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一、概念
Def. 1. 设X,Y 为( , ,Ｐ)概率空间中的两个实随机变量,
则称Z=X+iY 复随机变量, i2=-1.
性质1
Z=X+iY 为复随机变量,则EZ=EX+iEY
Z=X+iY为复随机变量，对其进行研究等价于研究
性质2
二维r.v. (X, Y) , 有如下性质：
独立 Z1, Z2 独立
(1) Z1=X1+iY1, Z2=X2+iY2为复随机变量,则(X1,Y1) 与(X2,Y2)
§ 4.5 特征函数
(2) Z1=X1+iY1, Z2=X2+iY2为独立的复随机变量,则
E Z1 Z2=EZ1 E Z2
Def. 2. 设X为为( , ,Ｐ)概率空间中的实随机变量,其特
征函数(c. f.)定义为
Remark1: Euler公式为
Remark2: 特征函数是关于实变量t的复值函数,由于
所以特征函数对一切实
数t 均有意义.
Remark3: 特征函数只与分布有关,因此亦称为某分布的特征函数
若离散型随机变量X的分布律为
则其特征函数为
若连续型随机变量X的p.d.f.为
则其特征函数为
即为
的Fourier变换.
重要分布的特征函数:
EX1 退化分布I(x-c)的特征函数
EX2 0-1分布B（1，p)的特征函数
EX3 二项分布B（n，p)的特征函数
EX4 均匀分布U（a,b)的特征函数
EX5 Gamma分布
的特征函数
EX6 正态分布
的特征函数
二、性质
性质1
为某随机变量的特征函数，则
(1)
(3)
是连续函数.
(2)
非负定，即
为复数，则有
注：上述三条性质为特征函数的特征性质，
满足这三条性质，则其必为特征函数。
(2)
非负定，
证明
(1)
显然有
(3)
先取定a,使
对于
, 取
,当
时，有
从而
从而
是连续函数.且一致连续。
性质2
为某随机变量的特征函数，则
性质3
为某随机变量X的特征函数，则Y=c1X+c2
的特征函数为
性质4
为某随机变量X，Y 的特征函数，
若X，Y 独立，则
则
性质5
为某随机变量X 的特征函数，
存在
三、逆转公式与唯一性定理
引理1
设
则
证明:　根据Dirichlet积分：
定理1（逆转公式）设分布函数Ｆ(x)的特征函数为
且
为
Ｆ(x)的连续点，则
证明：不妨设
由于
由Fubini定理交换积分次序得到
因此由勒贝格控制收敛定理并利用引理可得
由引理1知
有界，
定理2（唯一性定理）分布函数由特征函数唯一确定
证明：应用逆转公式，在F(x)的每一连续点上，当y
沿F(x)连续点趋于
时，有
而分布函数由其连续点上的值唯一确定，定理2得证。
由唯一性定理可知，特征函数唯一确定分布，因而特征函数也完整地描述了随机变量，特别当p(x)绝对可积时，有以下更强结果。
定理3（Fourier逆变换）若
则相应的分布函数F(x)的导数存在且连续，且有
因此
证明：由逆转公式，如
为F(x)的连续点，则
由于
因此由控制收敛定理知：
四、分布函数的再生性
许多重要的分布函数具有一个有趣的性质——再生
性。这个性质用特征函数来研究最方便，下面通过几个
例子来说明。
所以
证明：
由唯一性定理知
若
且
独立，则
EX5
证明：
所以
且独立，则
EX6
证明：
所以
且独立，则
EX7
五、多元特征函数
若随机向量
的分布函数为
则它的特征函数定义为
通常记
则上式表示为
类似地有下列若干性质
（1）
在
中一致连续，且
（2）若
为
的特征函数，则
的特征函数为
（3）若矩
存在，则
则k维随机向量
的特征函数为
（4）
的特征函数为
（5）（逆转公式）若
为
的特征函数，而
为分布函数，则
其中
为任意实数，但满足唯一的要求：
落在平行线
的面上的概率等于0
（6）（唯一性定理）分布函数
由其
特征函数唯一确定。
（7）
特征函数为
而
的特征函数为
相互独立,有
的特征函数
（8）
的特征函数为
与
则
独立，
的特征函数为
满足：
这个性质的一维结果以后叙述并证明，为应用方便，
我们将常用分布的一些结果列入下表
（9）（连续性定理）若特征函数序列
收敛于一个连续函数
, 则函数
是某分布函数所对应的特征函数。
分布名称 分布或密度函数 期望 方差 特征函数
退化分布
0-1分布
二项分布
泊松分布
几何分布
C
p
0
pq Exp{ict}
pExp{it}+q
X C
p 1
X 0 1
p q p
正态分布
均匀分布
指数分布
分布
分布
分布
多元正态分布
一、密度函数与特征函数
其二阶中心矩定义为
则X 的数学期望定义为
记
其中
为随机变量
的方差，协方差有下列性质：
由上述定义可以看出：协方差阵的对角元素为
（1）
为对称阵即
（2）
为非负定矩阵，记为
称
为协方差矩阵，也称为随机向量
的方差，
Proof:
（1）显然
（2）
所以
非负定
（3）
为n维随机向量，A,B为n阶方阵，则
对于n维
的n元正态分布的定义为
Proof
则
Th1、若
则
由于
为正定阵，则存在可逆阵P，使
令
Proof:
令
Pf:
不相关.
Th2、若
则
独立的充要条件为:
相互独立，则根据独立性
与不相关概念知
不相关.
若
不相关，则
由特征函数的性质知：
相互独立。
Th3、若
A为n阶矩阵，则
Proof:
即正态分布的线性组合仍服从正态分布
（柯赫伦定理）
设
且
型，则
相互独立且
其中
关于
的非负定二次
是秩为
Pf:
显然；
分布函数的其他特征数
2、变异系数
方差（或标准差）反映了随机变量取值的波动程度，
但是比较两个R.V波动大小时，仅看方差大小有时会产
生很不合理的现象，这里有两个原因:
(1)随机变量的取
值有量纲；不同量纲的随机变量用方差（或标准差）
比较波动大小，不太合理。（2）若随机变量量纲相
同，取值的大小有一个相对性的问题，通常情况下引
入变异系数的概念。
定义
3、分位数
4、中位数
5、偏度系数与峰度系数
第四章 复习题
一、简述题
2.已知二维向量(X,Y)的分布函数F(x,y),
则随机向量的函数g(X,Ｙ)的数学期望是什么？
1.给出数学期望与方差的定义．
３. 二维连续型随机变量（X，Ｙ）, X, Ｙ独立与不相关的关系？
4.特征函数的定义是什么？如何求特征函数，就离散与连续型随机变量说明．
5 ．特征函数的特征性质是什么？
二、填空
分布
概率分布
B(1,p)
B(n,p)
P( )
期望
方差
特征函数
分布
密度函数
U(a,b)
( , )
Exp( )
期望
方差
特征函数
三 、随机向量（X, Y）概率分布为
Y
X 1 2 3 4
1
2
3
4 1/4 0 0 0
1/8 1/8 0 0
1/12 1/12 1/12 0
1/16 1/16 1/16 1/16
求(1)边缘概率分布;
(2)Y=1已知条件下X的条件概率分布;
(3) E(X|Y=1);Var(X|Y=1)
(4) E(X|Y)的分布．
四 、
独立同服从参数为 的泊松分布
求Ｕ，Ｖ的协方差与相关系数．
五、用特征函数方法证明：
独立，则

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