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§2.5 随机变量函数的分布
方法 利用分布函数。
问题 已知 r.v. X 的p.d.f.
或分布律.
求 随机变量Y= g ( X )的密度函数
或分布律
一、离散型随机变量函数的分布律
如果g(xk)中有一些是相同的，把它们作适当
并项即可.
一般，若X是离散型 r.v . X的概率分布为
X
～
则 Y=g(X)
～
例1 已知 X 的概率分布为
X
pk
-1 0 1 2
求 Y 1= 2X – 1 与 Y 2= X 2 的分布律
解
Y 1
-3 -1 1 3
Y 2
1 0 1 4
X
pk
-1 0 1 2
Y 2
0 1 4
pk
Y 1
pk
-3 -1 1 3
二、连续型随机变量函数的分布
此法也叫“分布函数法”。
求 Y = g( X ) 的p.d.f.
方法：
从分布函数出发
已知 X 的p.d.f. f (x) 或分布函数
例2 、 r.v.X的密度函数为
求
的密度函数
解：
例3.设X U(-1,1),求Y=X2的分布函数与概率密度。
当y 0时
当0解
当y≥1时
定理1 若X～fX(x),y=g(x)是单调可导函数，则
其中x=h(y)为y＝g(x)的反函数.
2、公式法：一般地
本质
2、 注意变量的取值范围。
注：1 、只有当g(x)是x的单调可导函数时，才可用以上公式推求Y的密度函数；
例4
求
的密度函数。
解：
设
即服从柯西分布
例5.已知X N( , 2),求
解：
的概率密度.
关于x严格单调,反函数为
故
例6 已知 X 的 p.d.f.为
为常数，且 a 0, 求 fY ( y )
解
当a > 0 时，
当a < 0 时，
故
例如 设 X ~ N ( , 2) , Y = a X +b, 则
Y ~ N ( a +b, a2 2 )
特别地 ，若 X ~ N ( , 2) ,
则
设 X ~ N ( , 2) , Y = a X +b服从正态分布。
正态分布的线性组合仍服从正态分布。
Y ~ N ( a +b, a2 2 )
例7 X ~ Exp (2), Y = – 3X + 2 , 求
解
例8 已知 X ~ N (0,1) , Y = X 2 , 求 f Y (y)
解一 从分布函数出发
当 y 0 时，FY (y) = 0；
当 y>0 时，
[
y
y
[
]
[
故
解二 从 p.d.f. 出发
y
即
当 y < 0 时
当 y > 0 时
故
此答案是否
对 ？
应修正为
数，在每个区间上的反函数分别为xi=hi(y)
x
y
x1=h1(y)
y = g(x)
x2=h2(y)
x3=h3(y)
I1
I2
I3
一般地, y=g(x)是I1， I2，…， In上单调可导函
则 Y=g(X)的概率分布密度函数为
特别地，若g(x)为单调函数，则
y = g(x)
x
y
x
其中x=g-1(y)为y = g(x)
的反函数。
例9 设
求 f Y (y)
x
y
(1 - y)3
解
例10 设 X 的 p.d.f.为
求
的 p.d.f.
解
故当 y 0
或 y 1 时
f Y (y) = 0
由图可知, Y 的取
值范围为(0,1)
x

1
0
y

arcsiny
- arcsiny

1
x
0
当0 y < 1 时
故
注意 连续 r.v.函数的分布函数不一定是连续函数.
例如 X ~ U (0,2)
令Y=g (X)
x
y
1
FY (y)不是连续函数
三、随机变量的存在性定理
例.若r.v.X 的分布函数为
,对任意的
作为F(x)的反函数.(x称为分布函数的y分位点）。
(1)若r.v.
(2)若r.v.
,则
的分布函数为
F(x).
定理2. 若F(x)满足右连续性、非降性、且
则存在一个概率空间及其上的随机变量X，使X的
分布函数为F(x)。
点集，而P为直线上的勒贝格测度, ( , ,Ｐ)
构成一概率空间.定义随机变量
证明：
设样本空间
为[0,1]上的Borel
则
的分布函数为
定义
则X 有的分布函数为F(x)。（根据上一个实例）
设 r.v.X 服从(0,1)内均匀分布,
其中
求 r.v. Y 的 p.d.f.
问 题
X , 求其密度函数 f (x).
A
B
C
h
.M
在高为 h 的 ABC 中任取一点M , 点 M 到
求其密度函数 f (x).
问 题
A
B
C
h
M
AB 的距离为随机变量X ,
总结
一、离散型随机变量函数的分布律
二、连续型随机变量函数的分布
三、随机变量的存在性定理
第二章 复习题
一、简述题
1.随机变量的定义是什么 引入随机变量有何重要意义
2.随机变量如何分类
3.分布函数的定义是什么 并说明其特征性质.
4.连续型随机变量的定义是什么
5.概率密度函数的特征性质是什么
二、填空
分布
概率分布
B(1,p)
B(n,p)
P( )
分布
概率分布密度函数
U(a,b)
Exp( )
( , )
N( , 2)
三、设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X(单位：min)服从指数分布, 其概率密度为
某顾客在窗口等待服务, 若超过10分钟, 他就离开. 他一个月要到银行5次, 以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数, 写出Y的分布律, 并求
四.设
不查表计算
且
五.设随机变量X的概率密度为
求Y=X2的概率密度.
六、证明：随机变量X在(0, 1)上服从均匀分布的充要条件是
服从参数为2的指数分布.

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