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二维随机向量的概念
随机向量的边缘分布、条件分布与独立性
多维随机向量函数的分布
第三章 随机向量及其分布
一维随机变量及其分布
多维随机变量及其分布
由于从二维推广到多维一般无实质性的困难，我们重点讨论二维随机变量 .
本章内容是第二章内容的推广
到现在为止，我们只讨论了一维r.v及其分布. 但有些随机现象用一个随机变量来描述还不够，而需要用几个随机变量来描述.
在打靶时,命中点的位置是由一对r.v(两个坐标)来确定的.
飞机的重心在空中的位置是由三个r.v (三个坐标）来确定的等等.
§3.1 二维随机变量的概念
定义 设 为随机试验的样本空间，
则称( X , Y )为二维r.v.或二维随机向量
一、二维随机向量与分布函数定义
二维随机变量（X, Y）
X 和Y 的联合分布函数
X 的分布函数
一维随机变量X
注：X 和Y 的联合分布函数实际上是
的概率。
如果把(X,Y)看成平面上随机点的坐标.
取定x, y R1，
F(x, y)就是点(X, Y)落在平面上的以
(x, y)为顶点而位于该点左下方的无限矩形区域内的概率.
见右图.
(x, y)
二维分布函数F(x, y)的四条基本性质
1.(非降性) F(x, y)对每个变量单调不减.
固定 x , 对任意的 y1< y2 ,
固定 y , 对任意的 x1< x2 ,
F (x, y1) F (x, y2)
F (x1,y) F (x2, y)
2.(有界性) x, y R1 有 0≤F(x, y)≤1
F(-∞,-∞)=0， F(+∞,+∞)=1
y R1, F(-∞,y)=0，
x R1, F(x,-∞)=0，
x
y
(x, y)
x
y
x
y
x
y
F (x0 , y0) = F (x0+ 0 , y0 )
F (x0 , y0) = F (x0 , y0 + 0 )
3. （右连续性）
F (b,d) – F (b,c) – F (a,d) + F (a,c) 0
4. 对于任意 a < b , c < d
事实上
– F (b,c)
– F (a,d)
+ F (a,c)
F (b,d)
a
b
c
d
例1
设
讨论F (x, y)能否成为二维r.v.的分布函数？
解
x
y
x+ y = 1

(0,0)

(2,0)

(2,2)

