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第四章 随机变量的数字特征
r.v.的平均取值 —— 数学期望
r.v.取值平均偏离均值的情况— 方差
描述两 r.v.间的某种关系的数
—— 协方差与相关系数
条件期望与条件方差
特征函数
本
章
内
容
随机变量某一方面的概率特性
都可用数字来描写
分布函数能完整地描述 r.v.的统计特性, 但实际应用中并不都需要知道分布函数，而只需知道 r.v.的某些特征.
判断棉花质量时, 既看纤维的平均长度
平均长度越长,偏离程度越小, 质量就越
又要看纤维长度与平均长度的偏离程度。
例如：
好;
考察一射手的水平, 既要看他的平均环数是否高, 还要看他弹着点的范围是否小, 即数据的波动是否小.
由上面例子看到，与 r.v. 有关的
某些数值，虽不能完整地描述 r.v.但
能清晰地描述 r.v.在某些方面的重要
特征 , 这些数字特征在理论和实践上
都具有重要意义.
§4.1 数学期望
例4－1 某一班级有N个学生, 进行数学期终考试, 成绩统计如下:
学生成绩 …
得X分的人数 N1 N2 … Nk
P N1/N N2/N … Nk/N
求全班数学的平均成绩.(其中N1+ N2+…+ Nk =N)
一、数学期望的定义
1.离散型r.v.数学期望的定义
数学期望的概念源于此
由此可以看出, 随机变量的均值是这个随机变量取得一切可能数值与相应概率乘积的总和, 也是以相应的概率为权重的加权平均.
Def. 1. 设 X 为离散 r.v. 其分布为
的数学期望，记作 E( X ), 即
若无穷级数
绝对收敛,则称其和为 X
例2. r.v.X 为离散的分布律为
求r.v.X 的数学期望。
解
所以r.v.X 的数学期望不存在。
无穷级数
绝对收敛.
数学期望
取值，当改变求和顺序
时，不应该发生改变。
利用
是多少？
解 设X 为获奖的数值, 则X 的分布律为
例3 在有奖销售彩票活动中, 每张彩票面值2元,
一千万张设有一等奖20名, 奖金20万或红旗轿车；
二等奖1000名, 奖金3000元或25寸彩电；三等奖
2000名, 奖金1000元或洗衣机；四等奖100万名,
奖金2元, 问买一张彩票获奖的数学期望(收益)
X 0 2 1000 3000
20,0000
P 1-10011/100000000 100/1000 2/10000 1/10000 20/10000000
EX=200000*20/10000000+3000*1/10000
+1000*2/10000+2*100/1000
=1.1000
(1)分别化验每个人的血, 共需化验 n 次；
(2)分组化验, k 个人的血混在一起化验, 若
结果为阴性, 则只需化验一次; 若为阳性, 则
对 k 个人的血逐个化验, 找出有病者, 此时
k 个人的血需化验 k + 1 次.
设每人血液化验呈阳性的概率为 p, 且
每人化验结果是相互独立的.试说明选择哪
一方案较经济.
例4 为普查某种疾病, n 个人需验血. 验血方案有如下两种：
解 只须计算方案(2)所需化验次数的期望.
为简单计, 不妨设 n 是 k 的倍数，共分成
n / k 组.
设第 i 组需化验的次数为X i, 则
Xi
P
1 k + 1
若
则E (X ) < n
例如,
当 时, 选择方案(2) 较经济.
例5 X ~ B ( n , p ), 求 E( X ) .
解
例6 设 X ~ 参数为 p 的几何分布，求E ( X ).
解
特例 若Y ~ B ( 1 , p ), 则 E(Y) =p
例7 X ~ P ( ), 求 EX .
解
例8 甲乙两个射手的技术统计如下：
P
甲X
8 9 10
0.3 0.1 0.6
P
乙Y
8 9 10
0.2 0.5 0.3
甲乙两个射手谁的水平高？
设连续 r.v. X 的 p.d.f. 为
若广义积分
绝对收敛, 则称此积分为 X 的数学期望
记作 E( X ), 即
数学期望的本质 —— 加权平均，它是一个数不再是 r.v.
定义
2、连续型r.v. 数学期望
例9 X ~ N ( , 2 ), 求 E X .
解
练习 1.X~U(a,b),求E X
2.X~Exp( ),求 E X.
常见 r.v. 的数学期望
分布
期望
概率分布
参数为p 的
0-1分布
p
B(n,p)
np
P( )

分布
期望
概率密度
区间(a,b)上的
均匀分布
Exp( )
N( , 2)
注意 不是所有的 r.v.都有数学期望
例如：柯西(Cauchy)分布的密度函数为
但
发散
它的数学期望不存在!
设离散 r.v. X 的概率分布为
若无穷级数
绝对收敛，则
绝对收敛, 则
设连续型 r.v. 的 p.d.f. 为f(x),
若广义积分
定理1.
二、 r.v.函数 的数学期望
注：若g(x)= x,则根据定理1，有
这与定义是一致的。
设离散 r.v. (X ,Y ) 的概率分布为
定理2.
绝对收敛 , 则
若级数
设连续 r.v. (X ,Y )的联合 p.d.f. 为
f(x ,y),
若广义积分
绝对收敛, 则
注1：若g(x,y)= x,则根据定理2，有
注2：若 (X1,X2,…,Xn)的分布函数为F(x1,x2,…,xn),则
例10 设 (X ,Y ) ~ N (0,1;0,1;0), 求
的数学期望.
