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2.4 连续型随机变量
一、连续型 r.v.的概念
定义 设随机变量X 的分布函数为F ( x )，
若存在一个非负可积函数 f ( x ), 使得
则称 X 是 连续型 r.v. ，称f ( x )为r.v. X的概率分布密度函数( p.d.f. )
(2) 规范性
Th1( 密度函数的特征性质)
(1) 非负性 f (x) 0，(- 注1 改变概率密度函数f(x)在个别点的函数值不影
响公式(2)规范性, 故对固定的分布函数, 概率密度
函数不是唯一的.
注2 对满足上述两条性质的任意函数必是某一随机变量的密度函数.
2 设随机变量X的概率密度为
求常数a.
答:
常利用这两个性质检验一个函数能否作为连续性 r.v.的 p.d. f.
1 证明
为概率分布密度函数。
率分布密度函数(p.d.f.)为f ( x )，则
(2) 若x是f(x)的连续点，则
(1) F ( x )为连续函数；（绝对连续函数）
(3)对任意实数c，则P{X=c}＝0。
(4)
Th2 设连续型r.v. X 的分布函数（c.d.f.)为F ( x ), 概
证明
(1)
所以F ( x )为连续函数；
(2)
定义
（1）
(3)
F(x)的连续性
对任意实数c，有 P{X=c}＝0。
(4)
连续性型随机变量定义
注1 密度函数的几何意义为
如图，设试验T 为“ 随机地向边
0 1 x
Y
1
长为1 的正方形内投点” 事件A
为“点投在黄、蓝两个三角形内,
不落在对角线上” ,
由于点可能投在正方形的对角线上, 所以
事件A未必一定发生.
求
注2 强调 概率为0 (1) 的事件未必为不可能(必然)
事件.
设随机变量X的分布函数为
求 f (x)
注3
注4从上节已经得到离散型随机变量的分布函数为
其中
若记
为
的广义导数，则离散
型随机变量的密度函数可以写成
这样离散与连续型随机变量就一致起来了。
需要指出的是有下列重要的性质
1)
2)
3) 对任意连续函数
，有
或
1)求X的分布函数F(x),2)求P{X (0.5,1.5)}
例1：已知随机变量X的概率密度为
解：当x < 0时， F (x ) = 0
当0 x < 1时，
P{X (0.5,1.5)}=F(1.5)-F(0.5)=3/4
当1 x < 2时，
当x 2时，
例2、设X的密度函数为
试确定常数A,并求
二、几个常用的连续型分布
则称X在(a, b)内服从均匀分布。记作 X~U(a, b)
1. 均匀分布 U(a, b)
若r.v.X的p.d.f.为
注1 对任意实数c, d (a都相同。
注2
均匀分布的特征性质
解释: 将(a,b)区间n等份，则落在每个小区间的
概率均为
，当n 时，概率趋于0。
说明r.v.X 落在（a, b）区间上的任一点的可能性
都有
均匀分布的特征性质：
X服从均匀分布U(a, b)的充分必要条件是:
r.v.X 落在(a, b)区间内的概率为1, 落在(a, b)区间外的概率为0;
(2) X 落在(a, b)子区间上概率与子区间长度成正比。
例3.公共汽车起点站于每时的10分、25分、55分
发车,设乘客不知发车时间，于每小时的任意时刻
随机地到达车站，求乘客候车时间超过10分钟的
概率。
15
45
解：设A—乘客候车时间超过10分钟
X—乘客于某时X分钟到达，则X U(0,60)
2. 指数分布
则称X服从参数为 >0的指数分布,记作 X~Exp( ).
若r.v.X的p.d.f.为
其分布函数为
指数分布的特征性质
证明
非负的连续型r.v.X服从指数分布的充分必要条件
是: 无记忆性,即
例 4.电子元件的寿命X(年）服从参数为0.1的指数分布
(1)求该电子元件寿命超过2年的概率。
(2)已知该电子元件已使用了1.5年，
求它还能使用两年的概率为多少？
解
例5.某公路桥每天第一辆汽车过桥时刻为T，设[0，t]时段内过桥的汽车数Xt 服从参数为 t的泊松分布，求T的概率密度。
解
当t ≤0时，
当t >0时，
=1- {在t时刻之前无汽车过桥}
于是
3. Gamma分布
说明
则称X服从参数为 >0, >0的Gamma分布，记为
正态分布是应用最广泛的一种连续型分布.
