1 2
P 0.3 0.6 0.1
例1.在3件正品2件次品组成的产品中，任取2
件，求取到次品数X 的概率分布。
解：r.v. X 所有可能取值为0，1，2
因为 表示“所取2件全为正品”，所以
同理
例2.(几何分布)对某一目标射击，直到击中为止，
X=射击次数；
记 1-p=q
解
P(X=k)=P(前k-1次未击中，第k次击中)
设每次射击命中率为p, 则求射击次数的分布律。
X 1 2 … k …
p qp …
…
P
(2) 0 – 1 分布 B(1, p)
X 0 1
P 1- p p
0 < p < 1
二、常见离散r.v.的分布
(1) 退化分布
P（X=C）=1
若随机变量X取常数C的概率为1，
这时称X服从退化分布或单点分布。
应用
场合
是否超标等等.
凡试验只有两个结果, 常用0 – 1
分布描述, 如产品是否合格、人
口性别统计、系统是否正常、电力消耗
为
或
称此随机变量r.v. X的分布服从参数为p
的0 – 1 分布 或两点分布或贝努里分布，记
n 重Bernoulli 试验中, X 是事件A 在 n 次试
则称 X 服从参数为n, p 的二项分布，记作
下面讨论二项分布的特征性质。
(3) 二项分布
验中发生的次数 , P (A) = p ,若
（2）0–1 分布是 n = 1 的二项分布；
（1）记
(3)
的充分必要条件为：
X 可表示为n个独立同服从0-1分布的
随机变量之和.
二项分布的取值情况
设
.039 .156 .273 .273 .179 .068 .017 .0024 .0000
0 1 2 3 4 5 6 7 8
0.273
由图表可见 , 当 时，
分布取得最大值
此时的 称为最可能成功次数
x
P

0

1

2

3

4

5

6

7

8
设
.01 .06 .14 .21 .22 .18 .11 .06 .02 .01 .002 < .001
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ~ 20