解
解 (1) 设整机寿命为 N ,
五个独立元件,寿命分别为
都服从参数为 的指数分布，若将它们
(1) 串联； (2) 并联
成整机，求整机寿命的均值.
例11
即 N ~ Exp( 5 ),
(2) 设整机寿命为
可见, 并联组成整机的平均寿命比串联
组成整机的平均寿命长11倍之多.
例12 设X ~ N (0,1), Y ~ N (0,1), X ,Y 相互独立，
求E (max(X ,Y )) .
解
D1
D2
其中 称为 概率积分
一般地，若
X ,Y 相互独立，则
所以
E (c ) = c
E (cX ) = c E (X )
E (X + Y ) = E (X ) + E (Y )
当X ,Y 独立时，E (X Y ) = E (X )E (Y ) .
常数
线性性质
三、数学期望的性质
反之未必成立，即
若E (X Y ) = E (X )E (Y )，X ,Y 不一定独立
若存在数 a 使 P(X a) = 1, 则 E (X ) a ；
若存在数 b 使 P(X b) = 1, 则 E (X ) b.
设 X 连续,p.d.f. 为 f (x), 分布函数为 F(x),
证
则
故
例13 将 4 个不同色的球随机放入 4 个盒子中, 每盒容纳球数无限, 求空盒子数的数学期望.
解一 设 X 为空盒子数, 则 X 的概率分布为
X
P
0 1 2 3
解二 再引入 X i ,i = 1,2,3,4
Xi
P
1 0
例14 设二维 r.v. (X ,Y ) 的 p.d.f. 为
求E(X), E(Y), E( X + Y ), E(X Y), E(Y / X)
解
由数学期望性质
X ,Y 独立
应用1 据统计65岁的人在10年内正常死亡的概率为
解
0. 98, 因事故死亡概率为0.02.保险公司开办老人事
故死亡保险, 参加者需交纳保险费100元.若10 年内
因事故死亡公司赔偿a 元, 应如何定 a ,才能使公司
可期望获益;
若有1000人投保, 公司期望总获益多少
设Xi 表示公司从第 i 个投保者身上所得
的收益, i =1~1000 . 则
Xi ~
0.98 0.02
100 100
由题设
公司每笔赔偿小于5000元, 能使公司获益.
公司期望总收益为
若公司每笔赔偿3000元, 能使公司期望
总获益40000元.
应用2 市场上对某种产品每年需求量为 X 吨 ，X ~ U [ 2000,4000 ], 每出售一吨可赚3万元 ,售不出去，则每吨需仓库保管费1万元，问应该生产这中商品多少吨, 才能使平均利润最大？
解
设每年生产 y 吨的利润为 Y
显然，2000 < y < 4000
显然，
故 y=3500 时, E(Y )最大, E (Y )= 8250万元
应用3 设由自动线加工的某种零件的内径 X (mm)~ N ( ,1).已知销售每个零件的利润T (元)与销售零件的内径 X 有如下的关系：
问平均直径 为何值时, 销售一个零件的平均利润最大？
解
即
可以验证，
零件的平均利润最大.
故
时, 销售一个
补 充 作 业
设 g(x) 是取正值的非减函数, X 为连续型 r.v., 且 E( g(X) )存在，
证明: 对任意常数 a
柯西
Augustin-Louis
Cauchy
1789 - 1857
法国数学家
柯 西 简介
法国数学家 27岁当选法国科学院院士
早在1811年就解决了拉格朗日向他提出的一个问题：凸多面体的角是否被它的面所决定？柯西作了肯定的回答.这一直是几何学中一个精彩的结果.
在概率论中他给出了有名的柯西分
布. 然而他一生中最重要的数学贡献在
另外三个领域：微积分学、复变函数和
微分方程.
柯西在代数学、几何学、误差理论以及
天体力学、光学、弹性力学诸方面都有出色
的工作，特别是他弄清了弹性理论的基本数
学结构，为弹性力学奠定了严格的理论基础.
在这三个领域中我们常常能见到以柯西
名字命名的定理、公式和方程等:
柯西积分定理;
柯西积分公式;
柯西-黎曼方程;
柯西判别法则;
柯西不等式;
柯西初值问题
《微积分在几何上的应用》 1826 年
柯西的著作大多是急就章，但都朴实无
华，有思想, 有创见. 他所发现和创立的定理
和公式, 往往是一些最简单、最基本的事实.
因而，他的数学成就影响广泛，意义深远.
柯西是一位多产的数学家，一生共发表
论文 800 余篇，著书7本.《柯西全集》共有
27卷，其中最重要的为：
《分析教程》 1821 年
《无穷小分析教程概论》 1823 年
若 X 服从柯西(Cauchy)分布,
其 p.d.f. 为
简记X~Cauchy( )分布.
性质 4 的逆命题不成立，即
若E (X Y ) = E (X )E (Y )，X ,Y 不一定独立
反例 1
X
Y
pij
-1 0 1
-1
0
1
0
p j
pi
[附录1]
X Y
P
-1 0 1
但
反例2
但
问 题
某民营企业生产的某产品每周的需求量 X (单位: 箱) 取[1 , 5]上的每个整数值是等可能的. 生产每箱产品的成本是300元,出厂价每箱900元.若售不出, 则每箱以100元的保管费借冷库保存. 问该企业每周生产多少产品能使获利的期望值最大？
总 结
一、数学期望的定义
二、 r.v.函数 的数学期望
三、数学期望的性质
线性性质
独立性性质
当X ,Y 独立时，E (X Y ) = E (X )E (Y ) .

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