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序 言
概率论与数理统计
是研究什么的？
概率统计是研究随机现象及其
规律性科学。 理论严谨, 应用广泛,
发展迅速. 不仅高等学校各专业都
此课程被教育部定为本科生考研的
数学课程之一，希望大家能认真学
好这门不易学好的重要课程.
开设了本课程, 而且在上世纪末，
无序隐有序，
悟 道 诗
严加安
随机非随意，
概率破玄机。
统计来解迷。
大量抛掷硬币
正面出现频率
字母使用频率
生产过程中的
废品率
在我们所生活的世界上,充满了不确定性
从抛硬币、掷骰子和玩扑克等简单的机会游戏,到复杂的社会现象;从婴儿的诞生,到世间万物的繁衍生息;从流星坠落,到大自然的千变万化……,我们无时无刻不面临着不确定性（随机性）.
从亚里士多德时代开始，哲学家们就
已经认识到随机性在生活中的作用，他
们把随机性看作为破坏生活规律、超越
了人们理解能力范围的东西. 他们没有
认识到有可能去研究随机性，或者是去
测量不定性.-不可知论的起源。
将不确定性（随机性）数量化，尝试研
究随机现象，是直到20世纪初叶才开始
的。还不能说这个努力已经十分成功了，
但就是那些已得到的成果，已经给人类
活动的一切领域带来了一场革命。
本学科的 ABC
概率—— 随机事件出现的可能性大小的度量
—— 其起源于博弈问题.
16世纪意大利学者开始研究掷骰子等赌博
中的一些问题；17世纪中叶，法国数学家B. 帕
斯卡、荷兰数学家C. 惠更斯 基于排列组合的方
法，研究了较复杂 的赌博问题， 解决了“ 合理
分配赌注问题” ( 即得分问题 ).
对客观世界中随机现象的分析产生了概率
论；使 概率论 成为 数学的一个分支的真正奠
基人是瑞士数学家J.伯努利；而概率论的飞速
发展则在17世纪微积分学说建立以后.
第二次世界大战军事上的需要以及大工业
与管理的复杂化产生了运筹学、系统论、信息
论、控制论与数理统计学等学科.
数理统计学是一门研究怎样去有效地收集、
整理和分析带有随机性的数据，以对所考察的
问题作出推断或预测，直至为采取一定的决策
和行动提供依据和建议的 数学分支学科.
统计方法的数学理论要用到很多近代数学
知识，如函数论、拓扑学、矩阵代数、组合数
学等等，但关系最密切的是概率论，故可以这
样说：概率论是数理统计学的基础，数理统计
学是概率论的一种应用. 但是它们是两个并列
的数学分支学科，并无从属关系.
本学科的应用
概率统计理论与方法的应用几乎遍及
所有科学技术领域、工农业生产和国民经
济的各个部门中. 例如
1. 气象、水文、地震预报、人口控制
及预测都与《概率论》紧密相关；
2. 产品的抽样验收，新研制的药品能
否在临床中应用，均要用到《假设检验》；
3. 寻求最佳生产方案要进行《实验设计》
和《数据处理》；
4. 电子系统的设计, 火箭卫星的研制及其
发射都离不开《可靠性估计》;
5. 处理通信问题, 需要研究《信息论》；
6. 探讨太阳黑子的变化规律时,《时间
序列分析》方法非常有用;
7. 研究化学反应的时变率，要以《马尔
可夫过程》 来描述;
8. 生物学中研究 群体的增长问题时，
提出了生灭型《随机模型》，传染病流行问
题要用到多变量非线性《生灭过程》；
9. 许多服务系统，如电话通信、船舶
装卸、机器维修、病人候诊、存货控制、
水库调度、购物排队、红绿灯转换等，都
可用一类概率模型来描述，其涉及到 的知
识就是 《排队论》.
目前, 概率统计理论进入其他自然科学
领域的趋势还在不断发展. 在社会科学领
领域 , 特别是经济学中研究最优决策和经
济的稳定增长等问题 , 都大量采用《概率
统计方法》. 法国数学家拉普拉斯(Laplace)
说: “ 生活中最重要的问题 , 其中绝大多数
在实质上只是概率的问题.”
英国的逻辑学家和经济学家杰文斯曾
对概率论大加赞美：“ 概率论是生活真正