x
P





1

3

5

7

9




0

2

4

6

8

10

20
由图表可见 , 当 时，
分布取得最大值
0.22
二项分布中最可能出现次数的定义与推导
则称 为最可能出现的次数
当( n + 1) p = 整数时,在 k = ( n + 1) p与
( n + 1) p – 1 处的概率取得最大值
对固定的 n、p, P ( X = k) 的取值呈不 对称分布
固定 p, 随着 n 的增大，其取值的分布
趋于对称
当( n + 1) p 整数时, 在 k = [( n + 1) p ]
处的概率取得最大值
例2 独立射击5000次, 命中率为0.001,
解 (1) k = [( n + 1)p ]
= [( 5000+ 1)0.001] =5
求 (1) 最可能命中次数及相应的概率；
(2) 命中次数不少于1 次的概率.
(2) 令X 表示命中次数,则 X ~ B(5000,0.001)
小概率事件虽不易发生，但重
复次数多了，就成大概率事件.
本例
启示
由此可见日常生活中“提高警惕, 防火
由于时间无限, 自然界发生地震、海
啸、空难、泥石流等都是必然的，早晚的
同样, 人生中发生车祸、失恋、患绝
症、考试不及格、炒股大亏损等都是正常
现象, 大可不必怨天尤人, 更不要想不开而
防盗”的重要性.
事，不用奇怪，不用惊慌.
跳楼自杀.
若
其中
是常数，则称 X 服从参数为
的Poisson 分布.
或
记作
(4) Poisson 分布
泊松,法国数学家，1781年6月21日生于法国卢瓦雷省皮蒂维耶，1840年 4月25日卒于法国索镇。
泊松在青年时期曾学过医学，后因喜好数学，于1798年入巴黎综合工科学校深造。毕业时，因研究论文优秀而被指定为讲师，1806年任该校教授，1809年任巴黎理学院力学教授，1812年当选为巴黎科学院院士。
泊松的科学生捱开始于研究微分方程及其在摆的运动和声学理论中的应用。他工作的特色是应用数学方法研究各类物理问题，并由此得到数学上的发现。他对积分理论、行星运动理论、热物理、弹性理论、电磁理论、位势理论和概率论都有重要贡献。他一生共发表300多篇论著。
, 则对固定的 k
设
定理1. Poisson定理
Poisson定理说明若X ~ B( n, p), 则当n 较大，
p 较小, 而 适中, 则可以用近似公式
问题 如何计算
证
记
解：用X表示“投保人中物品损坏数”，则显然
事件“保险公司获利不少于20000元”
0.002，求保险公司获利不少于20000元的概率。
例3 某地方有2500人参加某种物品保险，每人年
初向保险公司交保费12元，若在这一年内该物品损坏,
则可从保险公司领取2000元。该物品损坏的Pr为
故所求Pr为
解 令X 表示命中次数, 则
令
此结果与用二项分布算得的结果
0.9934仅相差万分之一.
利用Poisson定理再求例2 (2)
X ~ B( 5000,0.001 )
例4 某厂产品不合格率为0.03, 现将产品
装箱, 若要以不小于 90%的概率保证每箱
中至少有 100 个合格品, 则每箱至少应装
解 设每箱至少应装100 + n 个, 每箱的不
合格品个数为X , 则X ~ B ( 100 + n , 0.03 )
由题意
3
(100+n)0.03=3+0.03n
取 = 3
多少个产品？
查Poission分布表, =3
得 n +1 = 6 , n = 5
故每箱至少应装105个产品,才能符合要求.
应用Poisson定理
在实际计算中,当 n 20, p 0.05时, 可用上
述公式近似计算; 而当 n 100, np 10 时,
精度更好
0 0.349 0.358 0.369 0.366 0.368
1 0.305 0.377 0.372 0.370 0.368
2 0.194 0.189 0.186 0.185 0.184
3 0.057 0.060 0.060 0.061 0.061
4 0.011 0.013 0.014 0.015 0.015
按二项分布 按Poisson
公式
k
n=10
p=0.1
n=20
p=0.05
n=40
p=0.025
n=100
p=0.01
=np=1
在某个时段内：
大卖场的顾客数；
某地区拨错号的电话呼唤次数；
市级医院急诊病人数；
某地区发生的交通事故的次数.
①
②
③
④
⑤
一个容器中的细菌数；
一本书一页中的印刷错误数；
一匹布上的疵点个数；
⑥
⑦
⑧
应
用
场
合
放射性物质发出的 粒子数；
都可以看作是源源不断出现的随机
质点流 , 若它们满足一定的条件, 则称为
Poisson 流, 在 长为 t 的时间内出现的质
点数 Xt ~ P ( t )
例5 设一只昆虫所生虫卵数为随机变
量 X ,
设各个虫卵是否能发育成幼虫是
相互独立的.
已知X ~ P( )，且每个虫卵发育
成幼虫的概率为 p.
求一昆虫所生的虫卵发育成幼虫数 Y 的概率分布.
解
昆虫
X 个虫卵
Y 个幼虫
已知
由全概率公式
故
从装有 a 个白球，b 个红球的袋中不放回地任取 n 个球, 以X 表示其中恰有k 个白球，则
当
时，
对每个 n 有
称X 服从超几何分布
(5)超几何分布
结 论
超几何分布的极限分布是二项分布
二项分布的极限分布是 Poisson 分布
事件A发生的概率为p的Bernoulli 试验序列中, X 表示事件A首次发生所需的试验中的次数，则
称X服从参数为p几何分布G(p)。
参数为p几何分布G(p)的充分必要条件为：无记忆性，即
几何分布的特征性质： X为取整数的r.v., 则X服从
6、几何分布G(p)
X 表示r个事件A发生所需的试验的次数，则
说明(1) r =1,则PA(r,p)=G(p);
(2)
表示第i个A发生所需的试验的次数
事件A发生的概率为p的Bernoulli 试验序列中,
(7) Pascal分布PA(r,p)（Pascal分布,
负二项分布）
Blaise Pascal
1623-1662
帕斯卡
法国数学家
物理学家
思想家
帕斯卡四岁丧母, 在父亲精心培养
下, 16岁时发现帕斯卡六边形定理,写成《圆锥曲线论》,由此定理导出400余条推论, 这是古希腊阿波罗尼奥斯以来圆锥曲线论的最大进步.
帕斯卡简介
1642年发明世界上第一台机械加法
计算机——帕斯卡计算器.
他应用此方法解决了摆线问题.
1654年研究二项系数性质,写出
《论算术三角形》一文,还深入讨论
不可分原理,这实际上相当于已知道
1647年他发现了流体静力学的帕斯卡原理.
三十岁时他曾研究过赌博问题,
对早期概率论的发展颇有影响.
1658年完成了《摆线论》,这给
G.W.莱布尼茨以很大启发,促使了微
积分的建立.
在离散型随机变量的分布中有个以帕斯卡名字命名的分布，它应用于重复独立试验中，事件发生第r次的场
帕斯卡还写过不少文学著作.
1654年他进入修道院,献身于哲
合.而有名的负二项分布正是其名字命名的，几何分布是特例.
学和宗教.
自动生产线调整以后出
现废品的概率为 p, 当生产
过程中出现废品时立即重新
进行调整, 求在两次调整之
间的合格产品数的分布.
问 题
已知运载火箭在飞行中进入其仪
器舱的宇宙粒子数服从参数为 2 的泊
松分布. 而进入仪器舱的粒子随机落
到仪器重要部位的概率为 0.1, 求落到
仪器重要部位的粒子数的概率分布 .
问题
解 (1) 设 需要配备 N 个维修工人,设 X 为90 台
设备中发生故障的台数，则 X ~ B( 90, 0.01)
设同类型设备90台，每台工作相互独立，
每台设备发生故障的概率都是 0.01. 在通常
情况下，一台设备发生故障可由一个人独立
维修，每人同时也只能维修一台设备.
问至少要配备多少维修工人，才能保证当设
备发生故障时不能及时维修的概率小于0.01
(2) 问3个人共同负责90台还是3个人各自独立负
责30台设备发生故障不能及时维修的概率低？
附例
令
则
N = 4
三个人共同负责90台设备发生故障不能
及时维修的概率为
设30台设备中发生故障的台数为 Y
~ B ( 30,0.01)
设每个人独立负责30台设备，第 i 个人负责的
30台设备发生故障不能及时维修为事件 Ai
则
三个人各独立负责30台设备发生故障不能及时
维修为事件
故 三个人共同负责90 台设备比各自负责好！
总 结
离散型随机变量的定义
常用分布
1、退化分布
2、0-1分布B(1,p)
3、二项分布B(n,p)
4、Poission分布P( )
5、超几何分布
6、几何分布G(p)
7、负二项分布NB(r,p)（Pascal分布）
总 结
离散型随机变量的定义
常用分布
1、退化分布
2、0-1分布B(1,p)
3、二项分布B(n,p)
4、Poisson分布P( )

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