(0,2)
故F(x, y)不能作为某二维 r.v.的分布函数.
注意 对于二维 r.v.
x
y
a
c
(a,c)
(a,+ )
(+ ,+ )
(+ ,c)
我们介绍了二维随机向量的概念,二维随机向量的分布函数及其性质.
二维随机向量也分为离散型和连续型,
下面我们分别讨论它们.
定义 若二维 r.v.(X ,Y )所有可能的取值为有限多对或无穷可列多对, 则称(X ,Y ) 为二维离散型 r.v.
二、二维离散型 r.v.及其概率特性
联合分布律
设( X ,Y )的所有可能的取值为
则称
为二维 r.v.( X ,Y ) 的联合概率分布,也简称 概率分布 或 分布律.
( X ,Y ) 的联合分布律
y1 yj
Y
X
x1
xi
显然，
二维随机变量（X,Y）
离散型
i, j =1,2, …
X 和Y 的联合概率分布
k=1,2, …
离散型
一维随机变量X
k=1,2, …
X的概率分布
设二维离散型随机向量(X,Y)的分布律为
二维离散 r.v.的联合分布函数
于是 (X,Y)的分布函数
已知联合分布律可以求出其联合分布函数; 反之, 由分布函数也可求出其联合分布律
其中
回，再从中任取一只球，每次从中取到各球是等可能的，以X,Y分别表示第一、二次取到球的号码，试求(X,Y)的联合概率分布函数。
例1 一个口袋中有三只大小完全相同的球,球
分别标号为1，2，2，从中任取一只球不放
解 依题意
X
Y
1 2
2
0 1/3
1/3 1/3
1
( X，Y )的分布律。
其分布函数为
X Y 1 2 3 4
1 0 0 0
2 0 0
3 0
4
例2、设r.v.X 在1，2，3，4中等可能取值，另一
r.v.Y在1到X中等可能取值，
求 r.v.( X，Y )的分布律。
解：
定义 设二维 r.v.( X ,Y )的分布函数为
F(x ,y ),若存在非负可积函数 f (x,y) ,
使得对于任意实数 x , y 有
则称( X ,Y ) 为二维连续型 r.v.
f (x,y) 为( X ,Y ) 的联合概率密度函数
简称概率密度函数简记 p.d.f.
三、二维连续 r.v.及其概率特性
连续型
一维随机变量X
X的密度函数
f(x)
二维随机变量（X,Y）
连续型
X和Y 的联合密度函数
联合密度与联合分布函数的性质
除 p.d.f. 的一般性质外还有下述性质
从而有
1
2
对每个变元连续, 在 的连续点处
3
P( X = a ,- < Y < + ) = 0
P(- < X < + , Y= a ) = 0
P( X = a ,Y = b ) = 0
若G 是平面上的区域，则
4
例3 、设r.v.(X,Y)的密度函数
（1）试确定常数c, （2）求分布函数F(x,y)
（3）求P(Y X).
解：（1）由
（2）由定义得
（3）
解: (1)
例4 设(X,Y)的概率密度函数为
其中A是常数. (1)求常数 A .
(2)求(X,Y)的分布函数；
四、常用分布
I.多项分布
生的结果
在n次独立重复试验中，每次试验有r个可能发
表示这n次独立重复试验中事件
发生的次数
称
服从多项分布。记作
注：
为
展开式中的一项。参看第一章第六节的贝努里定理。
II.超几何分布
一口袋中有N只球，其中有Ni只i号球,
N= N1+ N2+…+Nr ,从中任取n只球，以Xi表示取
出的取n只球中i号球的个数，则
称
服从超几何分布。记作
定义
设G 是平面上的有界区域, 面积为 S
若r.v.( X ,Y ) 的联合p.d.f. 为
则称( X ,Y )服从区域G上的均匀分布,
III.均匀分布
记作U ( G )
（1）(X,Y)落在G中某一区域A内的概率P{(X,Y) A},与A的面积成正比而与A的位置和形状无关.
P{(X,Y) A}= A的面积/S;
（2） (X,Y)落在G中的概率为1，落在G外的概率为0。
若(X,Y)服从G上的均匀分布，其特征性质为
例5 设(X ,Y ) ~ G 上的均匀分布,
求
(2)P ( Y > X 2 );
f ( x, y );
(3)( X ,Y ) 在平面上的落点到
y 轴距离小于0.3的概率.
解 (1)
y=x
1
0
x
y
1
G
(2)
y = x2
(3)
y = x
1
0
x
y
1
0.3
解:圆域x2+y2≤4的面积d=4
例7 设(X,Y)服从圆域 x2+y2≤4上的均匀分布.计算P{(X,Y) A},这里A是图中阴影部分的区域
∴ P{(X,Y) A}=0.5/4 =1/8
区域A是x=0,y=0和x+y=1三条直线所围成的三角区域,并且包含在圆域x2+y2≤4之内,面积=0.5
(IV) 二维正态分布
若r.v.( X ,Y ) 的联合为
则称( X ,Y ) 服从参数为 1, 12, 2, 22, 的
正态分布, 记作( X ,Y ) ~ N( 1, 12, 2 , 22, )
其中 1, 2>0, -1< < 1 .
Clear[f,x,y]
f[x_,y_]:=Exp[-(x^2+y^2)/2]/(2Pi)
Plot3D[f[x,y],{x,-3,3},{y,-3,3},ViewPoint->{-2.869, 1.790, 0.110},
AspectRatio->0.6,PlotPoints->30];
二维正态分布图
二维正态分布剖面图
令
为正定矩阵
推广
则二维正态联合
再令
p.d.f.为
总结
一、二维随机向量与分布函数定义
二、二维离散型 r.v.及其概率特性
三、二维连续 r.v.及其概率特性
四、常用分布
I.多项分布
II.超几何分布
III.均匀分布
(IV) 二维正态分布

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