的领路人, 如果没有对概率的某种估计, 那
么我们就寸步难行, 无所作为.
“ 得 分 问 题 ”
甲、乙两人各出同样的赌注，用掷
硬币作为博奕手段 . 每掷一次，若正面朝
上，甲得 1 分乙不得分. 反之，乙得1分，
甲不得分. 谁先得到规定分数就赢得全部
赌注. 当进行到甲还差 2分乙还差3分，就
分别达到规定分数时，发生了意外使赌局
不能进行下去，问如何公平分配赌注？
第一章 随机事件及其概率
随机事件及其运算
概率的统计定义
概率的公理化定义与性质
条件概率与事件的独立性
全概率公式与Bayes公式
Bernoulli概型
1.1 随机事件及其运算
●确定性现象—— 在一定的条件下, 发生结果只有一个的现象
一、随机现象与随机事件
●随机现象—— 在一定的条件下, 或发生这样的
结果,或发生那样的结果,即发生的结果有多种可能性
I. 自然现象
I. 自然现象
II.随机试验
III.随机事件
IV、样本空间
B. 太阳每天从东方升起；　
C. 异性电荷必然互相吸引.　
A. 在标准大气压条件下，温度达到100度的纯水必然沸腾； 　
●确定性现象—— 在一定的条件下, 发生结果只有一个的现象
●随机现象—— 在一定的条件下, 或发生这样的结
A. 抛一枚质地均匀的骰子所出现的点数；
B. 某电话台每小时内接到的呼唤电话数;
C. 明天的最高温度；
D. 新生婴儿的体重;
E. 抛一枚质地均匀的硬币.
果,或发生那样的结果,即发生的结果有多种可能性
例1－4 T4: 在一批灯泡中任取一只，测试某寿命。
上述试验具有如下共性：
例1－1 T1: 掷一枚质地均匀的硬币，观察其出现正面还是反面。
例1－2 T2: 掷一枚质地均匀的骰子，观察其出现的点数。
例1－3 T3: 记录某电话台一小时内接到的电话呼唤次数。
通常用T表示，举例如下：
●对某事物特征进行观察, 统称试验.
II.随机试验
●随机事件：随机试验的结果，称为随机
试验的可能结果不止一个,　但事先能明确所有可能发生的结果；
试验前不能预知出现哪种结果;
称此试验为简单随机试验，简称随机试验。
可在相同的条件下重复进行；
定义:若试验满足
事件，简称为事件。用大写字母A，B，C等
表示.
III.随机事件
例1－2 中，“出现偶数点”是随机事件；
例1－4中，“所取灯泡的寿命不超过100小时”
注1：一定条件下必然发生的事件称为必然
例1－2 中，事件“出现偶数点或奇数点”是必然事件,
={1, 2, …, 6}.
事件，用 表示。
例1－2 中，“既不出现偶数点又不出现
奇数点”，这样的事件为不可能事件。
概率论是通过随机事件来研究随机现象及规律性的。
注2：一定条件下必然不发生的事件称为不
可能事件，用 表示。
IV、样本空间
●样本点: 试验的每一个可能发生的结果称为一个样本点,记为 .
●样本空间：随机试验的所有可能结果所
组成的集合称为样本空间，记为 。
例1－1 T1: 掷一枚质地均匀的硬币，观察其出现正面还是反面。
例1－2 T2: 掷一枚质地均匀的骰子，观察其出现的点数。
例1－3 T3: 记录某电话台一小时内接到的电话呼唤次数。
例1－4 T4: 在一批灯泡中任取一只，测试某寿命。
有限样本空间
有限样本空间
可数的无限样本空间
不可数的无限样本空间
样本空间
有限样本空间
无限样本空间
可数样本空间
不可数样本空间
注1：样本空间可以由数组成，也可以不是数组成；
注2：最简单的样本空间由两个样本点构成；
注3：随机事件是由若干个样本点组成集合；
注4：仅由一个样本点组成的集合,它是随机试验的直接结果,称为基本事件，每次试验必定发生且只可能发生一个基本事件,也记为 。
事件
复合事件：由至少两个样本点组成集合
基本事件
注5：必然事件 是由全体样本点组成集合；
不可能事件是空集，用 表示。
II.随机试验
III.随机事件
一、随机现象与随机事件
确定性现象
随机现象
I. 自然现象
IV.样本空间
A

