资源简介 (共35张PPT)§ 4.3 协方差和相关系数问题 对于二维随机变量(X ,Y ):已知联合分布边缘分布对二维随机变量,除每个随机变量各自的概率特性外, 相互之间可能还有某种联系问题: 用一个怎样的数去反映这种联系.一.协方差定义与性质若X, Y 独立,则根据数学期望的性质,有E(XY)=EX EY为X,Y的协方差.记为称定义E{(X-EX)(Y-EY)}=E(XY)-EX EY=0X,Y 独立E{(X-EX)(Y-EY)}=0数反映了随机变量 X , Y 之间的某种关系Cov(X, Y)=E(XY)-EX EY.证明若 ( X ,Y ) 为离散型,若 ( X ,Y ) 为连续型,注(1) Cov(X, Y)=Cov(Y, X);(2) Cov(X, X)=D(X); Cov(X, c)=0;(3) Cov(aX, bY)=abCov(X, Y), 其中a, b为 常数;(4) Cov(X+Y,Z)=Cov(X, Z)+Cov(Y, Z);协方差性质(5)性质1解例1:设随机变量X B(12,0.5),Y N(0,1),Cov(X,Y)=-1,求V=4X+3Y+1与W=-2X+4Y的方差与协方差定义: 当Cov(X,Y)=0时,称X与Y 不相关。“X与Y 独立”和“X与Y不相关”有何关系?性质2“X与Y 独立”“X与Y不相关”,反之未必成立.例2 设(X, Y)在D={(X, Y):x2+y2 1}上服从均匀分布,求证:X与Y 不相关,但不是相互独立的。性质3 X与Y为随机变量,则下列结果等价(1) X,Y不相关;(2) Cov(X,Y)=0;(3)E( XY)=EX EY;(4) D(X+Y)=DX+DY.二.相关系数1. 定义 若随机变量 X,Y的方差和协方差均存在, 且DX>0,DY>0,则注1:若记称为X 的标准化,易知EX*=0,DX*=1.且称为X与Y的相关系数.无量纲的量注2X , Y 不相关X ,Y 相互独立X , Y 不相关例3 设 ( X ,Y ) ~ N ( 1, 12 ; 2 , 22 ; ), 求 XY解若 ( X ,Y ) ~ N ( 1, 12, 2, 22, ),则X ,Y 相互独立X ,Y 不相关例4 设 ~ U(0,2 ) , X=cos , Y=cos( + ), 是给定的常数,求 XY解若若有线性关系若不相关,但不独立,没有线性关系,但有函数关系引理E(Y 2 ) > 0 时,当且仅当证 令时, 等式成立— Cauchy-Schwarz不等式.对任何实数 t ,当E(X 2 ) > 0,等号成立有两个相等的实零点即即等号成立即 Y 与 X 有线性关系的概率等于1.2. 相关系数的性质定理 在以上假设条件下,有(1) | XY| 1;(2) | XY|=1 存在常数a, b 使P{Y= aX+b}=1;(3) X与Y不相关 XY=0;1.设(X,Y)服从区域D:0解D1x=y例5以上的结果说明了什么?解1)2)例6—— X 的 k 阶原点矩—— X 的 k 阶绝对原点矩—— X 的 k 阶中心矩—— X 的 方差三. 矩—— X ,Y 的 k + l 阶混合原点矩—— X ,Y 的 k + l 阶混合中心矩—— X ,Y 的 二阶原点矩— X ,Y 的二阶混合中心矩X ,Y 的协方差—— X ,Y 的相关系数四. 协方差矩阵1.定义 设X1,… , Xn为n个随机变量, 记cij=Cov(Xi, Xj),i, j=1, 2, …, n. 则称由cij组成的矩阵为随机变量 X=(X1,… , Xn)T的协方差矩阵C。即协方差矩阵C的性质:(2) C为实对称矩阵;(3) C为非负定矩阵;记作C≥0;例6 设 ( X ,Y ) ~ N ( 1,4; 1,4; 0.5 ), Z = X + Y , 求 XZ解若 X , Y 是两个r.v., 用X 的线性函数去逼近 Y 所产生的平均平方误差为当取平均平方误差最小.附录矩在线性回归中 的应用附例 设 X ,Y 相互独立, 且都服从 N ( 0, 2),U = aX + bY , V= aX - bY , a,b 为常数,且都不为零,求 UV解由而故a,b 取何值时, U与V 不相关?此时, U与V 是否独立?继续讨论但 U~N (0, 2a2 2), V~N (0, 2a2 2 ),若 a = b, UV = 0, 则 U , V 不相关.且U ,V 相互独立正态随机变量的结论则若(X ,Y )则若相互独立则推广X ,Y 相互独立,六种常用随机变量的期望与方差小结 展开更多...... 收起↑ 资源预览