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3.2.边缘分布、条件分布
与随机变量的独立性
3.2.边缘分布、条件分布
与随机变量的独立性
二维随机变量(X, Y)的分布函数F(x, y)描述了
X, Y这两个随机变量组成的整体的统计规律.
这个整体是由X和Y组成的, 所以在(X,Y)的分
一、边缘分布函数
问题：由(Ｘ,Ｙ)的分布导出Ｘ或Ｙ的分布．
FX(x), FY(y), 边缘分布函数可以由(X ,Y)的分
布函数F(x,y)中, 包含了关于X和Y的一切信息,
也包含了X与Y之间关系的一切信息. 我们称
其分量X及Y的分布函数为二维随机变量(X,Y)
关于X及关于Y的边缘分布函数, 分别记作
布函数F(x, y)来确定.
称为二维随机变量(X, Y)关于Y 的边缘分布函数.
称为二维随机变量(X, Y)关于X的边缘分布函数；
定义
例1.已知(X,Y)的分布函数为
求FX(x)与FY(y)。
1、离散型r.v.的边缘分布
则其分布函数为
若随机变量X与Y的联合分布律为
(X, Y)关于X的边缘分布律
其中
同理：
(X, Y)关于Y的边缘分布律
例2.已知(X,Y)的分布律为
X\Y 1 0 pi .
1 1/10 3/10
0 3/10 3/10
p. j
X 0 1 Y 0 1
P 3/5 2/5 P 3/5 2/5
2/5
3/5
2/5
3/5
X\Y 1 0
1 1/10 3/10
0 3/10 3/10
求X、Y的边缘分布律。
解：
边缘分布律为
称
为(X, Y )关于X 的边缘密度函数；
设(X, Y)～f (x, y),(x, y) R2,F(x, y)为分布函数,则
2、连续型r.v.边缘分布
例3. 证明: N( 1, 12; 2, 22, )的边缘密度函数fX(x)是N( 1, 12)的密度函数，而fY(y)是N( 2, 22)的密度函数，故二维正态分布的边缘分布也是正态分布。
为(X, Y)关于Y的边缘密度函数。
同理，称
同理
例4.设(X,Y)的概率密度为
(1)求常数c;
(2)求关于X,Y的边缘概率密度.
解:(1)由规范性
例5 设(X, Y)服从如图区域D上的均匀分布， 求关于X的和关于Y的边缘概率密度.
x=-y
x=y
二、条件分布
1. 离散型随机变量的条件分布律
例6.已知(X,Y)的分布律为
X \Y -1 0 pi .
-2 1/10 3/10 2/5
0 3/10 3/10 3/5
求X|Y = -1的条件分布律。
p.j 2/5 3/5
设随机变量X与Y的联合分布律为
(X, Y)～ P{X＝xi, Y＝ yj}＝ pij ，(i, j＝1, 2, … )，
X和Y的边缘分布律分别为
X|Y=-1 -2 0
P 3/4
为Y＝ yj的条件下，X的条件分布律;
若对固定的j, p.j>0, 则称
同理，对固定的i, pi. >0, 称
为X＝ xi的条件下，Y 的条件分布律;
P
P
2 连续型随机变量的条件分布
函数定义为
定义
给定的X＝x条件下, 随机变量Y的条件分布
亦记为
设随机变量(X, Y)的分布函数为
概率密度函数为
其边缘密度函数为
,则有
若记为X＝x条件下关于Y的条件密度函数
同理
例7.已知(X,Y)的概率密度为
x
y
1
(1)求条件概率密度
(2)求条件概率
解:
解、由Ex3知，
例8 (X,Y)~ N( 1, 12, 2, 22, ),求
三、随机变量的相互独立性
定义 如果对任意实数x, y, F(x, y)=FX(x)FY(y)
称随机变量X与Y独立.
