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§3.3 二维随机变量函数的分布
已知r.v.( X ,Y )的概率分布,
g(x, y) 为已知的二元函数,
利用分布函数的定义。
问题
方法
求 Z = g( X ,Y )的概率分布
§3.3 二维 r.v.函数的分布
一、二维离散型随机变量函数的分布
Ex1 设二维r.v.( X,Y )的概率分布为
X
Y
pij
-1 1 2
-1
0
求
的概率分布
解 根据( X,Y )的联合分布可得如下表格：
P
X +Y
X -Y
X Y
Y / X
( X,Y )
(-1,-1)
(-1,0)
(1,-1)
(1,0)
(2,-1)
(2,0)
-2 -1 0 1 1 2
0 -1 2 1 3 2
1 0 -1 0 -2 0
1 0 -1 0 -1/2 0
故得
P
X+Y
-2 -1 0 1 2
P
X - Y
-1 0 1 2 3
P
X Y
-2 -1 0 1
P
Y /X
-1 -1/2 0 1
一般地有下列结论
设二维离散型随机变量（X，Y）的分布为
则 Z＝g(X, Y)
P(X＝xi, Y＝yj)＝pij ，i, j＝1, 2, …
＝pk , k＝1, 2, …
P{Z＝zk}＝
(X,Y) (x1,y1) (x1,y2) … (xi,yj) …
P p11 p12 … pij …
Z=g(X,Y) g(x1,y1) g(x1,y2) … g(xi,yj) …
或
则 X + Y ~ P( 1+ 2)
Ex.2、设 X ~ P ( 1), Y ~ P ( 2), 且独立,
证明：X ~ P( 1), Y ~ P( 2), 则Z = X + Y 的所有可能
取值为 0,1,2, ,
可加性
EX3.设 X 与Y 相互独立, 且
X ~ B (n, p)，Y ~ B (m, p),
X + Y ~ B ( n + m , p)
证
Z = X + Y 的可能取值为
0,1,2, , n + m
（证明中用到 ）
则
可加性
k = 0,1,2, , n + m
所以 X +Y~ B ( n+m , p )
(1) 设 n m , 当 k n 时，
其中
严格证明
(2) 当 n < k m 时
(3) 当 m < k n + m 时
故 X + Y ~ B ( n + m , p)。
证二由二项分布背景,不难理解X+Y 表示做了n + m 重贝努里试验中事件A发生的次数.
求Z= g( X ,Y ) 的p.d.f.
方法: 先从求Z 的分布函数出发,将Z 的分布函数转化为( X ,Y )的事件
问题 已知 r.v.( X ,Y )的p.d.f.
然后对分布函数求导.
二、二维连续r.v.函数的分布
解 X与Y相互独立，故(X,Y）的概率密度为：
例4 设X, Y是相互独立的随机变量，且均服从
N(0， 2)的正态分布，求Z＝
的概率密度.
下面确定Z的分布函数FZ(z).
1）当z≤0时，
2）当z>0时，
设( X ,Y )的联合p.d.f.为 f (x,y), 则

z

z
x +y= z
或
I（ 和的分布）：Z = X + Y
特别地，若X ,Y 相互独立，则
或
或
称之为函数 f X ( z) 与 f Y ( z)的卷积
Ex5、作为和的分布的应用，我们可以证明：
（1）
且X,Y独立,则
（2）若
且
相互独立，
则
证明 (1)
（2）
则
由于
是数学分析中的Beta函数.
所以
即
依此类推
正态随机变量的结论
若X ,Y 相互独立,
则
相互独立
则
进一步:
说明：正态随机变量的线性组合仍服从正态分布。
是常数，
例6 已知
求
的密度,称Y服从自由度为n的
分布。
II. 差的分布
设( X ,Y )的联合p.d.f.为 f (x,y), 则
或
III. 商的分布
已知(X, Y)～f(x, y), (x, y) R2, 求
的密度。
y
x
G2
G1
特别，当X，Y相互独立时，上式可化为
其中fX(x), fY(y)分别为X和Y的密度函数。
的密度
三、随机向量的变换
的联合概率分布密度函数为
, 求
的联合分布密度
下面来讨论随机向量的变换问题，若
显然这是最一般的场合。当m=1时便是前面所讨论的随机向量函数的分布,当m=n=1时，便是单个随机变量函数的分布问题，与m=n=1的情况讨论一样,
当m=n时，
即
如果
为一一映射，则
其中J为坐标变换的雅可比行列式
这里假设上述偏导数存在且连续。
Ex7
为独立的随机变量，且均服从参数为1的指数
分布，求
的密度函数
解
意外的是，这里U,V是相互独立的，且U,V的密度函数分别为
显然U服从
分布
Ex8若X,Y相互独立且均服从N(0,1)，求
的密度函数。
解 令
此时
故
的密度函数为
由此可知 的密度函数为
这个分布称为瑞利分布
而
则服从
上的均匀分布
且
与
相互独立。
上述结果常用于产生正态分布的随机数，具体做
法如下，产生相互独立[0，1]上的均匀分布的随机
数U1,U2，令
则X,Y相互独立且均服从N(0,1)。
总结
I（ 和的分布）：Z = X + Y
II. 差的分布Z = X -Y
III. 商的分布Z = Y/X
的密度
随机向量的变换
习题课
例1 已知( X ,Y ) 的联合p.d.f.为
Z = X + Y ,求 f Z (z)
解法一(分布函数法)显然X ,Y 相互独立,且
x+y = z
当z 0 时，
1
y
x
1
当0 < z 1 时，
y
x
1
1
x+y = z

