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4.2 方差
上一讲我们介绍了随机变量的数学期望，它体现了随机变量取值的平均水平，是随机变量的一个重要的数字特征.
但是在一些场合，仅仅知道平均值是不够的.
一、方差的定义
例如，某零件的真实长度为a，现用甲、乙两台仪器各测量10次，将测量结果X 用坐标上的点表示如图：
若让你就上述结果评价一下两台仪器的优劣，你认为哪台仪器好一些呢？
乙仪器测量结果
甲仪器测量结果
较好
测量结果的均值都是 a
因为乙仪器的测量结果集中在均值附近
又如,甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮弹，其落点距目标的位置如图：
你认为哪门炮射击效果好一些呢
甲炮射击结果
乙炮射击结果
乙较好
因为乙炮的弹着点较集中在中心附近 .
为此需要引进另一个数字特征,用它来度量随机变量取值在其中心附近的离散程度.
这个数字特征就是我们这一讲要介绍的
----方差
方差是衡量随机变量取值 波动程度
的一个数字特征。
如何定义？
引例 甲、乙两射手各打了6 发子弹,每发
子弹击中的环数分别为：
甲 10, 7, 9, 8, 10, 6,
乙 8, 7, 10, 9, 8, 8,
问哪一个射手的技术较好？
解 首先比较平均环数
甲 = 8.3,
乙 = 8.3
有五个不同数
有
四
个
不
同
数
再比较稳定程度
甲：
乙：
乙比甲技术稳定，故乙技术较好.
进一步比较平均偏离平均值的程度
甲
乙
E [X - EX]2
若E [(X – EX)2]存在, 则称其为随机
称为 X 的均方差或标准差.
定义
即 D X = E {(X – EX)2}
变量 X 的方差, 记为D X 或 Var (X )
两者量纲相同
DX —— 描述 r.v. X 的取值偏离平均值
的平均偏离程度
—— 数
若 X 为离散型 r.v.，分布律为
若 X 为连续型r.v. ，概率密度为 f (x)
计算方差的常用公式：
证明:
几何解释
EX
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 xn
1 2 3 4 5 6 7 n
r.v. X的取值为xi, P{X=xi}=1/n
2. EX的取值相当于物理学上作一条直线，使所有
的点均匀分布在直线的两边。
3. DX的取值相当于平均误差；
4. DX=0的充分必要条件为r.v.X 的取值为常数。
1.方差非负，即DX 0；
1. 二项分布B(n, p)：
二、几个重要r.v.的方差
解法二:
设
第i次试验事件A发生
第i次试验事件A不发生
则
2. 泊松分布P( )：
3. 均匀分布U(a, b)：
4.指数分布Exp( )：
5. 正态分布N( , 2)
常见随机变量的方差
分布
方差
概率分布
参数为p 的
0-1分布
p(1-p)
B(n,p)
np(1-p)
P( )

分布
方差
概率密度
区间(a,b)上
的均匀分布
Exp( )
N( , 2)
D (c) = 0
D (cX ) = c2D(X)
D(c1X+c2 ) = c12D(X)
特别地，若X ,Y 相互独立，则
三、方差的性质
若
相互独立，
为常数
则
若X ,Y 相互独立
对任意常数C, D (X ) E(X – C)2 ,
当且仅当C = E(X )时等号成立
D (X ) = 0
P (X = EX)=1
称为X 依概率 1 等于常数 E(X)
性质 1 的证明：
性质 2 的证明：
性质 3 的证明：
当 X ,Y 相互独立时，
注意到，
性质 4 的证明：
当C = EX 时，显然等号成立；
当C EX 时，
则
正态随机变量的线性组合仍服从正态分布，
独立，ci为常数，
例4 已知 X 服从正态分布, E(X ) = 1.7,
D(X ) = 3, Y =1 – 2 X , 求Y 的密度函数.
解
在已知某些分布类型时,若知道其期望和方差,便常能确定分布.
例5 已知X ,Y 相互独立, 且都服从
N (0,0.5), 求 E( | X – Y | ).
解
故
例6 设X 表示独立射击直到击中目标 n 次
为止所需射击的次数 , 已知每次射击中靶
的概率为 p , 求E(X ), D(X ).
解 令 X i 表示击中目标 i - 1 次后到第 i 次
击中目标所需射击的次数，i = 1,2,…, n
相互独立，且
故
本例给出了几何分布与巴斯卡
(Pascal)分布的期望与方差
例7 将 编号分别为 1 ~ n 的 n 个球随机
地放入编号分别为 1 ~ n 的n 只盒子中,
每盒一 球. 若球的号码与盒子的号码一
致，则称为一个配对. 求配对个数 X 的
期望与方差.
解
则
不相互独立，
但
P
1 0
P
1 0
P
1 0
标准化随机变量
设随机变量 X 的期望E(X )、方差D(X )
都存在, 且D(X ) 0, 则称
为 X 的标准化随机变量. 显然，
仅知 r.v.的期望与方差
并不能确定其分布
P
-1 0 1
0.1 0.8 0.1
P
-2 0 2
0.025 0.95 0.025
与
有相同的
期望方差
但是分布
却不相同
例如
附例 在 [0, 1] 中随机地取两个数 X , Y ,
求 D (min{ X ,Y })
解
1
1
0
例8 已知 X 的 d.f.为
其中 A ,B 是常数，且 E (X ) = 0.5.
求 A ,B.
设 Y = X 2, 求 E (Y ),D (Y )
解 (1)
(2)
总 结
一、方差的定义
二、几个重要r.v.的方差
D(c1X+c2 ) = c12D(X)
三、方差的性质
D (c) = 0
D (cX ) = c2D(X)

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