4.3 协方差和相关系数 课件(共35张PPT)- 《概率论与数理统计》同步教学(机工版· 第4版)

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4.3 协方差和相关系数 课件(共35张PPT)- 《概率论与数理统计》同步教学(机工版· 第4版)

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(共35张PPT)
§ 4.3 协方差和相关系数
问题 对于二维随机变量(X ,Y ):
已知联合分布
边缘分布
对二维随机变量,除每个随机变量各自
的概率特性外, 相互之间可能还有某种联系
问题: 用一个怎样的数去反映这种联系.
一.协方差定义与性质
若X, Y 独立,则根据数学期望的性质,有
E(XY)=EX EY
为X,Y的协方差.记为

定义
E{(X-EX)(Y-EY)}=E(XY)-EX EY=0
X,Y 独立
E{(X-EX)(Y-EY)}=0

反映了随机变量 X , Y 之间的某种关系
Cov(X, Y)=E(XY)-EX EY.
证明
若 ( X ,Y ) 为离散型,
若 ( X ,Y ) 为连续型,

(1) Cov(X, Y)=Cov(Y, X);
(2) Cov(X, X)=D(X); Cov(X, c)=0;
(3) Cov(aX, bY)=abCov(X, Y), 其中a, b为 常数;
(4) Cov(X+Y,Z)=Cov(X, Z)+Cov(Y, Z);
协方差性质
(5)
性质1

例1:设随机变量X B(12,0.5),Y N(0,1),
Cov(X,Y)=-1,求V=4X+3Y+1与W=-2X+4Y
的方差与协方差
定义: 当Cov(X,Y)=0时,称X与Y 不相关。
“X与Y 独立”和“X与Y不相关”有何关系?
性质2“X与Y 独立”
“X与Y不相关”,反之未必成立.
例2 设(X, Y)在D={(X, Y):x2+y2 1}上服从均匀分布,求证:X与Y 不相关,但不是相互独立的。
性质3 X与Y为随机变量,则下列结果等价
(1) X,Y不相关;
(2) Cov(X,Y)=0;
(3)E( XY)=EX EY;
(4) D(X+Y)=DX+DY.
二.相关系数
1. 定义 若随机变量 X,Y的方差和协方差均存在, 且DX>0,DY>0,则
注1:若记
称为X 的标准化,易知EX*=0,DX*=1.且
称为X与Y的相关系数.
无量纲
的量
注2
X , Y 不相关
X ,Y 相互独立
X , Y 不相关
例3 设 ( X ,Y ) ~ N ( 1, 12 ; 2 , 22 ; ), 求 XY

若 ( X ,Y ) ~ N ( 1, 12, 2, 22, ),
则X ,Y 相互独立
X ,Y 不相关
例4 设 ~ U(0,2 ) , X=cos , Y=cos( + ),
是给定的常数,求 XY



有线性关系

不相关,

不独立,
没有线性关系,但有函数关系
引理
E(Y 2 ) > 0 时,当且仅当
证 令
时, 等式成立
— Cauchy-Schwarz不等式.
对任何实数 t ,
当E(X 2 ) > 0,
等号成立
有两个相等的实零点


等号成立
即 Y 与 X 有线性关系的概率等于1.
2. 相关系数的性质
定理 在以上假设条件下,有
(1) | XY| 1;
(2) | XY|=1 存在常数a, b 使P{Y= aX+b}=1;
(3) X与Y不相关 XY=0;
1.设(X,Y)服从区域D:0
D
1
x=y
例5
以上的结果说明了什么?
解1)
2)
例6
—— X 的 k 阶原点矩
—— X 的 k 阶绝对原点矩
—— X 的 k 阶中心矩
—— X 的 方差
三. 矩
—— X ,Y 的 k + l 阶混合原点矩
—— X ,Y 的 k + l 阶混合中心矩
—— X ,Y 的 二阶原点矩
— X ,Y 的二阶混合中心矩
X ,Y 的协方差
—— X ,Y 的相关系数
四. 协方差矩阵
1.定义 设X1,… , Xn为n个随机变量, 记cij=Cov(Xi, Xj),i, j=1, 2, …, n. 则称由cij组成的矩阵为随机变量 X=(X1,… , Xn)T的协方差矩阵C。即
协方差矩阵C的性质:
(2) C为实对称矩阵;
(3) C为非负定矩阵;记作C≥0;
例6 设 ( X ,Y ) ~ N ( 1,4; 1,4; 0.5 ), Z = X + Y , 求 XZ

若 X , Y 是两个r.v., 用X 的线性函数
去逼近 Y 所产生的平均平方误差为
当取
平均平方误差最小.
附录
矩在线性回归中 的应用
附例 设 X ,Y 相互独立, 且都服从 N ( 0, 2),
U = aX + bY , V= aX - bY , a,b 为常数,且都不为零,求 UV




a,b 取何值时, U与V 不相关?
此时, U与V 是否独立?
继续
讨论
但 U~N (0, 2a2 2), V~N (0, 2a2 2 ),
若 a = b, UV = 0, 则 U , V 不相关.
且U ,V 相互独立
正态随机变量的结论

若(X ,Y )


相互独立

推广
X ,Y 相互独立,
六种常用随机变量的期望与方差
小结

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