随机事件的关系和运算
雷同集合的关系和运算
文氏图 ( Venn diagram )
二、事件的关系和运算
—— A 包含于B
事件 A 发生必
导致事件 B 发生
且
1. 事件的包含
2. 事件的相等
A
B

或
事件 A与事件B 至
少有一个发生
的和事件 ——
的和事件 ——
—— A 与B 的和事件

3. 事件的并(和)
发生
或AB
事件 A与事件B 同时
发生
发生
的积事件 ——
的积事件 ——
—— A 与B 的积事件
4. 事件的交(积)
AB
A
B
Ω
AB= —A 与B 互不相容
A、 B不可能同时发生
A
B
两两互不相容
两两互斥
5.互不相容事件 (互斥事件)
—— A 与B 互相对立
每次试验 A、 B中有且只有一个发生
A
称B 为A的对立事件(or逆事件)，
记为
注意：“A 与B 互相对立”与
“A 与B 互斥”是不同的概念
6.对立事件（逆事件）
A-B发生
事件 A 发生，但
事件 B 不发生
7. 事件的差
S
A
B
A-B
思考：何时A-B= 何时A-B=A？
(1) A-B =
-A
(2)
A-B
—— A 与B 的差事件
8. 完备事件组
若 两两互斥，且
则称 为完备事件组，
或称 为 的一个划分.
AB=φ A与B互不相容 A与B无相同元素
AB A与B同时发生 A与B的交集
A B A发生且B不发生 A与B的差集
记 号
概 率 论
集 合 论
Ω 样本空间, 必然事件 空间
φ 不可能事件 空集
样本点 元素
A B A发生必然导致B发生 A是B的子集
A不发生、对立事件 A的余集
A与B至少有一发生 A与B的并集
B
A与B至少有一发生 A与B的并集
A
B
A与B至少有一发生 A与B的并集
事件的运算
1、交换律：A∪B＝B∪A，AB＝BA
2、结合律：(A∪B)∪C＝A∪(B∪C)
(AB)C＝A(BC)
3、分配律：(A∪B)C＝(AC)∪(BC)
(AB)∪C＝(A∪C)(B∪C)
4、德摩根(De Morgan)律：
规律：
A、B、 C 的运算关系表示下列事件：
例1.5：甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，
以A、B、C分别表示甲、乙、丙命中目标，试用
(4)
例1.6 设一个工厂生产三个零件，记A=“第一个零件为正品”， B=“第二个零件为正品”， C=“第三个零件为正品”，试用事件表示：
（1）没有一个零件为次品；
（2）只有A零件为次品；
（3）恰一个零件为次品；
（4）至少有一个零件为次品；
解（1） ABC
(2)
(3)
三、事件域与示性函数
集类：若干事件的集合称为集类。
域：若集类 为若干事件组成的集类，
满足
1) ；
则称 为 域或 代数。
2)若A ，
则
；
3)若
则
，
.
根据上述定义，不难得到如下性质
（1）

（2）


（3）


（4）


（5）


若 为样本空间 的所有子集构成的事件域，则显然其
域。
为
域。
如 1＝
2＝
，就为
由此可以看出
域可以选择得很简单，也可以选得
域。
复杂一点，这需要根据具体问题来选择合适的
即若 为 域，则 中事件的和、差、积等运算
仍落在 中。
定理1.1　设G为样本空间
的若干子集组成的集类，
域
则必存在唯一的
(G )具有下列性质
(1)G
(G );
(2) 若有一个
域包含G ，则该
域亦包含
(G )。
证明：
分两个步骤：
（1）存在包含G的
域;
（2）包含G的
域之交仍为
域.
即
(G )为包含G 的最小
域，称
(G )为由G 生成的
域。
,有
例1－7（一维Borel集）若
,即样本空间为实数集，
称由一切形如有界左闭右开的区间
构成的集类
生成的
域为Borel集，记为 。
对于任意给定的实数
因此Borel集 中包含了一切开区间、闭区间、半开区间、实数单点集，以及由它们经过并、交运算而得到的集合。这是一个相当大的集类。
域，称之为n维Borel集，记为 n 。
例1－8　如果事件类 满足
则称 为布尔代数。
1)


2)若
，则
3)若
，则

类似地，
为n维欧氏空间，由一切n维矩形生成的
这些结果由读者自己验证．
显然，布尔代数对于有限事件的和、差、积等运算是封
闭的。若 为 域，则 必为布尔代数．反之未必成立.
示性函数
（1）
互不相容
即
（2）
（3）
（4）
（5）
(3)
(2)
(1)
为两两互不相容事件即
的充分必要必要条件是
总 结
三、事件域与示性函数
I.自然现象
II.随机试验
III.随机事件
IV 样本空间：
一、随机现象与随机事件
样本点，样本空间，样本空间的类型
二、事件之间关系与运算：8种

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