这与事件的独立性
是一致的。
1.离散型r.v.的独立性
定理1.离散型r.v.(X,Y)的概率分布为
则X, Y 独立的充分必要条件为
其中
证明
根据定义X,Y 独立的充分必要条件为:
Ex9、 r.v.(X,Y) 分布律
X Y -1 0 2
1
2
3
显然有
因此 X,Y相互独立。
讨论 X,Y独立性？
定理2 设(X,Y)是二维连续型随机变量，X与Y独立的充分必要条件是
f(x, y)=fX(x) fY(y)
证明
2、连续型随机变量的独立性
根据定义X,Y 独立的充分必要条件为:
其中h(x), g(y)分别为x, y函数.
推论 设(X,Y)是连续型随机变量，f (x, y)为(X, Y)的
概率密度函数，则随机变量X, Y独立的充分必要条
件为
f (x, y)＝h(x) g(y)
f(x, y)=fX(x) fY(y)
EX10
已知随机变量(X,Y)的分布律为
且知X与Y独立，求a、b的值。
Y
X 1
2
0 0.15 0.15
1 a b
例11 设(X,Y)服从N( 1, 12 , 2, 22, )，证明 X与Y相
互独立的充要条件是 ＝0.
证明 必要性: (X, Y)的概率密度函数为
关于X及Y的边缘概率密度为：
因X, Y相互独立, 则
当x= 1, y＝ 2时, 有
充分性 当 ＝0时, 显然对于任意的x, y均成立,
则X,Y相互独立.
四．n维随机变量的边缘分布与独立性
定义：对任意的Borel点集B1,B2, , Bn,有
则称X1,X2,…,Xn相互独立。
结论1 设n维随机变量(X1，X2，…，Xn)的分布函数为F(x1,x2,…,xn), (X1,X2,…,Xn)的k（1 kFX1,X2（x1,x2)=F(x1,x2, , ... )
若关于Xk 的边缘分布函数为FXk(xk),k=1,2,…,n.
则X1,X2,...Xn 相互独立。
则离散型随机变量X1, X2, …, Xn相互独立。
数i1, i2, …, in及实数
有
结论2 (1)对于离散型随机变量的情形，若对任意整
(2) 设X1，X2，…，Xn为n 个连续型随机变量，若对任意的(x1, x2, …, xn) Rn，
f (x1, x2, …, xn)＝fX1(x1)fX2(x2)…fXn(xn)
几乎处处成立，则X1，X2，…，Xn相互独立。
结论3 设n维随机变量(X1,X2,…,Xn)的分布函数为FX(x1,x2,...xn)；m维随机变量(Y1,Y2,…Ym)的分布函数为FY(y1,y2,…ym), X1,X2,…,Xn, Y1,Y2,…Ym组成的n+m维随机变量（X1, X2,…,Xn, Y1,Y2,…Ym)的分布函数为F (x1,x2,...xn, y1,y2,…ym).
则n维随机变量(X1,X2,…,Xn)与m维随机变量(Y1,Y2,…Ym)独立。
如果
F (x1,x2,...xn ,y1,y2,…ym)=
FX(x1,x2,...xn) FY(y1,y2,…ym)
定理1 设 (X1,X2,…,Xn) 与 (Y1,Y2,…Ym) 相互独立,则
(1)Xi (i=1, 2, …, n))与Yj (j=1, 2, …, m)相互独立；
(2)若h, g是连续函数，则h(X1,X2,…,Xn)与
g(Y1,Y2,…Ym)相互独立.
Th2 设X1,X2,…,Xn为相互独立的随机变量，则
也是相互独立的，这里
Pf: 对任意的一维Borel点集
有
是任意的一元Borel可测函数。
这个定理的结论在直观上也是很明显的。因为既然
是相互独立的，也就是相互没有牵连，
则它们的函数也没有牵连，即相互独立。
例12 设(X,Y)为二维连续型r.v.，满足
（1）X与Y相互独立且概率密度分别为
（2）X与Y的联合概率密度为f(x,y)=g(x2+y2),
则X与Y服从正态分布。
证明
令
代入
则X与Y服从正态分布。
总结
一、边缘分布
二、条件分布
三、随机变量的相互独立性
四．n维随机变量的边缘分布与独立性

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