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§5.2 随机变量的收敛性与强大数定律
Def. 1. 设随机变量序列
与随机变量X
则称随机变量序列
依概率收敛于X，记作
例 1. 设
均为退化分布的随机变量，且
一、概率收敛与分布收敛
显然
而
Def. 2. 设随机变量序列
与随机变量X
的分布函数分别为
在F(x) 的连续点x处，有
则称
弱收敛于
记作
也称
以分布收敛于X，
记作
或
定理1. 设{Xn},{Yn}是两个随机变量序列,a, b为两个
常数,
,则
定理2.
;反之未必成立。
证明：设x'{X x'}= {X x', Xn x} ∪{X x', Xn>x}
{Xn x} ∪{X x', Xn>x}
F(x') Fn(x) +P{X x', Xn>x} Fn(x) +P{Xn -X >x - x'}
Fn(x) +P{|Xn –X| >x - x'}
{Xn x}= {Xn x, X x"} ∪ {Xn x, X> x"}
{X x"} ∪ {X> x", Xn x}
Fn(x) F(x")+P{X> x", Xn x} F(x")+P{X- Xn > x" -x}
F(x")+P{|X- Xn| > x" -x}
x'-1 1
1/2 1/2
X
P
-1 1
1/2 1/2
Xn
P
例
不妨设{Xn}与X均独立，则
(-1,-1) (-1,1) (1,-1) (1,1)
1/4 1/4 1/4 1/4
（Xn，X）
P
Xn-X
0 -2 2 0
不成立.
定理3.
P{|Xn-c| }= P{Xn c+ }+P{Xn c - }
=1-Fn(c+ -0)+ Fn(c- )
1-1+0=0
证明. 由定理2有
反之，
定理4. (连续性定理)分布函数列{Fn(x)}弱收敛于
分布函数{F(x)}的充分必要条件为:
{Fn(x)}的特征函数列
收敛于F(x)的特征函数
证明：略。
例1（辛钦大数定律）
则
证明：
设Xi的特征函数为 (t),则
的特征函数为
由上述定理有
由定理3
例2
则
证明 P{Xn+Yn x}= P{Xn+Yn x,|Yn-c| < }+
P{Xn+Yn x, |Yn-c| ≥ }
P{Xn x-c+ ,|Yn-c| < }+P{|Yn-c| ≥ }
P{Xn+Yn x} P{Xn x-c+ }+P{|Yn-c|≥ } (1)
P{Xn+Yn x} P{Xn+Yn x,|Yn-c| < }
P{Xn x-c- ,|Yn-c| < }
P{Xn x-c- }- P{Xn x-c- ,|Yn-c| ≥ }
P{Xn+Yn x} P{Xn x-c- }-P{|Yn-c|≥ } (2)
比较（1）（2）得
例3（1）
则
则
证明:
（2）
二、r阶矩收敛
定义3、随机变量序列
的r阶矩存在，即
且
则称
以r阶矩收敛于X，记作
说明（1） r=1,称为平均收敛；
（2） r=2,称为均方收敛；
定理5
定理6
反之未必成立。
三、概率1收敛
Def. 3. 设随机变量序列
与随机变量X
则称随机变量序列
依概率1收敛于X，记作
注
概率的上连续性
四、强大数定律
称随机变量序列 满足强大数定律。
设X1, X2, …, Xn, …是随机变量序列，若
引理1(Borel-Cantelli Lemma) 设{An}为随机事件列，
称为事件列{An}的上限事件。
称为事件列{An}的下限事件。
记
称为事件列{An}的极限事件。
(1)
(2) 事件列{An}相互独立，则
证明(1)
(2)
一、概率收敛与分布收敛
二、概率1收敛
三、强大数定律

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