正态分布在十九世纪前叶由高斯(Gauss)加以推广，所以通常称为高斯分布.
德莫佛
德莫佛（De Moivre)最早发现了二项分布的一个近似公式，这一公式是正态分布的首次露面.
4.正态分布
(I) 正态分布的定义
若X 的 p.d.f. 为
则称 X 服从参数为 , 2 的正态分布。
记作 X ~ N ( , 2 )
为常数，
亦称高斯
(Gauss)分布
(II)正态分布 的图形特点
(a)正态分布的密度曲线是一条关于 对称的钟形
曲线. 特点是“两头小，中间大，左右对称”.
(b)图形关于直线 x = 对称, 即
f ( + x) = f ( - x)
(c)在 x = 时, f (x) 取得最大值
x = ± 为曲线 y = f (x) 的拐点;
曲线 y = f (x) 以 x 轴为渐近线;
曲线 y = f (x) 的图形呈单峰状
(d)从图形来看： P{ - x 有如下性质：
其中F(x)为随机变量 X的分布函数。
(e) 正态分布 的图形形状
2）固定 ，则图形完全由 确定.
1） 决定了图形的中心位置，固定 ，则图形完全
由 确定，图形的形状不变， 的改变，相当于图
形平移。
越大，X落在 附近概率越小，图形越扁平；
越小，X落在 附近概率越大，图形越尖峭；
实例 年降雨量问题，我们用上海99年年降雨量的数据画出了频率直方图。
从直方图，我们可以初步看出，年降雨量近似服从正态分布。
下面是我们用某大学大学生的身高的数据画出的频率直方图。
红线是拟合的正态密度曲线
可见，某大学大学生的身高应服从正态分布。
人的身高高低不等，但中等身材的占大多数，特高和特矮的只是少数，而且较高和较矮的人数大致相近，这从一个方面反映了服从正态分布的随机变量的特点。
除了我们在前面遇到过的年降雨量和身高外,在正常条件下各种产品的质量指标，如零件的尺寸；纤维的强度和张力；农作物的产量，小麦的穗长、株高；测量误差，射击目标的水平或垂直偏差；信号噪声等等，都服从或近似服从正态分布.
注意:
一种重要的正态分布
是偶函数，分布函数记为
其值有专门的表供查（P.222）
—— 标准正态分布N (0,1)
密度函数
注意:
-x
x
解
例6 设X～N(0, 1), 查表计算
P222 附表1
定理 X ~ N ( , 2)，则
证明
X ~ N ( , 2)
（1）
（2）
Ex7
求
解：
例8 设 X ~ N(1,4) , 求 P (0 X 1.6)
解
P236 附表1
例9 已知
且 P( 2 < X < 4 ) = 0.3,
求 P ( X < 0 ).
解.
由标准正态分布的查表计算可以求得，
这说明，X的取值几乎全部集中在[-3,3]区间
内，超出这个范围的可能性仅占不到0.3%.
当X～N(0,1)时，
3 准则
P(|X| 3)=2 (3)-1=0.9974
P(|X| 1)=2 (1)-1=0.6826
P(|X| 2)=2 (2)-1=0.9544
将上述结论推广到一般的正态分布,
时，
可以认为，Y 的取值几乎全部集中在
区间内.
这在统计学上称作“3 准则”
（三倍标准差原则）.
EX10.一种电子元件的使用寿命Ｘ（小时）服从正态分布Ｎ(100,152),某仪器上装有3个这种元件，三个元件损坏与否是相互独立的.求：使用的最初90小时内无一元件损坏的概率.
解:设Y为使用的最初90小时内损坏的元件数,
故
则Y~B(3,p)，其中
5.Beta分布
6.对数正态分布
服从对数正态分布。
总 结
连续型随机变量的定义
（1）p.d.f.的特征性质
（2）连续型随机变量的性质
常用分布
1均匀分布：特征性质？
2指数分布：特征性质
3Gamma分布
4正态分布
5Beta分布 6对数正态分布

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