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为X的分布函数(c.d.f.). 也常记为
设 X 为 r.v., x 是任意实数,称函数
一、定义
（
]
a
b
]
]
（
]
用分布函数计算X落在(a,b]里的概率：
§2.3、随机变量的分布函数及其性质
定理1.（分布函数的特征性质）
(1)(非降性)F(x)是单调非降函数，即
(3)(右连续性) F ( x ) 右连续，即
(2)(有界性)
即F(+ )=1,F(- )=0.
证明 （1）
（2）
（3）由于F(x)为单调非降函数，只须证明对于一
列单调下降的数列
成立
用分布函数表示概率
请
填
空
注2 任一函数F ( x ) 为分布函数的充分必要条件为：F ( x )满足上述三条性质。
注1 分布函数也可定义为
应改为左连续性。
这样定义的分布函数仍满足性质1－3，但性质3
例 F(x), G(x)为两个分布函数,
为一分布函数。
证明
例1 设离散型随机变量X的概率分布为
X 0 1 ２
P 0.2 0.5 0.3
（1）求X的分布函数F(x), 并画出F(x)的图形；
（2）求
二、举例
解 (1)由于X只可能取, 0, 1, 2, 故
当x<0时,
当0≤x<1时,
当1≤x<2时,
当2≤x时,
从而归纳上述结果得
或
0.2
0.7
1
满足分布函数的三条基本性质。
一般地，若离散型随机变量X的分布律为
从图形上可以看出F(x)的单调非降右连续的函数，
X x1 x2 … xk …
P p1 p2 … pk …
其中
表示对满足的
一切下标i求和。
称为单位阶梯函数，
也称为Heavyside函数。
则其分布函数为
值得注意的是, F(x)是(- ,+ )上的分段阶梯函数,
开区间外, 其余各段都是左闭右开的区间.
间断点就是随机变量X的取值点, 除最左边那段是
特别地，若随机变量以概率1取常数，即
则称这个分布为单点分布或退化分布，它的
分布函数为
例2 向平面上半径为1的圆D内任意投掷一个质点, 以X表示该质点到圆心的距离. 设这个质点落在D中任意小区域内的概率与这个小区域的面积成正比, 试求X的分布函数.
解 当 x<0时,
当0≤x≤1, 可得
其中k为比例常数, 又因为P{0 X 1}=1, 故k =1.
当x>1时,
综上所述, X的分布函数为
1
1
总结
一、定义
二、举例
若离散型随机变量X的分布律为
则其分布函数为
称为单位阶梯函数.

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