z

z
x+y = z
当1< z < 2 时，
z-1
1
y
x
1

z

z
1
y
x
1
x+y = z
2
2
当2 z 时，
解法二 公式法
z
1
z = x
z-1 = x
x
2
1
例2 已知 ( X ,Y ) 的联合 p.d.f.为
Z = X + Y ,求 f Z (z)
解法一 （公式法）
由公式（1）
z
x
z = x
z = 2x
x = 1
1
2
当 z < 0 或 z > 2 ,
z
z
z
z
当 0 ≤ z < 1,
当 1 ≤ z < 2,
f Z (z) = 0
这比用分布函数做简便.
解法二 （不等式组定限法）
考虑被积函数取非零值的区域
令不等式边边相等,解得 z 轴上的三个
分界点 0，1，2
当 或 时不等式组 无解
当 时不等式组 解为
当 时不等式组 解为
例3 已知( X, Y ) 的联合分布函数为
求Z = X / Y 的 p.d.f.
解
max{X ,Y }
P
1 0
0.75 0.25
例4 X, Y 相互独立, 都服从参数为 0.5 的
0-1分布. 求 M = max{X ,Y }的概率分布
解
Y
X
pij
1 0
1
0
0.25 0.25
0.25 0.25
设连续随机变量X ,Y 相互独立, X ~ FX (x),
Y ~ FY (y), M = max{X ,Y }, N = min{X ,Y },
求 M ,N 的分布函数.
推广
相互独立，且
设
则
例5 系统 L 由相互独立的 n 个元件组
(4) L 为 n 个取 k 个的表决系统 ( 即 n
个元件中有 k 个或 k 个以上的元件正
常工作时，系统 L 才正常工作).
(3) 冷贮备 ( 起初由一个元件工作, 其它 n – 1 个元件做冷贮备, 当工作元件失效时, 贮备的元件逐个地自动替换)；
成, 其连接方式为 (1)串联; (2)并联；
若 n 个元件寿命分别为
且
求在以上 4 种组成方式下, 系统 L 的
寿命 X 的 p.d.f.
解
(1)
(2)
(3)
n = 2 时，
t
x
x = t
(4)
Ex6若
且
相互独立,则称
服从自由度为n的t分布，记为
求V的密度函数.
解
且独立，则
的概率分布密度函数为
Ex7
证明
特别地
且独立，则
服从自由度为m,n的F分布，记
F~F(m,n),则其密度函数为
二维随机向量的概念
多维随机向量函数的分布
随机向量的边缘分布、
条件分布与独立性
总 结
问 题
设随机变量 X 与 Y 相互独立，且
求随机变量
的概率密度
函数
第三章 复习题
一、简述题
2.已知二维向量(X,Y)的分布函数F(x,y),
则随机变量Ｘ的分布函数与随机变量Ｙ的分布函数是什么？
1.给出统计学上三大分布
的定义.
３.二维连续型随机变量（Ｘ，Ｙ）的概率密度函数f(x,y), 则随机变量Ｘ的密度函数是什么 在X=x条件下，Ｙ的条件密度密度函数是什么
4.阐述二维离散型随机变量（Ｘ，Ｙ）独立的判定定理.
5 阐述二维连续型随机变量（Ｘ，Ｙ）独立的判定定理.
二、随机变量X,Y,Z独立同服从标准正态分布,求
的概率分布密度函数.称Ｕ服从Maxwell分布．
提示:
三、随机向量（X,Y）的联合密度函数为
求（１）确定常数c;
(2)边缘概率密度函数;
(3)X已知条件下Ｙ的条件概率密度函数;
(４)Ｐ（Ｙ＞０｜Ｘ＝１／２）；
(５)随机变量X, Y独立吗？说明理由．
四、随机向量（X,Y）概率分布为
Y
X 1 2 3 4
1
2
3
4 1/4 0 0 0
1/8 1/8 0 0
1/12 1/12 1/12 0
1/16 1/16 1/16 1/16
求(1)边缘概率分布;
(2)Y=1已知条件下X的条件概率分布;
(3) X的分布函数
(4)随机变量X, Y独立吗？说明理由．
五、随机变量X1, X2独立服从(0,1)上的均匀分布
求
的联合概率分布密度函数.

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